计算方法-第七章--常微分方程数值解法PPT课件

第七章常微分方程数值解法主讲 孙剑聊城大学计算机学院信息管理系 计算方法吴筑筑编 本章主要内容 7 1欧拉法和改进的欧拉法7 2龙格 库塔法7 3线性多步法 引言 可求出方程y 1 ex的通解为y x ex c 将初值条件x 0 y 2代入得2 1 c 故c 1 所以初值问题的解为y x ex 1 求解初值问题 引言 本章解决的问题 一阶常微分方程的初值问题 引言 若方程y f x y 的右端函数f x y 在闭矩形域R x0 a x x0 a y0 b y y0 b上满足 1 f x y 在R上连续 2 在R上关于y满足Lipschitz 李普希兹 条件即存在常数L 对R上任意点均有以下不等式成立 f x y1 f x y2 L y1 y2 x a b y1 y2 R则上述初值问题存在唯一的连续可微的解函数y y x 引言 又如初值问题 可求出它的解为 但要进一步计算指定点的函数值 还需要用数值积分方法 有些微分方程的解是隐函数 例如 要求函数值还需要解超越方程 应用中所处理的微分方程往往很复杂且大都得不出一般解 所以一般用数值解法 引言 数值解法 给定节点a x0 x1 xn b 将初值问题离散化为差分方程 求出解函数y x 在这些点的近似值y1 y2 yn 所求得的近似值称为数值解 本章中总假定步长h为定值 节点xi x0 ihi 1 2 3 7 1 1欧拉法及其截断误差 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 7 1欧拉法和改进的欧拉法 7 1 1欧拉法及其截断误差 初值问题 1 欧拉公式的构造思想 用差商代替导数 设 等距 步长为 令x xi x h xi 1 y xi yi y xi 1 yi 1 初值问题离散化为 欧拉公式 7 1 1欧拉法及其截断误差 例取步长h 0 1 用欧拉法求解初值问题 解 y1 y0 hf x0 y0 1 0 1 0 1 1 1 y2 y1 hf x1 y1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 22y3 y2 hf x2 y2 1 22 0 1 0 2 1 22 1 362 y10 y9 hf x9 y9 y9 0 1 x9 y9 3 18748 7 1 1欧拉法及其截断误差 2 欧拉公式几何意义 用折线代替曲线计算解函数的近似值 7 1 1欧拉法及其截断误差 3 数值公式的误差来源 1 局部截断误差 简称截断误差 假设yi y xi 是准确的 计算yi 1所产生的误差y xi 1 yi 1 若局部截断误差可以表示为O hk 1 k为正整数 则称公式是k阶公式 2 由于实际上yi不是准确值 因此它的误差会传播下去 3 实际计算时 每一步都可能产生舍入误差 7 1 1欧拉法及其截断误差 4 欧拉公式的截断误差是O h2 公式是1阶的 因为 泰勒公式 两式相减 由设yi y xi 有 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 对微分方程y f x y 两边求xi到xi 1的定积分 有 利用梯形公式计算积分 有 1 改进的欧拉公式的构造 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 将y xi y xi 1 分别用yi yi 1代替 构造相应的数值公式 改进的欧拉公式 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 2 改进的欧拉公式的截断误差为O h3 因而改进的欧拉法是二阶的 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 3 改进的欧拉法的具体使用格式 改进的欧拉法是隐式公式 计算时常用迭代法 一般每一步先由欧拉公式计算出yi 1的初始值yi 1 0 再迭代计算yi 1 当满足 时 取 可证明当f x y 满足一定条件时 迭代是收敛的 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 改进的欧拉法的预测 校正公式 可证明预测 校正公式的截断误差也为O h3 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 例取步长h 0 2 用改进的欧拉法的预测 校正公式求解初值问题的数值解y1 y2 解 预测 校正公式具体是 7 1 2改进的欧拉法及预测 校正公式 设 改用后差商替代方程中的导数项 7 1 2向后 隐式 欧拉公式 可以得到向后欧拉公式 这是隐式欧拉格式 也是一阶方法 精度与欧拉公式相当 计算yi 1通常用迭代法 7 1 2两步欧拉公式 设改用中心差商替代方程中的导数项 再离散化 即可导出下列格式 无论是显式欧拉公式还是隐式欧拉公式 它们都是单步法 其特点是计算时只用到前一步的信息yi 而该格式却调用了前面两步的信息yi 1 yi 两步欧拉格式因此而得名 两步欧拉格式具有更高的精度 它是二阶方法 引言 回顾 本章解决的问题 一阶常微分方程的初值问题 7 1欧拉法和改进的欧拉法 预测 校正公式 改进的欧拉公式 欧拉公式 7 1欧拉法和改进的欧拉法 两步欧拉公式 向后欧拉公式 7 2龙格 库塔法 R K法 7 2 1二阶龙格 库塔公式 7 2 2四阶龙格 库塔公式 引言 公式构造思想 从泰勒公式出发 寻找更高阶的数值公式 例如 泰勒公式计算到二阶可得 令 则 略去余项 得出一个二阶的数值公式为 因 引言 理论上按此方式可以得到更高阶的公式 但需要计算复合函数的高阶导数 使算法复杂而不实用 龙格 库塔的思想 间接地运用泰勒公式 利用y x 在若干个点上的函数值和导数值 作出一个适当的线性组合 使这个线性组合按h展开后的泰勒公式与y x h 的泰勒公式有较多的项达到一致 从而得出较高阶的数值公式 引言 R阶龙格 库塔 Runge Kutta 法的一般形式 7 2 1二阶龙格 库塔公式 设想一个有二阶精度的数值公式形状为 a b为待定系数 仍令x xi 则x h xi 1 如果能找出a b 使得 略去余项就可得到上面所希望的近似计算公式了 因此考虑 在h 0处求泰勒公式得 由于 7 2 1二阶龙格 库塔公式 由T h 的泰勒公式 7 2 1二阶龙格 库塔公式 为使T h O h3 令 解出 得 整理得 7 2 1二阶龙格 库塔公式 利用 可以推出 取x xi并略去O h3 便得到二阶龙格 库塔公式 或 7 2 1二阶龙格 库塔公式 可以推出 取x xi并略去O h3 便得到二阶龙格 库塔公式 或 7 2 2四阶龙格 库塔公式 仿照上述的讨论 可导出四阶龙格 库塔公式 例取步长h 0 2 用四阶龙格 库塔公式求下面初值问题的数值解 7 2 2四阶龙格 库塔公式 解 由公式得 7 2 2四阶龙格 库塔公式 数值解yi与准确解y xi 的对照见表 准确解是 xi yi y xi 7 3线性多步法 7 3 1四阶阿达姆斯 Adams 外插公式 7 3 2四阶阿达姆斯 Adams 内插公式 7 3 0多步法的概念 7 3 3初始出发值的计算 7 3 4阿达姆斯预测 校正公式 7 3 0多步法的概念 单步法 计算yi 1时只使用yi的值 多步法 计算yi 1时使用前面的k个y值 即由yi k 1 yi k 2 yi 1 yi计算yi 1 k 1 2 线性多步法 计算yi 1的公式由yi k 1 yi k 2 yi 1 yi的线性组合表达 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 设想用yi 3 yi 2 yi 1 yi的值计算yi 1 为方便讨论由 出发计算y x h 由初值问题的方程y f x y x 两边从x到x h积分 可得到等价的积分方程 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 设想运用数值积分方法 取x 3h x 2h x h x为插值基点 做f s y s 的三次拉格朗日插值 用它近似计算上式的积分 这样得到的数值积分公式是f s y s 在4个插值基点处的函数值的线性组合 由于f x ih y x ih y x ih 所得到的计算y x h 的近似公式形为 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 为达到四阶精度 希望确定参数b0 b1 b2 b3使满足 运用在h 0处的泰勒公式得 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 为达到四阶精度 希望确定参数b0 b1 b2 b3使满足 运用在h 0处的泰勒公式得 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 为使误差等于O h5 令h h2 h3 h4的系数为0 得方程组 求得 代入前面的公式得 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 令x xi并记 7 3 1四阶阿达姆斯外插公式 略去余项 得到四阶阿达姆斯外插公式 这是显式公式 公式的截断误差为O h5 7 3 2四阶阿达姆斯内插公式 把四阶阿达姆斯外插公式中使用的yi 3 yi 2 yi 1 yi改为 yi 2 yi 1 yi yi 1 经类似的推导可得近似公式 确定待定系数的方程组为 7 3 2四阶阿达姆斯内插公式 解得 得到四阶阿达姆斯内插公式 这是一个隐式公式 截断误差也是O h5 7 3 3初始出发值的计算 阿达姆斯公式的特点是计算公式简单 只需简单的算术运算 计算量少 结果的精度较高 但需要4个初始出发值 1 使用单步法 例如龙格 库塔法求出发值 2 使用y x 在x x0处的泰勒公式 其中泰勒公式的阶数k按需要选取 各导数值由复合函数f x y x 的求导得出 7 3 4阿达姆斯预测 校正公式 阿达姆斯内插公式是隐式