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猜想32函数与导数问题 例题 已知函数f x x3 ax2 a2x 2 a r 1 若a 0时 试求函数y f x 的单调递减区间 2 若a 0 且曲线y f x 在点a b a b不重合 处切线的交点位于直线x 2上 证明 a b两点的横坐标之和小于4 3 如果对于一切x1 x2 x3 0 1 总存在以f x1 f x2 f x3 为三边长的三角形试求正实数a的取值范围 思路分析利用导数求单调区间 根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证 利用导数研究函数单调性 极值情况 根据三角形三边长的关系建立不等式组求解 反思点评1 已知函数解析式求函数的单调区间 首先要考虑函数定义域 再求导数 解不等式f x 0 与定义域取交集 写出区间的形式 即为函数增区间 且单调区间不能取并集 对已知函数单调性求参数取值范围或者求解含参函数单调区间的问题 则要利用导数将其转化为导函数的符号问题 还要注意分类讨论的应用 2 基本初等函数的最值问题可以根据其性质灵活选用相应的方法求解 函数最值的应用问题多结合其它知识进行综合考查 其中不等式恒成立问题主要通过分离参数或者构造含参函数转化为相应函数的最值 函数应用问题中的最值多利用导数研究其单调性然后求最值 对于某些函数最值问题 还可以通过解析式的变形 利用基本不等式或者转化为基本函数型的最值 3 函数零点 方程的解 函数图象与x轴的交点横坐标是三个含义相同的数学概念 确定函数零点所在区间主要依据零点存在性定理 函数零点的个数问题多要利用数形结合的方法 将其转化为两个函数图象的交点个数来解决 由零点的性质求解参数的取值范围问题要借助导数研究函数的单调性和极值 再利用函数图象来解决 训练 已知函数f x x m 和函数g x x x m m2 7m 1 若方程f x m 在 4 上有两个不同的解 求实数m的取值范围 2 若对任意x
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