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锐角三角函数单元主题教学设计 孙绍英 义务教育课程标准人教版九年级下册 卓尼县第一中学【数学分析】 函数是描述大千世界里各种复杂事物及事物之间的数量关系的最基本的数学模型之一。三角函数是一类非常重要的函数。本章将要学习的锐角三角函数是三角学的一种特殊情形（它的自变量取值范围为锐角，即缩小了定义域的三角函数），也是最简单、最基本的类型，是高中学习三角函数的重要基础。 【教育分析】 “锐角三角函数” 这一章的教育价值主要体现在以下几个方面： 1.经历探索锐角三角函数概念的形成与验证的探究过程，感受函数思想，体会数形结合的思想方法。 2.经历特殊角的三角函数值得推理过程，正确理解锐角三角函数是以实数（度数）为自变量的函数，从而提高抽象概括能力和合情推理能力。 3.结合有关内容（如角度的换算，已知角求它的三角函数值，已知三角函数值求角）进行算法的基本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，体会现代科技在数学中的应用。 4.体会锐角三角函数是解决实际问题的有效工具 5.体会“化整为零。积零化整”，“化曲为直，以直代曲”的微积分基本思想 。 【课标分析】 【单元课标要求】1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； 2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3. 理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4. 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。 【单元三维教学目标】知识与技能： 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比。 2.掌握30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。 3.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角。 4.理解直角三角形中边于边的关系，角与角的关系和边角的关系，会用其解直角三角形。 5.会用解直角三角形有关知识解决简单的实际问题。 过程与方法： 1.经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角与其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边比值的对应关系的探究过程，体会研究数学问题的一般方法以及类比学习方法。 2.经历运用解直角三角形有关知识解决简单的实际问题的过程，体会数学问题模型化以及转化的数学思想方法。 情感态度与价值观： 1.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想。 2.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用。 3.通过小组合作学习，培养主动参与、勇于探究的精神。 4.在解决问题的过程中引发学生的学习需求，主动参与学习，体验学习的付出与收获。【教材比较分析】1.两种教材编写出发点不同。人教版教材使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子；突出学生的主体地位，体现学习方式的转变；改进教科书的呈现方式，加强现代信息技术的运用。本单元人教版是进一步学习又一种基本初等函数的角度来编写，因此具体内容中渗透了微积分的思想。北师大版教材注重创设情境、注重数行结合；重联系实际应用、重创新发现；注重培养学生兴趣、重实际操作、重学习方式和教学方式的改革。本单元北师大版是从进一步研究三角形的边角关系来编写，编写中侧重于实际问题的解决 2.两种教材对本单元的名称、节次编排同。人教版命名为“锐角三角函数”，编排在第28章九年级下册相似三角形后内容分为两大节28.1锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用。北师大版教材命名为“直角三角形的边角关系”编排在第一章，分为五小节 1从梯子的倾斜程度谈起230、45、60角的三角函数值3三角函数的有关计算4船有触礁的危险吗5.测量物体的高度。【单元内容概述】 本章锐角三角函数属于三角学，是数学课程标准中空间与图形领域的重要内容。从数学课程标准看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章锐角三角函数。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 本章内容与已学 相似三角形勾股定理等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。 【单元知识思维导图】 【单元教学重难点】1. 正确理解正弦、余弦、正切的含义。2. 特殊角的三角函数值，并能灵活运用他们进行计算。3. 用计算器计算一般锐角三角函数值，以及根据锐角三角函数值求相应的锐角。4. 运用三角函数的知识解直角三角形。5. 利用解直角三角形的知识解决实际问题【单元教学难点】1.对锐角三角函数的理解。 2.灵活运用特殊角的三角函数值。 3.将实际问题转化为数学问题。 4.灵活运用三角函数的知识解决实际问题。 【单元教材分析】 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。 在第28.1节 锐角三角函数中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利用在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半 这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。接下去，教科书又设置一个思考栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，的锐角所对的边与斜边的比有什么特点，利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数，这样就使学生认识到无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数，通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是和，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这里体现了函数的思想，这也为引出正弦函数的概念作好铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个探究栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，由此引出正弦函数的概念，这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个探究栏目中，类比着正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了、角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是、和的特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。 第28.2节解直角三角形是在第一节锐角三角函数的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用。本节开始，教科书设计了一个实际背景，其中包括两个实际问题，这两个实际问题抽象成数学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边，求这个角的对边和已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这两个边的夹角的问题，解决这两个问题需要用到第28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容。这两个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的是要引出解直角三角形的内容。因此，教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个探究栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系。这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容。接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用。第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的对边，求这个锐角的问题，这要用到正弦函数；第二个问题是确定神舟5号变轨后，所能看到地面的最长距离，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题，这要用到余弦函数；第三个问题是确定楼房高度的问题，这个问题抽象成数学问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边，这要用到正切函数；第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距离，解决这个问题需要反复利用正弦函数。这样教科书就通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后，教科书采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了化整为零，积零为整化曲为直，以直代曲的微积分的基本思想。 【学情分析】 在七年级和八年级，我们曾先后学习了直角三角形的两个重要性质：直角三角形两个锐角之间的关系（两锐角互余），直角三角形的边与边之间的关系（勾股定理），以及函数的一些知识-函数的概念，一次函数，反比例函数和二次函数。这些都是我们学习本章的基础。还有本册的第27章“相似”，与本章联系也特别紧密，它解释了锐角三角函数定义的合理性。考虑到的已有认知水平和思维高度，学生对三角函数的理解可能会有一定的困难。因为它与以前学过的函数有所不同，它反映的不是数值与数值之间的对应关系，而是数值与角度之间的对应关系。 【教学方式分析】 数学课程标准提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 因此，在本单元的每个教学活动中，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动中的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到自己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学生的个性得以张扬，自我表现意识和 团队精神得以增强。鉴于此，教师在教学过程中需要注意以下几点： 1.加强与实际的联系 本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容，这两大块内容是紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。因此本章编写时，加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系。例如，在章前引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数；结合使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科书利用背景丰富有趣的四个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成你中有我，我中有你的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题的这种实践-理论-实践的认识过程，这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。 2.加大学生的思维空间，发展学生的思维能力 本章编写时一方面继续保持原有的通过设置观察思考讨论探究归纳等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力，同时结合本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式展示探索过程来引导学生进行探究。例如，教科书在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一个探究栏目，并提出问题在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？，接下去，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将邻边与斜边的比、对边与邻边的比也分别是确定的这个结论的探究过程完全留给学生自己完成。再如，对于、这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个思考栏目，在栏目中提出问题两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值，然后教科书用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求解过程留给学生完成。这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式 3.揭示数学内容的本质 本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定的困难，而这种对应关系对学生深刻地理解函数的概念又有很大帮助，因此，教科书针对这种情况，加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻画。例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在直角三角形中，和的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况进行研究，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义。同样，教科书在阐述余弦函数和正切函数时也突出了锐角与邻边与斜边的比值之间的对应关系以及锐角与对边和邻边的比值之间的对应关系，并在边注进一步强调了这种函数关系：对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA，tanA也是A的函数。这样，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解。 微积分的思想在数学中占有重要的地位，其基本思想是化整为零，积零为整化曲为直，以直代曲，这个基本思想是很朴素的，是可以在初等数学中反映的。教科书在本章最后，结合解直角三角形的内容，采用与测量大坝的高度和测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了在确定山的高度时，如何将山坡化整为零，如何将山坡的长度化曲为直、以直代曲，又如何将每一部分的高度积零为整，这样编写的目的是要体现微积分的基本思想，让学生通过直观形象的例子对微积分的基本思想有一个初步的认识。综上所述，本章编写时注意突出数学内容的本质，强调数学思想方法，这有助于提高学生的数学素养。4.注意加强知识间的纵向联系 第27章相似为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用相似三角形的对应边成比例可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，得出了在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于 ，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形（的对边分别是70和50）归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。 全等三角形的有关理论对理解本章内容有积极的作用。例如，在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果在知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容。教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。 另外，本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这虽然与一次函数、反比例函数以及二次函数所反映的数值与数值之间的对应关系有所不同，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的，因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念。5. 注意数形结合，自然体现数与形之间的联系数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。 【学法指导】1.注意函数的概念与锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系。 2.注意联系实际，扩展和丰富学生的知识面，使他们在抽象的数学中感受到乐趣，提高学数学和用数学的自觉意识。 3.学会自己整理归纳知识思维导图 4.让学生在牢记口诀，养成学习的良好态度与习惯。【课时安排】本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）： 281 锐角三角函数 约6课时 282 解直角三角形 约4课时 数学活动 小结 约2课时 【单元教学反思】本章内容主要是锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦、正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形。锐角三角函数为直角三角形提供了有效的工具。学生在学习过程中存在以几点问题：（1）混淆特殊角的三角函数值，特别是60角的三角函数值掌握不好与30角的三角函数值相混淆。（2）对题意理解不透，分析不出解决问题的思路，找不到解题的切入点，不能正确添加辅助线构造三角形，不能把带有一定背景的数学问题转化为解直角三角形的类型。（3）对直角三角形的边角关系掌握不好，不能有效的利用数形结合的思想把知识点进行有机结合，不能正确的利用三角函数值找到两个直角三角形中边、边角关系。（4）对锐角三角函数的定义、仰角、俯角、方向角、坡度、坡比的概念理解不透。针对以上问题教师在具体教学过程中应注意以下几点：（1）注意加强与实际的联系。无论是课堂引入，还是具体的思考题，都要根据实际情况和学生已有的知识背景，选取适当的生活案例，让学生直观地感受到数学与现实世界的紧密联系，培养学生用数学的眼光观察世界、了解世界。（2）注意知识的前后连贯性。本章知识点内部是互相联系、不可分割的。而相似三角形和勾股定理是学习本章的直接基础，因为利用“相似三角形的对应边的比成比例”可以解释锐角三角函数定义的合理性。勾股定理是直角三角形最重要的关系之一。全等三角形的性质为解直角三角形提供了理论基础 。将锐角三角函数与前面学过的函数作比较，可以更好的理解函数的本质。因此，在教学过程中要注意对前面所学知识的运用和综合。（3）加强学科间的知识联系。本章知识大量渗透于生活的各个方面 ，如物理、天文、测量、航海等，教学时，要注意积累各种知识，帮助学生扩大知识面，同时激发他们强烈的求知欲。（4）注意数形结合，体现数、形之间的联系。数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是得很理想的材料。在本章教学时，要注意加强数与形之间的结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、边角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解 。（5）注意引导学反思。反思是对自己学习过程的审视和总结。学生通过反思，可以查漏补缺，加深理解，提高自己的综合能力；教师反思。可以发现教学中的问题，改进自己的教学方式与方法 ，更好地为学生服务。 下页附：解直角三角形第一课时教学设计28.1解直角三角形（第一课时）教学设计案例课 题282 解直角三角形（1）授课班级九年级 班课 型新授备课人孙绍英授课人授课时间 2017.04.21课 时1课时教学目标知识目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯4.初步体会“化整为零，积零化整”，、“以曲代直，以直代曲”的微积分的基本思想能力目标通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教学重点利用三角函数解决实际问题。准确作辅助线，并选择适当的关系直角三角形教学难点把实际问题转化为数学问题三角函数在解直角三角形中的灵活运用教学突破考虑到学生的知识水平和教学内容本身的特点，在本节教学中需要注意以下几点：1.让学生牢记解直角三角形的条件和解直角三角形三边间、边角间的关系及其变形；2.在解题前，明确哪些是已知元素、哪些是未知元素以及他们的因果关系；3.数形结合，从观察中进行分析、转化、解答；4.利用学生感兴趣的实际问题，进行突破、学习；5.教师在数学教学时，要注意引导学生发现数学内在的美，培养学生良好的个性品质，体会数学的快乐，在潜移默化中培养其数学情感。教学准备多媒体课件、绘图工具学生准备绘图工具、计算器教 学 设 计教 学 流 程师生活动、设计意图一、复习旧知、引入新课【引入】我们一起来用所学知识解决关于比萨斜塔问题。见课本在RtABC中，C=90，BC=5.2m，AB=54.5m图282-1 sin=0.0954所以A5082、 梳理基础、预习导学 基础梳理1.在直角三角形中。由已知元素求未知元素的过程就叫解直角三角形 2.在直角三角形中三边之间的关系是 a2 +b2 =c2 (勾股定理) 。两锐角之间的关系是A+B=90。边角之间的关系有 （以A为例） 3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道 两个元素，就可以求出其余的三个元素，其中至少有一条边。 预习思考 1.在RtABC中，C=90； (1) 若AB=20，A=60，则BC= (2) 若AC=20，A=45，则BC= (3) 若BC=，AC=，则A=三、探索新知、分类应用探究：在RtABC中，C=90（1） 若A=35，AB=10，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？（2） 若AB=10，BC=5，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？（3） 若A=35B=55,你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？（4） .在直角三角形中，知道几个元素就能求出其他元素?(只探讨方法，不解出结果）归纳总结：（1）一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，只要知道两个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个元素。 （2）定义：在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 （3）解直角三角形，只有下面两种情况 已知两条边；已知一条边和一个角。【活动一】理解直角三角形的元素 【活动二】直角三角形的边角关系直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系A+B=90(3)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. （ 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用教师讲课时。应尽量让学生说，活跃课堂气氛。这样，把学生调动起来，自觉地集中注意力，积极地投入到学习中去。）【活动三】解直角三角形例1：在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演例2：在RtABC中，C=90，B =35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位)引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：1用多种方法帮助学生复习巩固特殊角的三角函数0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要) 三角函数030456090 011001不存在记法有三种：图形记忆法；“三角板”记法，根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30、45、60角的三角函数值我们不妨称这种方法为“三角板”记法首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理可以知道在这个直角三角形中30角的对边、邻边、斜边的比是1:2.掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30、60角的任意一个锐角三角函数值，如：求60角的三角函数值，还应抓住60角是30角的余角这一特点在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是11，那么，就不难记住：，。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义 口诀记忆法：30，45，60这三个角的正弦和余弦值的共同点是：分母都是2，分之若把根号添上，则被开方数相应地变成了1，2,3；正切的特点是将分子全部带上根号，令分母为3，则相应地被开方数就是3,9,27；另外正弦、正切随角度的增大而增大，余弦则随角度的增大而减小，所以总为如下口诀：三十四五六十度，三角函数记心间。分母弦二切是三，分子要把根号添。一二三来三二一，切值三九二十七。利用互余两锐角三角函数之间的关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 2理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；3.牢记下列口诀，灵活运用所学知识解决有关问题；口诀1.：有斜（斜边）用弦（正弦或余弦），无斜（斜边）用切（正切或余切）求对（对边）用正（正弦或正切），求邻（邻边）用余（余弦或余切）宁乘（乘法）勿除（除法 取源（原始条件）避中（中间计算出的条件）4.多媒体展示解直角三角形类型归纳四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本87练习（二）提高、拓展练习：分层作业解决引言中的问题激发学生学习数学热情，进而体会数学源自生活用之生活教师提出问题，引导学生思考，然后让学生在小组内讨论并回答教师提出问题引导学生思考分析，并作简要讲评，学生思考回答，注意解题过程中方法的多样性通过学生探究，理解什么是解直角三角形，并掌握解直角三角三角形的方法，学会解直角三角形（本节的关键和核心所在）回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系，