高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修21 .ppt

第3课时空间向量与空间角 空间三种角的向量求法 cos cos cos 0 1 判一判 正确的打 错误的打 1 两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等 2 若向量n1 n2分别为二面角的两半平面的法向量 则二面角的平面角的余弦值为cos 3 直线与平面所成角的范围为 解析 1 错误 两异面直线所成的角的范围为 两直线的方向向量所成角的范围为 0 2 错误 二面角的范围为 0 两向量所成角的范围为 0 虽然范围一致 但两向量所成的角与二面角不一定一致 因平面的法向量的指向有两个 两向量所成的角与二面角所成的角同为直角 锐角 钝角时才相等 3 错误 当直线与平面垂直时所成角为 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 2 若直线的方向向量为u1 1 1 1 平面的法向量为u2 2 2 2 则直线与平面所成角的正弦值为 3 若直线l1的方向向量为u1 1 3 2 直线l2的方向向量为u2 2 1 1 则两直线所成的角的余弦值为 解析 1 cos 所以 45 所以二面角为45 或135 答案 45 或135 2 因为u1 1 1 1 与u2 2 2 2 共线易得直线与平面垂直 则直线与平面所成的角的正弦值为1 答案 1 3 因为u1 u2 1 3 2 2 1 1 1 u1 u2 则两直线所成的角的余弦值为 cos 答案 要点探究 知识点向量法求空间角1 两条异面直线所成的角的两个关注点 1 余弦值非负 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值 而对应的方向向量的夹角可能为钝角 2 范围 异面直线所成的角 故两直线的方向向量夹角 的余弦值为负时 应取其绝对值 2 对直线与平面所成角的两点说明 1 互余关系 若直线与平面所成的角为 直线的方向向量和平面的法向量夹角为 则其关系为sin cos 2 对应关系 若直线l 方向向量为a 与平面 法向量为n 所成的角为 当 时 当 时 3 二面角范围的辨别若二面角为 两平面的法向量夹角为 则 cos cos 需分辨角 是锐角还是钝角 可由图形观察得出 也可由法向量特征得出 4 一作 二证 三求 计算空间角一作 即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移法求解 线面角的关键是作出斜线在平面上的射影 二面角的关键是利用三垂线定理找二面角 二证 找到对应角后利用异面直线所成角 线面所成角 面面所成角的定义证明对应角就是所求角 三求 一般来说是通过解三角形求解 要注意异面直线所成角 直线与平面所成角 二面角的范围 微思考 1 若二面角 l 的两个半平面的法向量分别为n1 n2 则二面角的平面角与两法向量夹角的关系 提示 相等或互补 2 利用向量法求空间角时 关键需找到哪些量 提示 关键要找到直线的方向向量与平面的法向量 即时练 已知点a 1 0 0 b 0 2 0 c 0 0 3 则平面abc与平面xoy所成锐二面角的余弦值为 解析 1 2 0 1 0 3 设平面abc的法向量为n x y z 由n 0 n 0知令x 2 则y 1 z 所以平面abc的一个法向量为n 2 1 平面xoy的一个法向量为 0 0 3 由此易求出所求二面角的余弦值为答案 题型示范 类型一异面直线所成的角 典例1 1 2014 天津高二检测 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab e是aa1的中点 则异面直线d1c与be所成角的余弦值为 2 在三棱锥v abc中 顶点c在空间直角坐标系的原点处 顶点a b v分别在x y z轴上 d是线段ab的中点 且ac bc 2 vdc 当 时 求异面直线ac与vd所成角的余弦值 解题探究 1 题 1 中如何建立空间直角坐标系 异面直线d1c与be所对应的方向向量分别是多少 2 题 2 中在坐标系中如何确定点a c v d的坐标 探究提示 1 以a为原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设ab 1 则异面直线be与d1c的方向向量分别为 1 0 1 1 0 2 2 由ac bc 2 d是ab的中点 所以c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 2 0 d 1 1 0 再结合 可得v 0 0 自主解答 1 选b 以a为原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设ab 1 则b 1 0 0 d 0 1 0 c 1 1 0 因为aa1 2ab 所以e 0 0 1 d1 0 1 2 所以 1 0 1 1 0 2 所以 2 ac bc 2 d是ab的中点 所以c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 2 0 d 1 1 0 当 时 在rt vcd中 cd 故v 0 0 所以 2 0 0 1 1 所以所以异面直线ac与vd所成角的余弦值为 方法技巧 求异面直线夹角的两种方法 1 几何法 方法 解决此类问题 关键是通过平移法求解 过某一点作平行线 将异面直线所成的角转化为平面角 最后通过解三角形求解 主要以 作 证 算 来求异面直线所成的角 同时 要注意异面直线所成角的范围 关注点 结合图形求角时 应注意平面几何知识的应用 如等腰 边 三角形的性质 中位线的性质及勾股定理 余弦定理及有关推论 2 向量法 方法 利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角 转化为两直线的方向向量所成的角 若求出的两向量的夹角为钝角 则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角 即cos cos 关注点 求角时 常与一些向量的计算联系在一起 如向量的坐标运算 数量积运算及模的运算 变式训练 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成角的大小是 解析 分别以ba bc bb1为x y z轴 建立空间直角坐标系 如图 设ab 1 则b 0 0 0 e 0 0 f 0 0 c1 0 1 1 所以 0 1 1 所以直线ef和bc1所成角的大小为60 答案 60 补偿训练 如图所示 三棱柱oab o1a1b1中 平面obb1o1 平面oab o1ob 60 aob 90 且ob oo1 2 oa 求异面直线a1b与ao1所成角的余弦值的大小 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则o 0 0 0 o1 0 1 a 0 0 a1 1 b 0 2 0 所以所以所以异面直线a1b与ao1所成角的余弦值为 类型二直线与平面所成的角 典例2 1 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 则ab1与底面abc所成角的正弦值等于 2 2013 湖南高考 如图 在直棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc bad 90 ac bd bc 1 ad aa1 3 证明 ac b1d 求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值 解题探究 1 题 1 中可利用哪个条件建立空间直角坐标系 2 题 2 中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系 直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值用向量如何表示 探究提示 1 可利用侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 建立空间直角坐标系 2 利用ab ad aa1两两垂直可以建立空间直角坐标系 设n是平面acd1的一个法向量 则直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值sin cos 自主解答 1 选b 如图 设a1在平面abc内的射影为o 以o为坐标原点 oa oa1分别为x轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 设 abc边长为1 则所以平面abc的法向量n 0 0 1 则ab1与底面abc所成角 的正弦值为sin cos n 2 易知 ab ad aa1两两垂直 如图 以a为坐标原点 ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设ab t 则相关各点的坐标为 a 0 0 0 b t 0 0 b1 t 0 3 c t 1 0 c1 t 1 3 d 0 3 0 d1 0 3 3 从而 t 3 3 t 1 0 t 3 0 因为ac bd 所以 t2 3 0 0 解得t 或t 舍去 于是因为 3 3 0 0 所以即 由 知 0 3 3 1 0 0 1 0 设n x y z 是平面acd1的一个法向量 则即令x 1 则n 设直线b1c1与平面acd1所成角为 则sin cos n 即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为 方法技巧 1 直线和平面所成的角的向量公式如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 2 利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤 1 建立空间直角坐标系 2 求直线的方向向量 3 求平面的法向量n 4 计算 设线面角为 则sin 变式训练 2014 石家庄高二检测 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为ab c1d1的中点 则a1b1与平面a1ef夹角的正弦值为 解题指南 建立空间直角坐标系 先计算直线a1b1对应的方向向量 再求出平面a1ef的法向量 然后利用向量公式求出a1b1与平面a1ef夹角的正弦值 解析 选b 建系如图 设正方体的棱长为1 则a1 1 0 1 e 1 0 f 0 1 b1 1 1 1 0 1 0 设平面a1ef的法向量n x y z 则即令y 2 则所以n 1 2 1 cos n 即所求角的正弦值为 补偿训练 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b与平面a1b1cd所成角的大小为 解析 以d为原点 da dc dd1分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则a1 1 0 1 c 0 1 0 所以 1 0 1 0 1 0 设平面a1b1cd的法向量为n x y z 则令z 1得x 1 所以n 1 0 1 又b 1 1 0 所以 0 1 1 cos n 所以 n 60 所以a1b与平面a1b1cd所成的角为30 答案 30 类型三二面角 典例3 1 在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为 0 1 3 2 2 4 则这个二面角的余弦值为 2 pa 平面abc ac bc pa ac 1 bc 求二面角a pb c的余弦值 解题探究 1 题 1 中的都和二面角的棱垂直的两个向量分别为 0 1 3 2 2 4 所成的角与二面角是否相等 2 题 2 中建立空间直角坐标系的条件有哪些 求二面角的向量法公式是什么 探究提示 1 不一定相等 依据向量的方向性可能相等也可能互补 2 pa 平面abc ac bc是建立空间直角坐标系的条件 利用cos 自主解答 1 选d 设二面角为 则cos 所以这个二面角的余弦值为或 2 方法一 如图 建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 c 0 1 0 p 0 0 1 所以 0 0 1 1 0 设平面pab的法向量为n1 x1 y1 z1 由得令x1 1 则n1 1 0 0 1 1 0 0 设平面pbc的法向量为n2 x2 y2 z2 由得令z2 1 则n2 0 1 1 所以cos n1 n2 因为所求二面角为锐角 所以二面角a pb c的余弦值为 方法二 如图所示 取pb的中点d 连结cd 因为pa 平面abc 所以pa ac 所以pc 因为pc bc 所以cd pb 作ae pb于e 那么二面角a pb c平面角的大小就等于与的夹角 因为pa 平面abc bc ac 所以pc bc 所以pb 2 所以pd 1 pe 所以de pd pe 又因为ae cd 1 ac 1 且 所以即1 1 2 1 cos 解得cos 故二面角a pb c的余弦值为 方法技巧 利用向量法求二面角的两种方法 1 若ab cd分别是两个平面 内与棱l垂直的异面直线 则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角 如图 2 设n1 n2分别是平面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 就是两个平面夹角的大小 如图 此方法的解题步骤如下 变式训练 2014 北京高二检测 正方体abef dce f 中 m n分别为ac bf的中点 如图 求平面mna与平面mnb所成角的余弦值 解析 方法一 设正方体棱长为1 以b为坐标原点 ba be bc所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系bxyz 则a 1 0 0 b 0 0 0 取mn的中点g 连接bg ag 则 因为 amn bmn为等腰三角形 所以ag mn bg mn 所以 agb为二面角的平面角或其补角 因为所以故所求两平面所成角的余弦值为 方法二 设平面amn的法向量n1 x y z 即令x 1 解得y 1 z 1 所以n1 1 1 1 同理可求得平面bmn的一个法向量n2 1 1 1 所以cos n1 n2 故所求两平面所成角的余弦值为 补偿训练 2014 汕头高二检测 如图所示 四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 pd 平面abcd pd ab 2 e f g分别为pc pd bc的中点 1 求证 pa ef 2 求二面角d fg e的余弦值 解析 以d为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz 则d 0 0 0 a 0 2 0 c 2 0 0 p 0 0 2 e 1 0 1 f 0 0 1 g 2 1 0 1 证明 由于 0 2 2 1 0 0 则 1 0 0 2 2 0 0 所以pa ef 2 易知 0 0 1 1 0 0 2 1 1 设平面dfg的法向量m x1 y1 z1 则解得令x1 1 得m 1 2 0 是平面dfg的一个法向量 设平面efg的法向量n x2 y2 z2 同理可得n 0 1 1 是平面efg的一个法向量 因为cos m n 设二面角d fg e的平面角为 由图可知 m n 所以cos 所以二面角d fg e的余弦值为 拓展类型 空间角中的探索题 备选典例 1 如图 在五面体abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad af ab bc fe ad 求异面直线bf与de所成角的余弦值 在线段ce上是否存在点m 使得直线am与平面cde所成角的正弦值为若存在 试确定点m的位置 若不存在 请说明理由 2 如图 矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直 be cf bcf cef 90 ad ef 2 求证 ae 平面dcf 当ab的长为何值时 二面角a ef c的大小为60 解析 1 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设ab 1 则b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 3 0 f 0 0 1 e 0 1 1 1 0 1 0 2 1 所以异面直线bf与de所成角的余弦值为 设平面cde的法向量为n x y z 1 2 0 0 2 1 因为所以令y 1 得x z 2 所以n 2 1 2 设存在点m p q r 满足条件 由得p 1 q 1 r 即m 1 1 所以 1 1 因为直线am与平面cde所成角的正弦值为所以得 故当点m为ce中点时 直线am与平面cde所成角的正弦值为 2 建系如图 设ab a be b cf c 则c 0 0 0 d 0 0 a f 0 c 0 a 0 a e b 0 b 0 0 b 0 0 a 0 b a 0 0 a 0 c 0 设则 0 b a 0 c a 所以 1 所以又ae 平面dcf 所以ae 平面dcf 因为且所以解得b 3 c 4 所以e 3 0 f 0 4 0 设n 1 y z 与平面aef垂直 则n 0 n 0 解得n 又因为ba 平面befc 0 0 a 所以得到a 所以当ab为时 二面角a ef c的大小为60 方法技巧 关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题 通常不需要复杂的几何作图 论证 推理 只需先假设结论成立 设出空间的坐标 通过向量的坐标运算进行推断 把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理 规范解答 利用向量法求空间角 典例 12分 2013 新课标全国卷 如图 直棱柱abc a1b1c1中 d e分别是ab bb1的中点 aa1 ac cb ab 1 证明 bc1 平面a1cd 2 求二面角d a1c e的正弦值 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时若在 处不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件 从而不能正确恰当地建立空间直角坐标系 则本例最多得4分 失分点2 解题时若在 处不能利用中点坐标公式求解点的坐标或坐标求错 则本例最多得6分 失分点3 解题时若在 处不能利用三角函数的知识把向量的余弦值转化为二面角的正弦值 则本例最多