高考数学 10.3 变量间的相关关系与统计案例课件 文 新人教A版 .ppt

第三节变量间的相关关系与统计案例 三年13考高考指数 1 会作两个相关变量的数据的散点图 会利用散点图认识变量间的相关关系 2 了解最小二乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 3 了解独立性检验 只要求2 2列联表 的基本思想 方法及其简单应用 4 了解回归分析的基本思想 方法及其简单应用 1 线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用是考查重点 主要是求线性回归方程的系数或利用线性回归方程进行预测 在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关 2 题型以选择题和填空题为主 难度不大 属中低档题 1 线性相关关系与回归直线 1 从散点图判断两个变量的相关关系 正相关 点散布在从到的区域 负相关 点散布在从到的区域 2 回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在附近 就称这两个变量之间具有 这条直线叫做回归直线 左下角 右上角 左上角 右下角 一条直线 线性相关关系 即时应用 1 思考 相关关系与函数关系有什么异同点 提示 相同点 两者均是指两个变量的关系 不同点 函数关系是一种确定的关系 相关关系是一种非确定的关系 函数关系是一种因果关系 而相关关系不一定是因果关系 也可能是伴随关系 2 判断下列各关系是否是相关关系 请在括号内填 是 或 否 路程与时间 速度的关系 加速度与力的关系 产品成本与产量的关系 圆周长与圆面积的关系 广告费支出与销售额的关系 解析 是确定的函数关系 成本与产量 广告费支出与销售额是相关关系 答案 否 否 是 否 是 2 回归直线方程n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近 若所求的直线方程为 其中我们将这个方程叫做回归直线方程 叫做回归系数 相应的直线叫做回归直线 即时应用 1 由一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 得到回归直线方程 判断下面说法是否正确 请在括号内打 或 任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 直线至少经过点 x1 y1 x2 y2 xn yn 中的一个点 直线的斜率 直线和各点 x1 y1 x2 y2 xn yn 的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的 2 已知回归方程 4 4x 838 19 则可估计x与y的增长速度之比约为 解析 1 任何一组观测值都能利用公式得到直线方程 但这个方程可能无意义 不正确 回归直线方程经过样本点的中心 可能不经过 x1 y1 x2 y2 xn yn 中的任何一点 这些点分布在这条直线附近 不正确 正确 正确 2 x与y的增长速度之比即约为回归方程的斜率的倒数答案 1 2 3 独立性检验 1 独立性检验的有关概念 分类变量可以利用不同 值 表示个体所属的的变量称为分类变量 不同类别 2 2列联表假设有两个分类变量x和y 它们的可能取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表称为2 2列联表 如表 2 k2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准 我们构造一个随机变量k2 其中n 为样本容量 3 独立性检验的定义及判断方法 独立性检验的定义利用随机变量k2来判断 的方法 称为独立性检验 独立性检验的方法有列联表法 等高条形图法及k2公式法 a b c d 两个分类变量有关系 即时应用 1 下面是一个2 2列联表则表中a b处的值分别为 2 在一项打鼾与患心脏病的调查中 共调查了1671人 经过计算k2的观测值k 27 63 根据这一数据分析 我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的 填 有关 或 无关 解析 1 a 21 73 a 52 又 a 2 b b 54 2 k 27 63 6 635 在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为打鼾与患心脏病有关 答案 1 52 54 2 有关 线性相关关系的判断 方法点睛 利用散点图判断线性相关关系的技巧 1 在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上 就用该函数来描述变量之间的关系 即变量之间具有函数关系 2 如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近 变量之间就有相关关系 3 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 例1 下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表 1 将表中的数据画成散点图 2 你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗 3 如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话 请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系 解题指南 画出散点图进行分析 然后由线性相关的定义判断 规范解答 1 画出的散点图如图 2 从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系 气温和热茶杯数成负相关 图中的各点大致分布在一条直线的附近 因此气温和杯数近似成线性相关关系 3 根据不同的标准 可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系 如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等 如图 反思 感悟 粗略判断相关性 可以观察一个变量随另一个变量变化而变化的情况 画出散点图能够更直观地判断是否相关 相关时是正相关还是负相关 变式训练 5个学生的数学和物理成绩如下表 画出散点图 并判断它们是否有相关关系 解析 把数学成绩作为横坐标 把相应的物理成绩作为纵坐标 在直角坐标系中描点 xi yi i 1 2 5 作出散点图如图 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系 且当数学成绩增大时 物理成绩也在由小变大 即它们正相关 线性回归方程及其应用 方法点睛 求样本数据的线性回归方程的步骤第一步 计算平均数第二步 求和 第三步 计算第四步 写出回归方程 提醒 如果一组数据不具有线性相关关系 即不存在回归直线 那么所求得的 回归方程 是没有实际意义的 因此 对一组样本数据 应先作散点图 在具有线性相关关系的前提下再求回归方程 例2 1 2011 广东高考 某数学老师身高176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm和182cm 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm 2 测得某国10对父子身高 单位 英寸 如下 画出散点图 说明变量y与x的相关性 如果y与x之间具有线性相关关系 求线性回归方程 已知 66 8 67 01 4462 24 4490 34 44794 44941 93 44842 4 解题指南 1 求出回归方程 代入相关数据求得 2 根据散点图判断相关性 根据已知数据和提示的公式数据求解 写出线性回归方程 规范解答 1 由题设知 设解释变量为x 预报变量为y 它们对应的取值如下表所示于是有 173 176 176 173 1 3 得回归方程为 x 3 所以当x 182时 185 答案 185 2 散点图如图所示 观察散点图中点的分布可以看出 这些点在一条直线的附近分布 所以变量y与x之间具有线性相关关系 设回归方程为 由 67 01 0 4646 66 8 35 9747 所求的线性回归方程为 0 4646x 35 9747 互动探究 若本例 2 题干不变 如果父亲的身高为73英寸 试估计儿子的身高 解析 由本例 2 可知回归方程为 0 4646x 35 9747 当x 73时 0 4646 73 35 9747 69 9 英寸 所以当父亲身高为73英寸时 估计儿子的身高约为69 9英寸 反思 感悟 求线性回归方程 主要是利用公式 求出回归系数 求解过程中注意计算的准确性和简便性 利用回归方程预报 就是求函数值 变式备选 已知x y的取值如下表所示 从散点图分析 y与x线性相关 且 0 95x a 以此预测当x 5时 y 解析 回归直线一定过样本点中心 2 4 5 代入 0 95x a中 得a 2 6 线性回归方程为 0 95x 2 6 当x 5时 y 7 35 答案 7 35 独立性检验的基本思想及其应用 方法点睛 利用统计量k2进行独立性检验的步骤第一步根据数据列出2 2列联表 第二步根据公式计算k2的观测值k 第三步比较观测值k与临界值表中相应的检验水平 作出统计推断 例3 某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系 随机抽取了180件产品进行分析 其中设备改造前的合格品有36件 不合格品有49件 设备改造后生产的合格品有65件 不合格品有30件 根据所给数据 1 写出2 2列联表 2 判断产品是否合格与设备改造是否有关 解题指南 列表后利用k2的观测值进行检验 规范解答 1 由已知数据得 2 根据列联表中的数据 k2的观测值为k 由于12 38 10 828 所以在犯错误的概率不超过0 001的前提下认为产品合格与设备改造有关 反思 感悟 准确计算k2的观测值是关键 能有多大的把握认为两个变量有关 应熟悉常用的几个临界值 变式训练 为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系 在某地区随机抽取290人 得到如下列联表 利用列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别是否有关 解析 由列联表中的数据得k2的观测值k 11 953 k 11 953 10 828 所以在犯错误的概率不超过0 001的前提下认为是否喜欢饮酒与性别有关 变式备选 有两个分类变量x与y 其2 2列联表如下表 其中a 15 a均为大于5的整数 则a取何值时在犯错误的概率不超过0 1的前提下认为 x与y之间有关系 解析 查表可知 要使在犯错误的概率不超过0 1的前提下认为x与y之间有关系 则k2 2 706 而其观测值k 解k 2 706得a 7 19或a5且15 a 5 a z 所以a 8 9 故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0 1的前提下认为 x与y之间有关系 满分指导 线性回归方程解答题的规范解答 典例 12分 2011 安徽高考 某地最近十年粮食需求量逐年上升 下表是部分统计数据 1 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 bx a 2 利用 1 中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量 解题指南 将数据进行处理 把数据同时减去一个数代入公式计算 利用公式求回归直线方程 并进行预测 规范解答 1 由所给数据看出 年需求量与年份之间是近似直线上升 下面来求回归直线方程 先将数据预处理如下 2分 对预处理的数据 容易算得 0 3 2 4分b 6分a b 3 2 由上述计算结果 知所求回归直线方程为 257 b x 2006 a 6 5 x 2006 3 2 8分即 6 5 x 2006 260 2 10分 2 利用所求得的直线方程 可预测2012年的粮食需求量为6 5 2012 2006 260 2 6 5 6 260 2 299 2 万吨 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 江西高考 为了解儿子身高与其父亲身高的关系 随机抽取5对父子身高数据如下 则y对x的线性回归方程为 a x 1 b x 1 c 88 x d 176 解析 选c 由表中数据知回归直线是上升的 首先排除d 176 176 由线性回归性质知 点 176 176 一定在回归直线上 代入各选项检验 只有c符合 故选c 2 2012 揭阳模拟 为了解某商品销售量y 件 与销售价格x 元 件 的关系 统计了 x y 的10组值 并画成散点图如图 则其回归方程可能是 a 10 x 198 b 10 x 198 c 10 x 198 d 10