高中数学 1．21．2.3 直线与平面的位置关系课件 苏教版必修2.pptVIP

第1章立体几何初步1 2点 线 面之间的位置关系1 2 3直线与平面的位置关系 栏目链接 取一块形状为平行四边形abcd的木板 将平行四边形abcd木板的一边ab紧靠桌面并绕ab转动 当ab的对边cd转动到任意一个位置时 是不是都与桌面所在的平面平行 为什么 栏目链接 栏目链接 1 理解空间中直线与平面的位置关系 2 掌握线面平行 线面垂直的判定定理和性质定理 栏目链接 栏目链接 1 直线与平面的位置关系 1 直线a在平面 内 直线a和平面 有 个公共点 记作 2 直线a与平面 相交 直线a和平面 有且只有 个公共点 记作 3 直线a与平面 平行 直线a和平面 有 个公共点 记作 无数 a a a 0 a 栏目链接 2 直线与平面平行的判定定理 1 文字语言 那么这条直线和这个平面平行 该定理常表述为 线线平行 则线面平行 2 符号语言 若 则l 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 l m l m 栏目链接 3 线面平行的判定定理的作用 证明 用该定理判断直线l和平面 平行时 必须具备三个条件 三个条件缺一不可 4 直线和平面平行的性质定理 1 文字语言 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 简称为 线面平行 直线l不在平面 内 即l 直线m在平面 内 即m 两直线l m平行 即l m 若线面平行 则线线平行 栏目链接 2 符号语言 若 则l m 3 直线和平面平行的性质定理中有三个条件 这三个条件是缺一不可的条件 5 直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面 内的 我们就说直线a与平面 互相垂直 l l m 直线l和平面 平行 即l 平面 和平面 相交于直线m 即 m 直线l在平面 内 即l 任意一条直线都垂直 栏目链接 6 过一点 直线与已知平面垂直 过一点 平面与已知直线垂直 7 从平面外一点引平面的垂线 叫做这个点到这个平面的距离 8 直线与平面垂直的判定定理 1 文字语言 如果一条直线和一个平面内的 那么这条直线垂直于这个平面 有且只有一条 有且只有一个 这个点和垂足间的距离 两条相交直线垂直 栏目链接 2 符号语言 若 则l 9 直线和平面垂直的性质定理 1 文字语言 如果两条直线 那么这两条直线平行 即垂直于同一个平面的两条直线平行 2 符号语言 已知直线a b和平面 若 那么a b l m l n m n b m n 垂直于同一个平面 a b 栏目链接 10 直线和平面相交包括 和 两种 后者叫做这个平面的斜线 其交点叫斜足 斜线上任意一点与斜足间的线段 叫做这个点到平面的斜线段 11 直线和平面所成角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线与这个平面所成的角 特别地 当一直线垂直于平面 所成的角是 当一直线平行于平面或在平面内 所成角为 直线和平面所成角的范围是 直线和平面所成角是斜线与该平面内直线所成角的 直线与平面垂直 直线与平面不垂直 直角 0 0 90 最小值 栏目链接 12 求斜线与平面所成角的一般步骤 1 2 3 找出斜线在给定平面内的射影 指出并论证斜线与平面所成的角 在含有斜线与平面所成的角的三角形中 利用平面几何或三角函数知识求出这个角 栏目链接 栏目链接 一 直线和平面的位置关系 空间的直线与平面有如下三种位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 为便于掌握三者间的从属关系可分类为 栏目链接 同学们在学习时要借助于直线与平面的三种位置关系的画法和符号表示加强理解和掌握 判断直线在平面内的常用方法是 公理1 反证法 判断直线和平面相交的常用方法是 证明直线和平面有且只有一个公共点 反证法 栏目链接 二 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 该定理常表述为 线线平行 则线面平行 符号语言为 若l m 且l m 则l 这一定理告诉我们 证明线面平行的实质是证明线和平面内的一条直线平行 请同学们谨记 线线平行具有传递性 但线面平行却没有传递性 即命题 a b b a 是假命题 栏目链接 直线与平面平行的判定方法 依定义采用反证法 判定定理 利用公理4 栏目链接 三 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和已知平面平行 经过这条直线的平面和已知平面相交 那么这条直线和交线平行 简称 若线面平行 则线线平行 该定理的实质是由线面平行推出线线平行 常用于证明线线平行问题 但要谨记 线 的特殊性 是过已知直线的平面与已知平面的 交线 虽然由线面平行 能得到线与平面内的无数条直线平行 但并不是和平面内的每一条直线都平行 若直线和平面平行 则这条直线与平面内的直线的位置关系包括平行和异面 栏目链接 四 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 该定理是证明线面垂直的重要方法 应用时要谨记 两条相交直线 这一条件 定理体现了 直线与平面垂直 与 直线与直线垂直 互相转化的数学思想 栏目链接 五 直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 即垂直于同一个平面的两条直线平行 定理的证明运用了 反证法 同学们要在老师的指导下完成定理的证明并由此掌握反证法的使用条件及操作过程 该定理给出了证明线线平行的又一方法 因此 利用该定理即可以证明线线垂直 也可以证明线线平行 栏目链接 六 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条斜线和这个平面所成的角 直线和平面所成的面包括0 角 直角 锐角 因此直线和平面所成角的范围是 0 90 求斜线与平面所成的角一般步骤 找出斜线在给定平面内的射影 指出并论证斜线与平面所成的角 在含有斜线与平面所成的角的三角形中 利用平面几何或三角函数知识求出这个角 栏目链接 直线和平面所成角是通过其相应的平面角的大小来表示的 教材中由直线与平面垂直的定义及斜线和射影来定义直线和平面所成的角 在学习直线与平面垂直的定义时要区分 任意 与 无数 两个词的不同含义 命题 如果直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则直线l与平面 互相垂直 是假命题 栏目链接 栏目链接 题型1直线与平面的位置关系 例1下列命题中正确的命题的个数为 如果一条直线与一平面平行 那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 如果一条直线与一平面相交 那么这条直线与平面内的无数条直线垂直 过平面外一点有且只有一条直线与平面平行 一条直线上有两点到一个平面的距离相等 则这条直线平行于这个平面 栏目链接 解析 对于 直线与平面平行 只是说明直线与平面没有公共点 也就是直线与平面内的直线没有公共点 没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外 还有异面 如右图 正方体abcda1b1c1d1 a1b1 平面abcd a1b1与bc的位置关系是异面 并且容易知道 异面直线a1b1与bc所成的角为90 因此命题 是错误的 栏目链接 对于 如右图 a1b1 ab a1d1 ad且ad ab 平面abcd a1d1 a1b1 平面abcd a1b1 平面abcd a1d1 平面abcd 可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行 而是无数多条 可以想象 经过面a1b1c1d1内一点a1的任一条直线 与平面abcd的位置关系都是平行的 命题 也是错误的 栏目链接 对于 我们可以继续借用正方体abcda1b1c1d1来举反例 如右图 取ad bc的中点分别为e f a1d1 b1c1的中点g h 连接efhg e f h g分别为ad bc b1c1 a1d1的中点 可以证明 efhg为正方形 且该截面恰好把正方体一分为二 a d两个点到该截面的距离相等 且ad 平面efhg e 命题 也是错误的 栏目链接 对于 把一直角三角板的一直角边放在桌面内 让另一直角边抬起 即另一直角边与桌面的位置关系是相交 可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直 正确命题的个数只有1个 答案 1个 栏目链接 规律总结 正方体 或长方体 是立体几何中的一个重要的 又是最基本的模型 而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映 因而人们给它以 百宝箱 之称 本例中的命题 就是利用这个 百宝箱 来判定它们的真假的 栏目链接 变式训练 栏目链接 变式训练 解析 对于 直线l虽然与平面 内无数条直线平行 但l有可能在平面 内 l不一定平行于 错误 对于 直线a在平面 外 包括两种情况 a 和a与 相交 a和 不一定平行 错误 对于 直线a b 直线b 则只能说明a和b无公共点 但a可能在平面 内 栏目链接 变式训练 a不一定平行于 错误 对于 a b b 那么a 或a a能与平面 内的无数条直线平行 从而填 答案 栏目链接 题型2直线与平面平行的判定定理 例2已知ab bc cd是不在同一平面内的三条线段 e f g分别是ab bc cd的中点 求证 平面efg和ac平行 也和bd平行 分析 欲证明ac 平面efg 根据直线和平面平行的判定定理 只需证明ac平行于平面efg内的一条直线 由图可知 只需证明ac ef 栏目链接 栏目链接 方法点拨 由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的程序是 寻求两直线的平行关系 证明这两条直线一条在平面内 另一条在平面外 由判定定理得出结论 栏目链接 变式训练 2 如图 在四棱锥pabcd中 底面abcd是矩形 e f分别是pb pc的中点 证明 ef 平面pad 栏目链接 变式训练 证明 e f分别是pb pc的中点 ef bc abcd是矩形 bc ad ef ad 又 ef 平面pad ad 平面pad ef 平面pad 栏目链接 题型3直线与平面平行的性质定理 例3如图 a b分别是异面直线a b上的两点 自ab的中点o作平面 与a b分别平行 m n分别是a b上的任意两点 mn与 交于点p 求证 p是mn的中点 栏目链接 分析 利用线面平行的性质定理 通过三角形的中位线进行过渡 证明 连接an交 于点q 连oq pq b 平面abn oq b oq 同理pq a 在 abn中 o是ab的中点 oq bn q是an的中点 又 pq a 点p是mn的中点 栏目链接 方法点拨 利用线面平行的性质定理解题的步骤 确定 或寻找 一条直线平行一个平面 确定 或寻找 过这条直线且与这个平行平面相交的平面 确定交线 由定理得出结论 栏目链接 变式训练 3 四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过点g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 栏目链接 变式训练 证明 如右图 连接ac交bd于o 连接mo 四边形abcd是平行四边形 o是ac的中点 又m是pc的中点 ap om 根据直线和平面平行的判定定理 则pa 平面bmd 平面pahg 平面bmd gh 根据直线和平面平行的性质定理 pa gh 栏目链接 题型4直线与平面垂直的概念 例4过一点与已知直线垂直的平面只有一个 已知 点a和直线a 如下图 求证 过点a和直线a垂直的平面只有一个 栏目链接 分析 必须证明存在性和唯一性 证明 不论点a是否在直线a上 如上图 设过点a与直线a垂直的平面为 如果还有一个平面 过点a且与直线a垂直 且 l 设过点a和直线a且不过l的平面为 且 b c a a a b a c 这样在同一平面 内 过一点a就有两条直线b c都与a垂直 这是不可能的 所以 过点a和直线a垂直的平面只有一个 栏目链接 规律总结 1 由直线与平面垂直的定义可知 若直线a 平面 则a垂直于 内任一条直线 它也可作为定理来运用 2 本例的结论以及课本上例题的结论 过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条 都可作为定理来运用 3 反证法是证明唯一性问题的有效方法 栏目链接 变式训练 4 给出以下结论 若直线a垂直平面 内的无穷多条直线 则直线a垂直平面 无论直线a与平面 是否垂直 a总垂直平面 内的无穷多条直线 若直线a垂直平面 内的两条直线 则直线a垂直平面 若直线a垂直平面 内的所有直线 则直线a垂直平面 其中正确的结论为 填序号 栏目链接 变式训练 解析 是错的 如果这无数条直线都是互相平行的 即使直线a垂直于这些直线 直线a也不一定垂直平面 可能是斜交或直线a在平面 内 也是错的 也可能是与 一样的情形 答案 栏目链接 题型5直线与平面垂直的判定定理 例5如右图 三棱锥abcd中 bc ac ad bd be cd e为垂足 ah be于h 求证 ah 平面bcd 栏目链接 分析 若证ah 平面bcd 只需利用直线和平面垂直的判定定理 证ah垂直平面bcd内两条相交直线即可 证明 取ab中点f 连cf df ac bc cf ab 又 ad bd df ab 又 cf df f ab 平面cdf ab cd 栏目链接 又be cd 且ab be b cd 平面abe 又 ah 平面abe cd ah 又ah be 且be cd e ah 平面bcd 方法点拨 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的程序是 在这个平面内找两条直线 使它和这条直线垂直 确定这个平面内的两条直线是相交的直线 根据判定定理得出结论 栏目链接 变式训练 5 如图 已知pa o所在平面 ab为 o的直径 点c是圆周上任一点 过点a作ae pc于点e 求证 ae 平面pbc 栏目链接 变式训练 证明 pa 平面abc pa bc 又 ab为圆o直径 ac bc pa ac a bc 平面pac ae 平面pac bc ae 又 ae pc pc bc c ae 平面pbc 栏目链接 题型6直线与平面垂直的性质定理 例6设a b为异面直线 ab是它们的公垂线 与两异面直线都垂直且相交的直线 证明 1 若a b都平行于平面 则ab 2 若a b分别垂直于平面 且 c 则ab c 分析 1 依据直线和平面垂直的判定定理证明ab 2 证明线与线的平行 由于此时垂直的关系很多 因此可以考虑利用线面垂直的性质证明ab c 栏目链接 证明 1 如右图 在 内任取一点p 设直线a与点p确定的平面与平面 的交线为a 设直线b与点p确定的平面与平面 的交线为b a b a a b b 又 ab a ab b ab a ab b ab 栏目链接 2 如右图 过b作bb 则bb a ab bb 又 ab b ab垂直于由b和bb 确定的平面 b b c 又 bb bb c c也垂直于由bb 和b确定的平面 故c ab 栏目链接 规律总结 由第 2 问的证明可以看出 利用线面垂直的性质证明线与线的平行 其关键是构造平面 使所证线皆与该平面垂直 如本题中 通过作出辅助线bb 构造出平面 即由相交直线b与bb 确定的平面 然后借助于题目中的其他垂直关系证得 栏目链接 变式训练 栏目链接 变式训练 证明 1 如右图 在dd1上取点n 使dn 1 连接en cn 则ae dn 1 cf nd1 2 因为ae dn nd1 cf 所以四边形adne cfd1n都为平行四边形 从而en綊ad fd1綊cn 又因为ad綊bc 所以en綊bc 故四边形bcne是平行四边形 由此推知cn be 从而fd1 be 因此 e b f d1四点共面 栏目链接 变式训练 栏目链接 题型7直线与平面垂直的性质 例7如右图 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 再过a作ae sb交sb于e 过e作ef sc交sc于f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于g 求证 ag sd 栏目链接 分析 本题是证线线垂直问题 可通过证线面垂直来实现 结合上图 欲证af sc 只需证sc垂直于af所在平面 即sc 平面aef 由已知 欲证sc 平面aef 只需证ae垂直于sc所在平面 即ae 平面sbc 再由已知只需证ae bc 而要证ae bc 只需证bc 平面sab 而这可由已知得证 栏目链接 证明 1 sa 平面ac bc 平面ac sa bc abcd是矩形 ab bc bc 平面sab ae 平面sab bc ae 又sb ae且sb bc b ae 平面sbc ae sc 又ef sc sc 平面aef af sc 栏目链接 2 sa 平面ac sa dc 又ad dc dc 平面sad 又 ag 平面sad dc ag 又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag ag 平面sdc ag sd 方法点拨 上述直线与平面垂直的性质定理是线线 线面垂直以及线面 面面平行的相互转化的桥梁 因此必须熟练掌握这些定理 并能灵活地运用它们 栏目链接 变式训练 7 如下图 正方体abcda1b1c1d1中 ac bd o a1c1 b1d1 o1 求证 oo1 平面abcd 栏目链接 变式训练 证明 方法一在正方体中 aa1 a1b1 aa1 a1d1 且a1b1 a