高中数学 3.2.2 一元二次不等式的应用同步课件 北师大版必修5.ppt

1 对分式不等式及简单高次不等式解法的理解 难点 2 掌握分式不等式及简单高次不等式的解法 重点 3 会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型并加以解决 难点 易错点 不等式 0与 x 1 x 2 0的解集相同 此说法对吗 提示 不对 当x 2时前者无意义而后者却能成立 所以它们的解集是不同的 正确理解 穿针引线法 穿针引线法 又称为 数轴标根法 这种方法的本质是 列表讨论法 的简化及提炼 这样的 线 也可看成是函数y f x 的图像草图 y轴未画 利用 穿针引线法 要先把x的系数化为正数 最好是1 否则很容易写错结论 简单的分式不等式的解法分式不等式的四种形式及解题思路 1 f x g x 0 2 0 f x g x 0 3 0 4 0 解题时要特别注意 0 和 0 这两种分式不等式的等价转化形式 特别是分母不为零 例1 解下列不等式 1 2 审题指导 根据乘除法运算的符号法则 把分式不等式化为左式为若干一次因式的积而右式为0的整式不等式再求解 规范解答 1 不等式可转化为 2x 1 x 3 0 即 x 3 原不等式的解集为 x x 3 2 原不等式可化为 即 原不等式等价于 得 x 3 原不等式的解集为 x x 3 变式训练 解下列不等式 1 0 2 解析 1 原不等式等价于解得x 1或x 2 原不等式的解集为 x x 1或x 2 2 原不等式可化为 即 原不等式等价于 6x 4 4x 3 0 解得 原不等式的解集为 x 误区警示 解分式不等式不能直接去分母变成整式不等式 要先化为一边为0的形式 高次不等式的解法解高次不等式的方法步骤 1 将不等式等价化为 x x1 x x2 x xn 0 0 的形式 并将各因式x的系数化 2 求出对应方程 x x1 x x2 x xn 0的根 并在数轴上表示出来 3 由右上方穿线 经过数轴上表示各根的点 但要注意 奇穿偶不穿 4 若不等式 x的系数化 后 是 0 则找 线 在x轴上方的区间 若不等式是 0 则找 线 在x轴下方的区间 奇穿偶不穿 是指当左侧f x 有因式 x x1 n时 其中n为奇数时 曲线在x1点处穿过数轴 n为偶数时 曲线在x1点处不穿过数轴 例2 解下列不等式 1 x 1 x 2 2x 1 0 2 x 4 x 5 2 2 x 3 0 审题指导 求出不等式所对应的函数的零点 在数轴上标出零点 用穿针引线法求解 规范解答 1 设函数f x x 1 x 2 2x 1 函数y f x 与x轴的交点坐标为 2 0 0 1 0 如图所示 由穿针引线法可知原不等式的解集为 x 2 x 或x 1 2 原不等式等价于 x 4 x 5 2 x 2 3 0 函数f x x 4 x 5 2 x 2 3与x轴的交点坐标为 5 0 4 0 2 0 根据穿针引线法如图所示不等式解集为 x x 2或x 4且x 5 互动探究 若本例 2 的不等式变为 x 4 2 x 5 2 x 30 函数f x x 4 2 x 5 x 2 3与x轴的交点坐标为 5 0 4 0 2 0 根据穿针引线法如图所示 不等式解集为 x x 2或x 5 变式训练 解不等式2x3 x2 15x 0 解析 原不等式可化为x 2x 5 x 3 0 把方程x 2x 5 x 3 0的三个根x1 0 x2 x3 3依次标在数轴上 然后从右上方开始画曲线依次经过三个根 其解集如图所示 数轴上方图像对应的x的取值就是不等式的解集 所以原不等式的解集为 x 3 例 解不等式 审题指导 首先将分式不等式转化为整式不等式 然后再用 穿针引线法 求解 规范解答 不等式等价于x x 1 2 x 1 3 x 2 0且x 1 x 2 各因式的根分别为0 1 1 2 其中1为双重根 1为3重根 1为偶次根 1为奇次根 由穿针引线法可得不等式的解集为 x 2 x 1或x 0 规范解答 不等式等价于x x 1 2 x 1 3 x 2 0且x 1 x 2 各因式的根分别为0 1 1 2 其中1为双重根 1为3重根 1为偶次根 1为奇次根 由穿针引线法可得不等式的解集为 x 2 x 1或x 0 规范解答 不等式等价于x x 1 2 x 1 3 x 2 0且x 1 x 2 各因式的根分别为0 1 1 2 其中1为双重根 1为3重根 1为偶次根 1为奇次根 由穿针引线法可得不等式的解集为 x 2 x 1或x 0 规范解答 不等式等价于x x 1 2 x 1 3 x 2 0且x 1 x 2 各因式的根分别为0 1 1 2 其中1为双重根 1为3重根 1为偶次根 1为奇次根 由穿针引线法可得不等式的解集为 x 2 x 1或x 0 变式备选 解不等式x 解析 不等式化为x 0 即 0 所以不等式的解集为 x 1 x 0或x 1 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的应用 1 一元二次不等式的实际应用问题 常以二次函数为模型 解题时应先抽象出数学模型 然后寻找数学模型中已知量与未知量 再建立数学关系式求解 2 不等式应用题一般可按以下四步进行 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 用不等式表示不等关系 解不等式 回归实际问题 进行检验 正确的写出不等关系是解决问题的关键 例3 宾馆有120个高档客房 每天每套租金为500元时 客房入住率为100 如果提高租金 预计每提高50元就有8套客房空出来 试问每套客房的租金定在什么范围内能保证宾馆房租总收入不低于62400元 审题指导 写出提高租金后一天的客房租金收入 在总收入不低于62400元的条件下列不等式求解 规范解答 如果按每间客房租金500元出租 收入为60000元 未达到要求 所以要提高房租增加收入 设每间房的租金提高了x个50元 即租金为 500 50 x 元 此时 客房少租出8x个 即租出客房 120 8x 套 一天的客房租金收入为 500 50 x 120 8x 元 根据题意 得 500 50 x 120 8x 62400 整理 得x2 5x 6 0 不等式的解集为 x 2 x 3 相应的租金为600 500 50 x 650 答 当客房的租金在600 650元之间 包括600与650 时 房租总收入不低于62400元 变式训练 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线 这条流水线生产的摩托车数量x 辆 与创造的价值y 元 之间有如下的关系 y 2x2 220 x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车 解题提示 工厂在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上指的是 2x2 220 x 6000 求出x的范围即可 解析 设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车 根据题意 我们得到 2x2 220 x 6000移项整理 得x2 110 x 30000 所以方程x2 110 x 3000 0有两个实数根x1 50 x2 60由二次函数的图像 得不等式的解为 50 x 60 因为x只能取正整数 所以 当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51 59辆之间 包括51与59 时 这家工厂能够获得6000元以上的收益 典例 12分 解不等式 x 2 2 x 3 x 2 0 审题指导 可把不等式化为 或 两个不等式 这两个不等式的并集就是原不等式的解集 规范解答 原不等式可化为 x 2 2 x 3 x 2 0 或 x 2 2 x 3 x 2 0 4分解 得 x 3或x 2或x 2 6分解 得 x 3或x 2 8分 原不等式的解集为 x x 3或x 2或x 2 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 解不等式 解析 不等式可化为 即 x 1 x 5 2 x 2 0且x 5 x 2 用穿针引线法可求得以上不等式的解集为 x x 2或x 1且x 5 不等式的解集为 x x 2或x 1且x 5 1 与不等式 0同解的不等式是 a x 3 2 x 0 b 0 x 2 1 c 0 d x 3 2 x 0 解析 选b 方法一 原不等式的同解不等式组为故排除a c d 选b 方法二 0化为x 3或 x 3 2 x 0 即2 x 3 两边同减去2得0 x 2 1 2 不等式0 c x 23 解析 选a 不等式 0 x x 2 x 3 0 由穿针引线法得解集为 x x 2或0 x 3 故选a 3 不等式 x2 4 x 6 2 0的解集为 a x 2 x 2 b x x 2或x 2 c x 2 x 2或x 6 d x x 2 解析 选c 由 x2 4 x 6 2 0 x 2 x 2 x 6 2 0 x 6 2 0 x 2 x 2 0或x 6 0 不等式的解集为 x 2 x 2或x 6 4 不等式