《高等数学教学课件》02极限

西南财经大学经济数学学院孙疆明 高等数学 精 金 财 第二讲极限 数列的极限 函数极限 极限的性质 函数极限的存在性 四则运算定理 复合函数的极限定理 极限举例 无穷小量与无穷大量 示例 极限存在准则 引例 人口问题 人口是一项重要经济指标 人口决定着劳动力 加速资源消耗 增加消费促进生产 如果人口以固定增长率k增长 人口会如何 k 每单位人口在单位时间内可以增长的人数 银行连续复利计算问题 问题 企业计算资产增值都要考虑与银行利率相比较 连续复利计算就是任何时刻都以同样的利率r计算下一时刻的资产总值Y t r 一元钱每单位时间产生利息额 设r以年为时间单位 注意 并非一年后利息为r 要连续计算复利 就要m不断增大 高等数学研究函数的一个重要情形 就是要考察函数在自变量一个无限变化过程下的结果 函数在自变量一个无限变化过程中 什么叫无限趋向一个常数 如果函数值可以无限地趋向一个常数 就叫作函数在这个过程中有极限 如果不能趋向一个常数 就叫作在这个过程中无极限 或极限不存在 首先 与常数a越来越近 不是无限趋近a 其次 与常数a一会近 一会远仍可无限趋向a 无限 趋向 只能用有限来说明 1 数列的极限 一 数列 1 数列就是整标函数 定义域为自然数集 2 子数列 例如 数列极限的概念 或 1 定义 注意1 注意2 注意3 数列极限定义是描述性的定义 只能用于验证某数是不是其极限 不能用于求极限 注意4 极限是一个数 极限是什麽 注意5 数列极限的几何意义 或 例1 2 用定义证明 1 猜加试算 3 关键在解不等式 证毕 怎样克服这个困难 技巧就在是不是要真的解这个不等式呢 适当放大 更严格地说 例2 2 用定义证明 1 算算看 适当放大 证毕 例3 设 是给定的实数 用定义证明 证明 证毕 例4 用定义证明 证明 注意到 故取 证毕 注意 函数的极限 自变量实数 无限变化方式复杂 实数变量除趋向无穷大无限变化外 还可以趋向有限数x0无限变化 这是因为稠密 称趋向x0 函数在无穷远的极限 定义1 定义2 定义3 定义1 函数在一点的极限 注意 为什麽要考虑空心邻域 考虑空心邻域 是什麽意思 考虑函数在一点的极限时 不考虑函数在该点处是否有定义 定义的值是什麽 但是 在附近必须要有定义 例 定义2 右极限 怎样定义单侧极限 定义3 左极限 观察图形 因为 所以 定理 函数极限几何意义 按极限定义 要说明数A是函数某个过程的极限 就必须说明对任意给定的正数 存在变化过程中的一个 时刻 通常与 有关 在此时刻后 有任意自变量对应的函数值与常数A的距离都小于正数 例 观察知 证 证毕 例 用定义证明 证明 不妨设 证毕 例 用定义证明 证 极限的性质 性质1 唯一性 函数极限如果存在 则一定是唯一的 性质2 有界性 函数极限如果存在 则函数一定有界 局部 性质3 保号性 注意 f x 0推不出极限A 0 性质4 函数极限与数列极限的关系 证明 必要性 根据假设 证毕 观察图形 显然 从而 证明 证毕 性质5 无穷小的性质 性质1 性质2 四则运算定理 证 复合函数的极限定理 要证什麽 注 看证明 从理论上 非此不行 看例子 例 极限计算 解 例 解 解 例 2 遇到开方可以有理化分离趋向0因子 解 例 解 例 解 例 两个极限的存在定理 准则 1 夹逼定理 证 应用极限定义 第一个重要极限 考虑能否找到一个不等式 即 由 1 式知 将 1 式与 2 式结合起来 得到 亦即 所以 2 单调有界定理 证 只证在 a x0 上单调增加有上界情形 证毕 证法2 证法1 证法3 猜想 an单调增加 再证有上界 e这个数是定义出来 当n 100000时 由an计算e的近似值为 2 718268237 e 2 7182818284590 综上所述 我们得到 例 银行连续复利计算问题 企业计算资产增值都要考虑与银行利率相比较 连续复利计算就是任何时刻都以同样的利率r计算下一时刻的资产总值Y t r 一元钱每单位时间产生利息额 设r以年为时间单位 注意 并非一年后利息为r 定义1 在某个变化过程中 极限为零的变量 称之为在此变化过程中的无穷小量 无穷小 无穷小量 无穷大量及其 阶 一 定义 例如 注 无穷小量是极限为零的变量 即 绝对值无限变小的变量 无穷小量不是绝对值很小的数 定义2 在某个变化过程中 绝对值无限变大的变量 称之为在此变化过程中的无穷大量 无穷大 记为 例 无穷小与无穷大的关系 定理 无穷小量的比较 无穷小量的阶 定义 等价无穷小量的性质 性质1 性质2 等价代换 几个常用的等价无穷