高中数学 2.5二次函数配套课件 理 新人教A版.ppt

第五节二次函数 三年2考高考指数 1 掌握二次函数的图象和性质 2 熟练应用图象和性质解决相关问题 1 二次函数的图象及性质是近几年高考的热点 2 运用一元二次函数 一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题是重点 也是难点 3 题型以选择题和填空题为主 若与其他知识点交汇 则以解答题的形式出现 1 二次函数的解析式 一般式 顶点式 f x ax2 bx c a 0 f x a x h 2 k a 0 顶点为 h k 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 即时应用 1 二次函数y f x 的顶点坐标为 2 1 且过点 3 1 则解析式为 2 对于二次函数y f x 若f x 0的两根是 2和4 且其图象经过点 1 10 则解析式为 3 已知f x 是二次函数 且f 0 0 f x 1 f x x 1 则f x 解析 1 y f x 的顶点坐标为 2 1 可设f x a x 2 2 1 a 0 又 图象过点 3 1 1 a 3 2 2 1 解得a 2 y f x 2 x 2 2 1 2x2 8x 7 2 f x 0的两根是 2和4 可设f x a x 2 x 4 a 0 又 f x 的图象经过点 1 10 10 a 1 2 1 4 解得a 2 f x 2 x 2 x 4 2x2 4x 16 3 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 0 知c 0 f x ax2 bx 又由f x 1 f x x 1 得a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 即ax2 2a b x a b ax2 b 1 x 1 解得a b f x 答案 1 y 2x2 8x 7 2 y 2x2 4x 16 3 2 二次函数的图象与性质 r r 函数的图象关于直线x 对称 即时应用 1 思考 二次函数y ax2 bx c a 0 中的a b c与函数的图象有什么联系 提示 a决定图象的开口方向 a与b决定对称轴位置 c决定图象与y轴的交点位置 a b c决定图象的顶点 2 若f x m 1 x2 2mx 3为偶函数 则f x 在区间 5 2 上的单调性是 解析 由f x f x 得m 0 f x x2 3 f x 在 5 2 上单调递增 答案 单调递增 3 二次函数y f x x2 2ax 2在 1 1 上的最大值是3 则a 解析 二次函数的对称轴为x a 且抛物线开口向下 依题设有 当a 1时 ymax f 1 1 2a 令1 2a 3 得a 1 当a 1时 ymax f 1 1 2a 令1 2a 3 得a 1 当 1 a 1时 ymax f a a2 2 令a2 2 3 得a 1 由于 1 1 1 此时无解 综上可知 a 1 答案 1 求二次函数解析式 方法点睛 求函数解析式常用的方法和技巧 1 若已知函数f x 的类型 模型 应根据题设恰当地选用二次函数解析式的形式 常采用待定系数法 2 若已知f g x 的表达式 常采用换元法或采用凑项法 3 若为抽象函数 常采用代换后消参法 在已知所求函数为二次函数的前提下求函数解析式时应用待定系数法 提醒 二次函数的解析式有三种形式 一般式 顶点式和两根式 根据已知条件灵活选用 例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解题指南 由题目条件可知二次函数过 2 1 1 1 点 且知其最大值 所以可应用一般式 顶点式和两根式解题 规范解答 方法一 利用二次函数一般式 设f x ax2 bx c a 0 由题意得解得 所求二次函数解析式为f x 4x2 4x 7 方法二 利用二次函数顶点式 设f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 抛物线对称轴为 m 又根据题意知函数有最大值为n 8 f x f 2 1 1 解得a 4 f x 4x2 4x 7 方法三 利用二次函数两根式由已知 f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值8 即 解得a 4或a 0 舍去 所求二次函数解析式为f x 4x2 4x 7 反思 感悟 求二次函数的解析式 要根据条件恰当地选择表达式 一般地 若已知三个点的坐标 应设一般式 若已知二次函数的顶点坐标 h k 应设顶点式 若已知二次函数的两个零点x1 x2 应设两根式 变式训练 1 二次函数y f x 的图象如图所示 那么此函数的解析式为 解析 方法一 由图可知已给出二次函数y f x 上的三点 2 0 2 0 0 3 故可设f x ax2 bx c a 0 列方程组即可求得a b 0 c 3 所以此函数的解析式为y x2 3 方法二 注意到题设给出了二次函数y f x 与x轴的两个交点 2 0 2 0 故可设f x a x 2 x 2 a 0 将 0 3 点代入 可得a 所以此函数的解析式为y x2 3 方法三 注意到题设给出了二次函数y f x 的顶点 0 3 故可设f x a x 0 2 3 a 0 将 2 0 点代入 可得a 所以此函数的解析式为y x2 3 答案 y x2 3 2 已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 它在x轴上截得的线段长为2 并且对任意x r 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解析 f 2 x f 2 x 对x r恒成立 f x 的对称轴为x 2 又 f x 的图象在x轴上截得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 故可设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又 f x 的图象经过点 4 3 3a 3 a 1 所求f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 变式备选 一个运动员推铅球 铅球刚出手时离地面m 铅球落地点距刚出手时相应地面上的点10m 铅球运动中最高点离地面3m 如图 已知铅球走过的路线是抛物线 求该抛物线表示的函数的解析式 解析 设函数解析式为y ax2 bx c a 0 则解得 y 二次函数的图象和性质 方法点睛 1 二次函数y ax2 bx c a 0 中的几个关键量 1 a的正负 2 b2 4ac的正负 3 对称轴x 与已知区间的位置关系 4 图象与x轴的交点 x1 0 与 x2 0 5 区间的端点函数值的正负 2 二次函数相应的一元二次方程的根与系数的关系二次函数f x ax2 bx c a 0 当 b2 4ac 0时 图象与x轴有两个交点m1 x1 0 m2 x2 0 这里的x1 x2是方程f x 0的两根 且 m1m2 x1 x2 提醒 二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系 因此单调性的判断通常用数形结合法来判断 例2 已知二次函数f x ax2 bx f x 1 为偶函数 函数f x 的图象与直线y x相切 1 求f x 的解析式 2 若k 1 是否存在区间 m n m n 使得f x 在区间 m n 上的值域恰好为 km kn 若存在 请求出区间 m n 若不存在 请说明理由 解题指南 1 f x 的图象与y x相切 转化为f x x 0有相等的实根 2 要利用f x 在 m n 上的单调性 建立m n的方程 规范解答 1 f x 1 是偶函数 对称轴为直线x 0 f x 的对称轴为x 1 即 1 b 2a f x ax2 2ax 又 函数f x 的图象与直线y x相切 一元二次方程ax2 2ax x有相等的实数根 2a 1 2 0 a f x x2 x 2 存在区间 m n m n 满足题意 f x km kn kn 又k 1 m n f x 在 m n 上是单调增函数 即解得m 0或m 2 2k n 0或n 2 2k 又m n k 1 m 2 2k n 0 存在区间 m n 2 2k 0 满足题意 反思 感悟 1 解决有关二次函数的区间最值或值域问题 应注意分类讨论思想方法的灵活运用 同时还要善于结合函数的图象解决问题 2 配方法是解决二次函数最值或值域问题的常用方法 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系 变式训练 已知二次函数f x 若f x 0的两根为0和 2 且f x 的最小值是 1 函数g x 与f x 的图象关于原点对称 1 求f x 和g x 的解析式 2 若h x f x g x 在区间 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 解析 1 依题意 设f x ax x 2 ax2 2ax a 0 f x 图象的对称轴是直线x 1 f 1 1 即a 2a 1 得a 1 f x x2 2x 函数g x 与f x 的图象关于原点对称 g x f x x2 2x 2 由 1 得h x x2 2x x2 2x 1 x2 2 1 x 当 1时 h x 4x满足在区间 1 1 上是增函数 当 1时 h x 的图象的对称轴是直线 则 又 1 解得 1 当 1时 同理则需 又 1 解得 1 0 综上 满足条件的实数 的取值范围是 0 二次函数在给定区间上的最值问题 方法点睛 二次函数求最值的方法及常见类型 1 求二次函数的最值问题时 首先应采用配方法 将二次函数转化为y a x m 2 n a 0 的形式 得到顶点坐标 m n 和对称轴x m 二次函数在闭区间上的最值问题 可以归纳为以下四类 抛物线开口方向定 对称轴定 区间定 抛物线开口方向定 对称轴定 区间变 抛物线开口方向定 对称轴变 区间定 抛物线开口方向变 对称轴定 区间定针对四种不同类型根据图象进行相应讨论 2 在用分类讨论思想求闭区间上的二次函数的最值时 若对称轴落在区间内 假设二次函数图象开口向上 最小值应在顶点处取得 而最大值应在离对称轴较远的端点处取得 这时应以区间的中点为界再进行讨论 提醒 二次函数在区间上的最值问题 要充分利用二次函数的图象 同时考虑对称轴与区间的相对位置及图象的开口方向 例3 1 f x x2 2ax 1 a在 0 1 上有最大值2 则a的值为 2 已知f x x2 3x 5 x t t 1 求f x 的最小值h t 求f x 的最大值g t 解题指南 1 将二次函数化为顶点式 讨论a的取值范围 令最大值为2 求解关于a的方程 并检验a是否满足要求 2 将二次函数化为顶点式 讨论t的取值范围求出最大值和最小值 规范解答 1 f x x a 2 a2 a 1 当a 0时 f x max f 0 2 得a 1 当0 a 1时 f x max f a 2 即a2 a 1 0 解得a 0 1 故该方程在 0 1 上无解 当a 1时 f x max f 1 2 得a 2 综上可知 a 1或a 2 答案 1或2 2 f x x t t 1 当t 时 f x 在 t t 1 上是增函数 f x min f t t2 3t 5 当t 1 即t 时 f x 在 t t 1 上是减函数 f x min f t 1 t2 5t 1 当 t 时 t 1 f x min f 综上可得 f x x t t 1 当 即t 2时 f x max f t 1 t2 5t 1 当 即t 2时 f x max f t t2 3t 5 g t 互动探究 若把本例 2 中的f x 变为f x x2 2x 3 其余都不变 则g t 的解析式变为什么 解析 由已知 此时对称轴为x 1 当t 1时 f x 在 t t 1 上单调递增 g t f x max f t 1 t2 2 当t 1 t 1 即0 t 1时 f t 1 f t 2t 1 根据对称性 当0 t 时 g t f x max f t t2 2t 3 当 t 1时 g t f x max f t 1 t2 2 当t 1 1 即t 0时 f x 在 t t 1 上单调递减 g t f x max f t t2 2t 3 g t 反思 感悟 二次函数在闭区间上的最值一定在顶点处或区间端点处取得 对于二次函数f x a x h 2 k a 0 在区间 m n 上的最值问题 有以下结论 1 若h m n 则ymin f h k ymax max f m f n 2 若h m n ymin min f m f n ymax max f m f n 3 当a 0 求最小值时 应分对称轴在区间的左侧 右侧和内部三种情形 求最大值时只需分两种情形 即偏向区间的左侧或偏向区间的右侧 a 0时仿照求解 变式备选 设二次函数f x ax2 bx c在区间 2 2 上的最大值 最小值分别是m m 集合a x f x x 1 若a 1 2 且f 0 2 求m和m的值 2 若a 2 且a 1 记g a m m 求g a 的最小值 解析 1 由f 0 2可知c 2 又a 1 2 故1 2是方程ax2 b 1 x c 0的两实根 解得a 1 b 2 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 2 2 当x 1时 f x min f 1 1 即m 1 当x 2时 f x max f 2 10 即m 10 2 由题意知 方程ax2 b 1 x c 0有两相等实根x 2 即 f x ax2 1 4a x 4a x 2 2 其对称轴方程为 又a 1 故 2 m f 2 16a 2 m f g a m m 16a 又g a 在区间 1 上单调递增 当a 1时 g a 取得最小值为g a min 易错误区 解函数及其图象题的误区 典例 2011 新课标全国卷 已知函数y f x 的周期为2 当x 1 1 时 f x x2 那么函数y f x 的图象与函数y lgx 的图象的交点共有 a 10个 b 9个 c 8个 d 1个 解题指南 作出f x 在一个周期 1 1 内的图象 然后进行平移 再画出函数y lgx 的图象 规范解答 选a 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式 作图如下 y f x y lgx 可验证当x 10时 y lg10 1 0 x 1时 图象有一个交点 当1 x 10时 lgx 1 当x 10时 lgx 1 因此结合图象及数据特点知y f x 与y lgx 的图象的交点共有10个 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 长春模拟 设二次函数f x ax2 bx c a 0 如果f x1 f x2 x1 x2 则f x1 x2 等于 a b c c d 解析 选c 由f x ax2 bx c a 0 得其对称轴为x 因为f x1 f x2 x1 x2 所以