高三数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课件 .ppt

第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 知识梳理 1 命题用语言 符号或式子表达的 可以 的陈述句叫做命题 其中 的语句叫做真命题 的语句叫做假命题 判断真假 判断为真 判断为假 2 四种命题及其相互关系 1 四种命题间的相互关系 若q 则p 若 p 则 q 若 q 则 p 2 四种命题中的等价关系 原命题等价于 否命题等价于 在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4 逆否命题 逆命题 3 充要条件 1 相关概念 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 2 集合与充要条件 真子集 真子集 a b 包含 考点自测 1 思考 给出下列命题 若原命题为真 则这个命题的否命题 逆命题 逆否命题中至少有一个为真 若p是q成立的充分条件 则q是p成立的必要条件 若p是q成立的充要条件 则可记为p q 命题 若p 则q 的否命题是 若p 则q 其中是真命题的是 a b c d 解析 选a 对于 因为原命题等价于逆否命题 所以 是真命题 对于 由充分 必要条件的定义知 是真命题 对于 由充要条件的意义知 是真命题 对于 若p 则q 的否命题是 若p 则q 所以 是假命题 2 x 2 是 x2 4 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 显然 若x 2 则x2 4 但反之不成立 故选a 3 给出命题 若实数x y满足x2 y2 0 则x y 0 在它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 选d 原命题显然正确 其逆命题为 若x y 0 则x2 y2 0 显然也是真命题 由四种命题之间的关系知 其否命题 逆否命题也都是真命题 4 已知p 4 k 0 q 函数y kx2 kx 1的值恒为负 则p是q成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 4 k 0 k 0 k2 4k 0 函数y kx2 kx 1的值恒为负 但反之不一定有 4 k 0 如k 0时 函数y kx2 kx 1的值恒为负 即p q 而qp 5 2014 嘉兴模拟 条件甲 条件乙 则甲是乙的 a 充要条件b 充分而不必要条件c 必要而不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 若甲成立 不妨令x 1 5 y 1 5 则乙不成立 反之 若乙成立 则由不等式的性质知 甲成立 故甲是乙的必要而不充分条件 6 命题 若x2 2x 3 0 则x 3或x3或x 1的否定是x 1且x 3 即 1 x 3 所以原命题的逆否命题是 若 1 x 3 则x2 2x 3 0 答案 若 1 x 3 则x2 2x 3 0 考点1命题真假的判断与四种命题及其相互关系 典例1 1 2013 天津高考改编 已知下列三个命题 若一个球的半径缩小到原来的 则其体积缩小到原来的 若a b 0 则a与b的夹角为锐角 直线x y 1 0与圆x2 y2 相切 其中真命题的序号是 a b c d 2 命题 若 则tan 1 的逆否命题是 a 若 则tan 1b 若 则tan 1c 若tan 1 则 d 若tan 1 则 解题视点 1 命题 用球的体积和半径的关系进行判断 命题 用向量的数量积进行判断 命题 用直线和圆的位置关系进行判断 2 逆否命题是把原命题的条件和结论分别否定 再交换位置即可得 规范解答 1 选c 命题 由球的体积公式可知 一个球的半径缩小到原来的 则其体积缩小到原来的 正确 命题 由a b 0 知夹角属于 即夹角为锐角或0 故该命题错误 命题 圆心 0 0 到直线x y 1 0的距离d 与圆x2 y2 的半径相等 故直线与圆相切 该命题正确 2 选c 原命题的逆否命题是 若tan 1 则 故选c 规律方法 1 书写否命题和逆否命题的注意事项 1 一些常见词语及其否定表示 2 否定的方法 在根据原命题构造其否命题和逆否命题时 首先要把条件和结论分清楚 其次把其中的关键词搞清楚 注意其中易混的关键词 如 都不是 和 不都是 其中 都不是 是指的一个也不是 不都是 指的是其中有些不是 2 命题真假的判断方法 1 联系已有的数学公式 定理 结论进行正面直接判断 2 利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断 变式训练 2014 宁波模拟 有以下命题 若xy 1 则x y互为倒数 的逆命题 面积相等的三角形全等 的否命题 若m 1 则x2 2x m 0有实数解 的逆否命题 若a b b 则a b 的逆否命题 其中真命题为 a b c d 解析 选d 中逆命题为 若x y互为倒数 则xy 1 是真命题 中否命题为 面积不相等的三角形不是全等三角形 是真命题 中原命题是真命题 所以它的逆否命题也是真命题 中原命题是假命题 所以它的逆否命题也是假命题 加固训练 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 a 若f x 是偶函数 则f x 是偶函数b 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数c 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数d 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 解析 选b 条件的否定是 f x 不是奇函数 结论的否定是 f x 不是奇函数 故该命题的否命题是 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 考点2充分条件 必要条件的判断 考情 充分条件 必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点 常以选择题 填空题的形式出现 作为一个重要载体 考查的数学知识面很广 几乎涉及数学知识的各个方面 如函数 不等式 三角 平面向量 解析几何 立体几何等 高频考点通关 典例2 1 2013 北京高考 是 曲线y sin 2x 过坐标原点 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 2 2013 陕西高考 设a b为向量 则 a b a b 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解题视点 1 先将 代入 看曲线是否过原点 再求出过原点时 的值 进而判断充分必要条件 2 根据充分条件 必要条件的判断方法进行推理判断 规范解答 1 选a 当 时 y sin 2x sin2x 过原点 但是曲线过原点时 由sin 0得 k k z 故 是 曲线y sin 2x 过坐标原点 的充分而不必要条件 2 选c 设向量a与b的夹角为 由 a b a b cos a b 得 cos 1 即cos 1 所以 0或 能够推得a b 显然 反之也能够成立 故 a b a b 是 a b 的充分必要条件 通关锦囊 特别提醒 解答充分条件 必要条件的判断题 必须从正 逆两个方面进行判断 关注题型 通关题组 1 2013 湖南高考 1 x 2 是 x 2 成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 因为集合 1 2 是 2 的真子集 所以 1 x 2 是 x 2 成立的充分不必要条件 故选a 2 2014 台州模拟 已知数列 an 那么 对任意的n n 点pn n an 都在直线y 2x 1上 是 an 为等差数列 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 由 对 n n 点pn n an 都在直线y 2x 1 上得an 2n 1 得 an 为等差数列 但 an 为等差数列 点pn n an 不一定在直线y 2x 1上 故选a 3 2013 浙江高考 已知函数f x acos x a 0 0 r 则 f x 是奇函数 是 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b f x 是奇函数 k k z f x 是奇函数 所以 f x 是奇函数 是 的必要不充分条件 加固训练 1 2011 江西高考 已知 1 2 3是三个相互平行的平面 平面 1 2之间的距离为d1 平面 2 3之间的距离为d2 直线l与 1 2 3分别相交于p1 p2 p3 那么 p1p2 p2p3 是 d1 d2 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 如图所示 由于 2 3 同时被第三个平面p1p3n所截 故有p2m p3n 再由平行线分线段成比例易得 因此p1p2 p2p3 d1 d2 2 2014 海淀模拟 在四边形abcd中 r 使得 是 四边形abcd为平行四边形 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 若则即所以四边形abcd为平行四边形 反之 若四边形abcd为平行四边形 则有ab dc ad bc且ab dc ad bc 即 此时 1 所以 r 使得成立 所以 r 使得 是 四边形abcd为平行四边形 的充分必要条件 选c 3 2014 太原模拟 m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的 a 充分不必要条件b 充要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 一元二次方程x2 x m 0有实数解时m满足1 4m 0 即m 故m m 反之不成立 所以 m 是 一元二次方程x2 x m 0有实数解 的充分不必要条件 考点3充分条件 必要条件的应用 典例3 1 2014 金华模拟 若 05 p x x a x 8 0 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的充要条件 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 解题视点 1 把问题转化为集合之间的关系 列关于a的不等式组求解 2 分充分性和必要性两个方面求解证明 只要在 中求出的实数a的取值范围内找到一个值 破坏其中的必要性即可 规范解答 1 选a 由 x a x a 2 0 得a x a 2 由题意得 0 1 a a 2 所以得 1 a 0 2 由m p x 5 x 8 结合集合m p可得 3 a 5 故 3 a 5是m p x 5 x 8 的必要条件 下面证明这个条件也是充分的 证明 当 3 a 5时 集合p x a x 8 集合m x x5 故m p x 5 x 8 综上可知 3 a 5是m p x 5 x 8 的充要条件 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 就是在集合 a 3 a 5 中取一个值 如取a 0 此时必有m p x 5 x 8 反之 m p x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 易错警示 关注端点值的取舍解答本例 1 易出现选b的错误 出错的原因是题意理解不清 忽视端点值的取值是否合适 规律方法 1 求与充要条件有关的参数取值问题的方法解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系 并由此列出关于参数的不等式 组 求解 2 充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时 其基本方法是分 充分性 和 必要性 两个方面进行证明的 这类试题一般有两种设置格式 1 证明 a成立是b成立的充要条件 其中充分性是a b 必要性是b a 2 证明 a成立的充要条件是b 此时的条件是b 故充分性是b a 必要性是a b 提醒 在分充分性与必要性分别进行证明的试题中 需要分清充分性是什么 必要性是什么 在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明 即用等价转化法进行推理证明 变式训练 已知p x x2 8x 20 0 s x 1 m x 1 m 1 是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 若存在 求出m的取值范围 2 是否存在实数m 使x p是x s的必要条件 若存在 求出m的取值范围 解析 由x2 8x 20 0得 2 x 10 所以p x 2 x 10 1 因为x p是x s的充要条件 所以p s 所以所以这样的m不存在 2 由题意x p是x s的必要条件 则s p 所以所以m 3 综上 可知m 3时 x p是x s的必要条件 加固训练 1 若 k是函数f x cos x 0 为奇函数的充要条件 则k 解析 f x 是奇函数 f x f x cos x cos x cos x cos x x x 2n 或x x 2n 无解舍去 0 即k 答案 2 已知ab 0 证明a b 1成立的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 证明 先证充分性 若a3 b3 ab a2 b2 0 则 a b 1 a2 ab b2 0 所以 a b 1 0 由ab 0得a b 1 0 所以a b 1成立 充分性得证 再证必要性 若a b 1 则由以上对充分性的证明知a3 b3 ab a2 b2 a b 1 a2 ab b2 0 故必要性得证 综上知 a b 1成立的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 易错误区1 充分条件 必要条件判断中的易错点 典例 2013 天津高考改编 设a b r 且a 0 则 a b a2 0 是 a b 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 因为a 0 所以a2 0 由 a b a20 因为a b 即a b 0 所以 a b a2 0 所以 a b a2 0 是 a b 的必要条件 综上 应选c 误区警示 1 易忽略 处 只考虑 a b a2 0 a b 是否成立 而忽略了反推 从而误选a 2 处反推时 易忽略大前提 从而得 a b a b a2 0 不成立 从而误选a 规避策略 1 判断