第2节振幅、周期和频率

黄冈中学网校达州分校 第2节振幅 周期和频率 教材解读 黄冈中学网校达州分校 物理与生活 如图9 11所示 百米运动员的成绩是以时间多少来确定的 不同运动员的身高不都相同 跑全程的步子数不都相同 有多有少 也即步子有大有小 思考讨论 他们每秒钟跑的步子数相同吗 臂的摆动幅度与步子距离有怎样的关系 黄冈中学网校达州分校 知识详解 知识点1振幅1 定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 叫做振动的振幅 一般用符号A表示 单位 m 振幅是标量 只有大小 没有方向 2 意义 振幅表示物体振动的强弱 黄冈中学网校达州分校 知识点2周期和频率1 简谐运动的周期性 如图9 12所示 当把弹簧振子拉离平衡位置O到A后使它由静止开始运动 经过O点运动到B点 再经过O点回到A点 我们说它完成了一次全振动 以后振子不停地重复着这种往复运动 黄冈中学网校达州分校 1 每完成一次全振动的时间相等 2 从A运动到O 从O运动到B 又从B运动到O 从O运动到A各运动段所需的时间相等 3 相邻两次以相同的速度方向通过同一位置的时间间隔相等 黄冈中学网校达州分校 如图9 12所示 C是振子运动过程中所经过的一点 第一次以向右的速度经过C向A运动 到A后又经过C向O运动 这两次经过C时速度方向相反 当经O到B又返回到O再向A运动经过C时 这一次与第一次经过C时的速度方向相同 在以后的运动中像这样以相同的速度方向相邻两次通过C点所用时间相等 我们也称之为一次全振动 黄冈中学网校达州分校 2 周期和频率的概念 1 周期和频率的定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫做振动的周期 单位时间内完成的全振动的次数叫做振动的频率 2 周期或频率的物理意义 表示振动快慢的物理量 用T表示周期 表示频率 则有T越小 f越大 振动越快 周期的单位是秒 频率的单位是赫兹 简称赫 符号 黄冈中学网校达州分校 3 周期 或频率 与振幅和振动物体运动 或频率 路程的关系 做简谐运动的物体的周期 或频率 与振幅无关 改变弹簧振子的振幅 振子振动的周期不会改变 物体在一个周期内的路程一定是4个振幅 振动物体在T 2内通过的路程一定是2个振幅 振动物体在T 4内通过的路程可以等于一个振幅 也可以大于一个振幅 还可以小于一个振幅 黄冈中学网校达州分校 例如 如图9 13所示 当由O A或B开始的1 4周期内 振动物体的路程等于一个振幅 当由C或C 或除A O B三点以外的任何一点开始向平衡位置O运动的T 4内的路程大于一个振幅 黄冈中学网校达州分校 当由C域C 或除A O B以外的任何一点开始远离平衡位置O运动的T 4内的路程小于一个振幅 原因是在CA或C B段运动的速度减小而所需时间较长 又如 弹簧振子做简谐运动的周期为T 0 1s 振幅为A 5cm 则振子在时间 t 1s内运动的路程为多少 黄冈中学网校达州分校 分析 1T内运动的路程为4A 故出内运动的总路程再如 上例振子在内运动的路程为多少 分析 1T内运动的路程为4A 0 5T内运动的路程为2A 故在 t内运动的总路程为 黄冈中学网校达州分校 注意 如果要求 t 0 23s内的路程就不能用以上的方法求了 因为0 23s不是半周期0 05s的整数倍 在高中不要求求这种条件下简谐运动的路程 4 周期与振动物体运动情况的关系 设t1 t2为物体在简谐运动中的两时刻 T为周期 若t2 t1 nT n为整数 则在t1 t2两时刻物体的运动情况完全相同 这两时刻物体向同一方向经过同一位置 其加速度 速度 离开平衡位置的位移均相同 黄冈中学网校达州分校 这说明了周期反映了振动物体往复运动的变化情况 若 即半周期的奇数倍 则各物理量 x F a v 均大小相等 方向相反 物体是以相反的速度方向经过两对称点 黄冈中学网校达州分校 例如 弹簧振子做简谐运动 周期为T 0 1s 在某一位置C时它的速度大小为1m s 方向向左 则经过时间 t 2s时 它的速度大小和方向如何 分析 t 20T 为周期的整数 故经过 t时间 它的速度大小为lm s 方向向左 5 固有周期和固有频率 简谐运动的周期和频率与振幅无关 简谐运动的周期公式为 此式不需要掌握 黄冈中学网校达州分校 说明公式中m为做简谐运动物体的质量 k为做简谐运动物体受到的合外力跟位移的大小的比例常数 固有周期和固有频率的定义 简谐运动的周期和频率由振动系统本身所决定 因此又称为固有周期和固有频率 例如 弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子的质量决定的 改变振子的振幅 不会改变振子振动的快慢 即不会改变周期和频率 第一 二节典例剖析 黄冈中学网校达州分校 1 正确理解简谐运动的位移 速度和加速度及其变化规律例l一个质点做简谐运动 当它每次经过同一位置时 一定相同的物理量是 A 位移B 速度C 加速度D 动能 黄冈中学网校达州分校 解析做简谐运动的质点 具有周期性 质点每次经过同一位置时 位移一定相同 由于加速度与位移大小成正比 方向总是相反 所以加速度相同 速度的大小相同 但方向不一定相同 可能相同 也可能相反 所以速度不一定相同 而动能相同 答案ACD点拨在解决有关物体做简谐运动的问题时 脑海里应出现物体做简谐运动的 慢镜头 将物体的运动过程巾的位置和相关的物理量一一对应起来 分析物体的运动 找出其规律 黄冈中学网校达州分校 2 振幅和位移 路程的比较 例2有一振动的弹簧振子 频率为5Hz 从振子经过平衡位置开始计时 在1s内通过的路程为80cm 则振子的振幅为cm解析设振子的振幅为A 振子的频率为5Hz 周期为0 2s 振子在1s内完成全振动的次数为5次 每完成一次全振动 振子通过的路程为4A 则4A 5 80cm 所以A 4cm 答案4点拨应理解振幅和位移 路程这三个概念的联系和区别 并熟练掌握一个周期 半个周期和1 4周期内做简谐运动物体的振幅与路程的关系 黄冈中学网校达州分校 3 简谐运动的周期性和多解性 例3一个弹簧振子的振动周期为0 025s 当振子从平衡位置开始向右运动 经过0 17s时 振子的运动情况是 A 正向右做减速运动B 正向右做加速运动C 正向左做减速运动D 正向左做加速运动 黄冈中学网校达州分校 解析振子的周期T 0 025s 则 振子从平衡位置开始向右运动 经过6T时间时 刚好经过平衡位置并向右运动 再经过3T 4 振子在平衡位置最左端 速度为零 所以再经过T 20 振子正向右做加速运动 答案B点拨 去整留零 即 去掉 周期的整数倍 找出在一个周期内的运动情况 是处理此类问题的常用方法 黄冈中学网校达州分校 例4做简谐运动的物体从平衡位置开始计时 经过t 0 5s 与平衡位置的距离最大 则振动周期可能为 A 2s 黄冈中学网校达州分校 解析设物体做简谐运动的周期为T 做简谐运动的物体具有周期性 由题意可知 所以其中n 0 1 2 由此可知 当n 0时 选项A正确 答案A点拨在解决简谐运动的周期性问题时 一般应找出有关物理量的 通项公式 并注意防止漏解 黄冈中学网校达州分校 4 简谐振动的证明 例5证明竖直悬挂于轻弹簧下的物体的振动是简谐振动 证明设物体静止不动时 弹簧伸长为x0 物体的质量为m 如图9 1 1所示 根据平衡条件有 kx0 mg 黄冈中学网校达州分校 物体静止的位置O为平衡位置 以O为原点 竖直向下方向为x轴的正方向 当物体对平衡位置的位移为x时 则物体受到的合力为 所以物体的振动是简谐振动 点拨与其他运动形式不同 证明物体是否做简谐振动 不是从运动学的角度去分析 而是从动力学的角度去分析 找出平衡位置 找出回复力是关键 黄冈中学网校达州分校 5 简谐运动的对称性 例6一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动 若从O点开始计时 经过3s质点第一次经过M点 再继续运动 又经过2s质点第二次经过M点 则该质点第三次经过M点所需时间是 A 8sB 4sC 14s 黄冈中学网校达州分校 解析如图9 1 2所示 a b两点为质点振动过程中的最大位移处 若开始计时时刻质点从O点向右运动 O M运动过程历时3s M b M运动过程历时2s 显然 4s T l6s 质点第三次经过M点所需时间为故选项C正确 黄冈中学网校达州分校 若开始计时时刻质点从O点向左运动 O a O M运动过程历时3s M b M运动过程历时2s 显然质点第三次经过M点所需时间故选项D正确 答案CD 黄冈中学网校达州分校 点拨质点初始运动方向的两种可能性 造成了本题多解 本题的难点在于简谐运动的周期性和对称性的综合应用 另外 画出质点的运动草图 有助于分析质点的运动过程 找出规律 防止漏解 黄冈中学网校达州分校 例7如图9 1 3所示 两块质量分别为m1 m2的木板A和B 被一劲度系数为k的轻弹簧连接在一起 并在A板上加向下的压力F 为了使撤去压力 后 A弹起时恰好使B板离开地面 则所加压力F的最小值为 黄冈中学网校达州分校 解析撤去压力F后 A弹起时的加速度为 方向竖直向上 根据简谐运动的对称性 A在最高点时加速度大小也为a 方向竖直向下 此时B板恰好离开地面 则 所以 黄冈中学网校达州分校 答案 C点拨深刻理解简谐运动的对称性是解决此类问题的关键 简谐运动的对称性体现在速度 加速度 回复力等关于平衡位置对称 不是弹簧的原长 易错点和易忽略点导析 黄冈中学网校达州分校 易错点 周期 频率和决定 因素 易错点导析 做简谐运动的物体 其周期和频率是由振动系统本身所决定的 与振幅的大小无关 这一点容易忽略 解决此类问题时易出现错误 针对这点同学们应记好 频率自身定 振幅不影响 黄冈中学网校达州分校 例5 一个弹簧振子 第一次被压缩x后释放做自由振动 周期为T1 第二次被压缩2x后释放做自由振动 周期为T2 则两次振动周期之比T1 T2为 A 1 1B 1 2C 2 1D 1 4错解 B错解分析 上述解法之所以错误是因为把振子的运动看成是匀速运动或加速度恒定的匀加速直线运动了 用了匀速或匀加速直线运动的规律 黄冈中学网校达州分校 正确解法 A点拨 事实上 只要是自由振动 其振动的周期只由自身因素决定 对于弹簧振子而言 就是只由弹簧振子的质量m和弹簧的劲度系数k决定的 而与形变大小 也就是振幅大小无关 所以只要弹簧振子这个系统不变 m k不变 周期就不会改变 所以正确答案为A 本题给出的错解是初学者中最常见的错误 产生这一错误的原因是习惯于用旧的思维模式分析新问题 而不善于抓住新问题的具体特点 这反映了学习的一种思维定势 只有善于接受新知识 新方法 并将其运用到实际问题中去 才能开阔我们分析 解决问题的思路 防止思维定势 创新讲解 黄冈中学网校达州分校 一 学科综合思维专题点拨 学科综合思维导析 本节知识结合牛顿第二定律和机械能守恒以及动量守恒 可讨论简谐运动中振幅 速度 加速度等的变化情况 在解决此类问题时应首先弄清楚物体的运动特点 再寻找其遵循的动力学规律进行求解 黄冈中学网校达州分校 例l 一个沙箱连着弹簧 在光滑水平面上做简谐运动 不计空气阻力 下面说法正确的是 A 若沙箱经过平衡位置时一小球竖直落入沙箱 则以后的运动中沙箱的振幅将减小B 若沙箱经过平衡位置时一小球竖直落入沙箱 则沙箱再次通过平衡位置时速度将减小C 若沙箱在最大位移处时一小球竖直落入沙箱 则以后的运动中沙箱的振幅将减小D 若沙箱在最大位移处时一小球竖直落入沙箱 则沙箱再次通过平衡位置时速度将减小 黄冈中学网校达州分校 解 A B D点拨 弹簧振子的振幅可以由公式来确定 沙箱经过平衡位置时一小球竖直落入沙箱 相互作用满足动量守恒定律 动量P不变 质量m变大 速度v变小 动能变小 Ep变小 所以A B正确 沙箱运动到最大位移处时一小球竖直落入沙箱 则弹簧的最大伸长量不变 振幅A不变 弹性势能EP不变 到平衡位置时动能EK不变 则变小 D正确 黄冈中学网校达州分校 二 实际应用思维专题点拨 实际应用思维导析 简谐运动是最简单的振动形式 实际生活中某些复杂振动都可简化为简谐运动 可以与数学表达式联系 也可利用其周期 频率计算现实生活中的问题 黄冈中学网校达州分校 例2 已知某人心电图记录仪的出纸速度 纸带的移动速度 为2 5cm s 如图9 2 5所示的正是该记录下的某人的心电图 1 由图可以求得受测人心脏跳动的周期为s 频率为Hz 2 由9 2 5图可知受测人的心率 心率为医学术语 指心脏每分钟跳动的次数 是次 分 解 1 0 8 1 25 2 75 黄冈中学网校达州分校 点拨 1 由心电图可直接看出 两次心跳的间距为4个格 每格边长为0 5cm 4个格长度为2cm 又知出纸速度为 v 2 5cm s 故可得受测人的心跳周期据公式得f l 25Hz 2 由心率的意义知受测人的心率是次 分 75次 分 黄冈中学网校达州分校 解此类题目应首先将心电图看懂 明白由水平方向空间中的格数可表示时间间隔 是因为纸张匀速运动所致 每格表示时间是解决问题的关键 黄冈中学网校达州分校 三 创新思维专题点拨 创新思维导析 简谐运动具有对称性 物体做简谐运动的时间 速度 位移 回复力 加速度也同样具有对称性 灵活运用这一特点 可使解题更简捷 黄冈中学网校达州分校 例3 巧题妙解 如图9 2 6所示 轻弹簧下端固定在水平地面上 弹簧位于竖直方向 另一端静止于B点 在B点正上方A点处 有一质量为m的物块 物块从静止开始自由下落 物块落在弹簧上 压缩弹簧 到达C点时 物块的速度为零 如果弹簧的形变始终未超过弹性限度 不计空气阻力 下列判断正确的是 黄冈中学网校达州分校 A 物块在B点时动能最大B 从A经B到C 再由C经B到A的全过程中 物