高中数学 1.3.1 双曲线及其标准方程配套多媒体教学优质课件 北师大版选修11.ppt

3双曲线3 1双曲线及其标准方程 生活中有很多双曲线的图形 如何求双曲线的方程 通过今天的学习 我们来解决这个问题 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 重点 2 了解双曲线标准方程的推导过程 难点 3 会利用定义和标准方程解决一些简单的问题 难点 探究点1双曲线的定义问题1 椭圆的定义 提示 平面内到两定点f1 f2的距离的和等于常数2a 2a f1f2 0 的点的轨迹 问题2 如果把椭圆定义中的 距离之和 改为 距离之差 那么点的轨迹是怎样的曲线 提示 双曲线的一支 如图 取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点f1 f2上 f1到f2的长为2c c 0 把笔尖放在拉链开口的咬合处m m与点f1的距离减去m与点f2的距离所得的差等于2a c a 0 随着拉链逐渐拉开或者闭拢 笔尖就画出一条曲线 这条曲线上的点m满足下面的条件 mf1 mf2 2a如果使点m到点f2的距离减去点m到点f1的距离所得的差等于2a 就得到另一条曲线 这条曲线上的点m满足下面的条件 mf2 mf1 2a这两条曲线合起来叫作双曲线 每一条叫作双曲线的一支 两个定点f1 f2 双曲线的焦点 f1f2 2c 焦距 平面内到两定点f1 f2的距离 等于常数 大于 且小于 的点的集合叫作双曲线 一 定义 mf1 mf2 2a 之差的绝对值 零 f1f2 思考1 平面内到两定点f1 f2的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗 提示 不一定 在平面内 到两个定点f1 f2的距离差的绝对值为2a 只有2a f1f2 时才为双曲线 思考2 若2a 0 轨迹是什么图形 提示 线段f1f2的垂直平分线思考3 若2a 2c 轨迹是什么 提示 两条射线 1 建系设点 f 2 f1 m 2 写出适合条件的点m的集合 3 用坐标表示条件 列出方程 4 化简 求曲线方程的步骤 二 方程的推导 探究点2双曲线的标准方程 如图 给定双曲线 它的焦点为f1 f2 焦距 f1f2 2c c 0 双曲线上任一点到两焦点之差的绝对值为2a 0 a c 以直线f1f2为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 焦点f1 f2的坐标分别为f1 c 0 f2 c 0 则双曲线的标准方程如何求 提示 设m x y 是双曲线上任意一点 由双曲线的定义 点m满足 mf1 mf2 2a或 2a 因为所以化简 得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 由双曲线的定义可知 2c 2a 0 所以c2 a2 0 设c2 a2 b2 b 0 代入上式 得b2x2 a2y2 a2b2 即 这就是说 双曲线上点的坐标都满足这个方程 反之 可以证明 以这个方程的解为坐标的点都在双曲线上 这个方程叫作双曲线的标准方程 这条双曲线的焦点在x轴上 其坐标为f1 c 0 f2 c 0 如果焦点f1 f2在y轴上 利用同样的方法 可以得到双曲线的标准方程为 f 2 f1 m 提升总结 双曲线的的两种形式 思考1 若已知一个曲线的轨迹是双曲线 如何求其标准方程呢 提示 设出其双曲线的标准方程 求出参数a b的值即可 思考2 在设双曲线标准方程时 首先应注意什么问题 提示 应注意双曲线焦点的位置 是在x轴上还是在y轴上 练一练 写出以下双曲线的a b c及焦点f的坐标 f 5 0 f 0 5 a 4 b 3 c 5 a 3 b 4 c 5 a 4 b 3 c 5 a 3 b 4 c 5 f 5 0 f 0 5 例1已知双曲线的两个焦点坐标分别为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距离的差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 因为2a 6 c 5 所以a 3 c 5 所以b2 52 32 16 所以所求双曲线的标准方程为 例2相距2km的两个哨所a b听到远处传来的炮弹爆炸声 在a哨所听到爆炸声的时间比在b哨所迟4s 已知当时的声速为340m s 试判断爆炸点在什么样的曲线上 并求出曲线的方程 变式练习 如图 在海岸上有两码头a b相距10km 海上一轮船位于p处 经测算 恰在以a b为焦点的双曲线上 且测得 apb 90 b在p的北偏东30 的方向上 则p所在双曲线的方程是 解析 ab 2c 10 所以c 5 又由已知得 pba 60 所以 pab 30 所以pb 5 所以所以所以 即所以所求方程为即答案 1 平面内一动点到两定点距离之差为常数 是 这一动点的轨迹为双曲线 的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件提示 由 这一动点的轨迹为双曲线 能推出 平面内一动点到两定点距离之差为常数 反之不成立 a 2 若方程表示双曲线 则实数k的取值范围是 a k3d k3提示 由题意可知 解得 1 k 3 b 3 双曲线的焦点坐标是 3 0 5 已知双曲线c与双曲线有公共焦点 且过点 2 求双曲线c的方程 解析 设双曲线方程为由题意易求c 又