高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）课件 新人教A版必修4.ppt

3 1 2两角和与差的正弦 余弦 正切公式 二 两角和与差的正切公式 思考 在公式t 中 能否是任意角 提示 从公式的推导过程来看 要使公式成立 角 以及 不能等于k k z 因此 不能为任意角 知识点拨 1 解读两角和与差的正切公式 1 公式成立的条件角 以及 不能等于k k z 且tan tan 1 或tan tan 1 2 公式的结构特征公式t 的右侧为分式形式 其中分子为tan 与tan 的和或差 分母为1与tan tan 的差或和 3 公式的符号规律符号变化规律可简记为 分子同 分母反 2 两角和的正切公式的常用变形形式 1 tan tan tan 1 tan tan 2 1 tan tan 3 tan tan tan tan tan tan 4 tan tan 类型一两角和与差的正切公式的简单应用 典型例题 1 已知tan tan 2 tan 4 则tan tan 等于 a 2b 1c d 42 3 求值 tan75 解题探究 1 在t 中 tan tan 如何用tan 和tan tan 来表示 2 为了利用公式 1 可以怎样代换 3 75 可以由哪两个特殊角来表示 探究提示 1 tan tan 1 2 1 tan45 3 75 45 30 解析 1 选c 因为所以tan tan 2 答案 3 拓展提升 利用公式t 化简求值的两点说明 1 分析式子结构 正确选用公式形式 t 是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一 因此在应用时先从所化简 求值 式子的结构出发 确定是正用 逆用还是变形用 并注意整体代换 2 化简求值中要注意 特殊值 的代换和应用 当所要化简 求值 的式子中出现特殊的数值 1 时 要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换 如 这样可以构造出利用公式的条件 从而可以进行化简和求值 变式训练 等于 a 1b 1c d 解析 选a 类型二给值求值 典型例题 1 已知 为锐角 则tan 的值为 2 若a tan20 b tan60 c tan100 则3 已知则 解题探究 1 如何与 建立联系 2 若 则tan 与tan 存在什么关系 3 与已知角两角存在怎样的关系 探究提示 1 2 tan tan tan 3 解析 1 选b 因为 是锐角 cos 故所以tan tan 2 因为所以tan20 tan100 tan120 1 tan20 tan100 即tan20 tan100 tan120 tan120 tan20 tan100 又tan120 tan60 所以tan20 tan100 tan60 tan60 tan20 tan100 所以即答案 1 3 由于故答案 互动探究 在题1中 若sin 其他条件不变 则tan 应为多少 解题指南 由角 是锐角以及sin 先求出tan 的值 然后利用tan tan 求出tan 的值 解析 因为 是锐角 sin 故所以tan tan 拓展提升 给值求值问题的两种变换 1 式子的变换 分析已知式子的结构特点 结合两角和与差的三角函数公式 通过变形 建立与待求式间的联系以实现求值 2 角的变换 首先从已知角间的关系入手 分析已知角和待求角间的关系 如用 2 等关系 把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系 从而求值 变式训练 若tan tan 1 则tan 的值为 解析 因为且tan 所以解得答案 类型三给值求角问题及综合应用 典型例题 1 已知tan tan 是方程x2 3x 4 0的两根 且则 的值为 a b c 或d 无法确定2 已知tan tan 0 则2 3 在 abc中 tana tanb 2 则角c 解题探究 1 二次方程ax2 bx c 0中 根与系数有怎样的关系 2 2 能用已知角 与 直接表示吗 若不能 可以怎么办 3 在 abc中 a b c三个角有什么关系 探究提示 1 2 不能 可以先求 再求2 3 a b c 解析 1 选b 由已知得 tan tan tan tan 4 所以tan 0 tan 0 又所以 0 所以 2 又 0 所以 0 而tan 0 所以 所以2 0 2 答案 3 所以tanc 1 c 0 故c 答案 互动探究 若将题1中的方程改为其余条件不变 则 的值是 a b c 或d 解题指南 由tan 与tan 的和与积 先判断tan 与tan 的符号 再进一步限定角 的取值范围 解析 选a 由题意 tan tan tan tan 2 所以tan 与tan 一正一负 不妨设tan 0 tan 0 则所以又所以 拓展提升 给值求角问题的步骤及选取函数的原则 1 给值求角问题的步骤 求所求角的某个三角函数值 确定所求角的范围 范围讨论的过大或过小 会使求出的角不合题意或漏解 根据范围找出角 2 选取函数的原则 已知正切函数值 选正切函数 已知正余弦函数值 选正弦或余弦函数 若角的范围是 0 选正弦或余弦函数均可 若角的范围是 0 选余弦较好 若角的范围是 选正弦较好 变式训练 在 abc中 则角c等于 解析 选a 由题意tana tanb 1 tanatanb 故tan a b 又a b c 所以 易错误区 给值求角问题中忽略角的范围致误 典例 2013 杭州高一检测 已知tan 1 m tan tan m tan 0 且 都是锐角 则 解析 由已知可得tan 1 m tan tan tan 上式两边分别相加得 tan tan 1 tan tan 所以又因为所以0 所以 答案 误区警示 防范措施 1 明确角的范围在求解给值求角问题时 要根据已知条件明确所要求的角的范围 根据所求角的三角函数值才能准确把握所求的角 如本例中由已知得出0 在此范围内tan 的角只有一个 2 明确三角函数名称的选择在给值求角的题目中 需由已知条件先求出此角的某个三角函数值 如本例中由已知都与正切值有关 故对 求其正切值 类题试解 已知tan 3 tan 2 则 解析 因为 所以 0 所以 答案 1 与相等的是 a tan66 b tan24 c tan42 d tan21 解析 选b 原式 2 已知 为任意角 则下列等式 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin tan 其中恒成立的等式有 a 2个b 3个c 4个d 1个 解析 选b 中 均为任意角 但是 中需要满足正切函数的定义域 还要满足分母不为零 不能为任意角 3 已知tan tan 则tan 2 的值是 解析 选c tan 2 tan 故tan 2 tan 2 4 已知则 解析 答案 5 tan67 tan22 tan67 tan22 解析 因为tan67 tan22 tan