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基于优化方法的数值模式的误差估计方法及实现由于我们无法求得约束问题的解析解，只能求离散形式的数值解。我们将模式约束问题离散为 (1)其中f=.（1）（2）可以表示为无约束优化问题 (2)解（1）常用方法是通过无约束形式（2），计算泛函和关于扰动量的解。在此过程中，必须建立数值模型伴随模式。在实际问题中由于偏微分方程非常复杂，建立一个伴随方程往往需要耗费巨大的工作量。为了克服梯度类方法需要模式(1)的伴随模式的缺陷, 我们使用PSwarm算法。下面我们试验此算法的效果。热方程通常具有以下形式 （5）我们在此选取齐次的边界条件. 在以下讨论中, 均假设当它的初始条件取为 0 x 1, (6)外强迫项为E(x,t)=Acostsin2x 0 x 1,0 t 1 (7)模式(5)是准确模式, 它所对应的数值模式为 0x1, 0t1, (8)则数值模式的误差实际上就是准确模式的源项E(x,t), 它表示实际存在却未能被模式(8)表示的过程. 下面将分初始条件准确已知和未知两种情形, 在此我们着重讨论初值确定的情形。初始条件准确已知时，情形假设模式 (6)的初始条件已知.要阐明利用历史数据估计误差项E(x,t) 时空演变过程, 我们首先需要求解有外强迫项(7)的准确模式, 以产生理想“测”数据, 再利用理想“观测”,生成模式误差项所满足的控制问题：（虽然K取任何值时方程都成立，我们在此处只考虑k=1的情形） （9）为了得到历史“观测”确定模式误差项E(x,t)的时空演变值, 我们需要将问题(5)与(9)离散化, 然后利用无导数优化算法求解它.空间变量离散时, 我们选用Galerkin法, 将0,1区间n 等分, 记称为线性有限元基函数 = 0 其他因（5）的边界条件齐次，可得 （10） （11）将（10）和（11）式代入初值问题（5）可得 0t1 （12）其中Q=(h/6)M=B= A=再将(10)和(11)式代入问题(17)的目标泛函后得 （13）下面对问题(12)和(13)进行时间变量离散. 划分时间0,1为 记, 其中m为取定的正整数. 然后对方程(14)关于时间变量分别做向前向后一阶差分后再平均, 并对(23)式的目标泛函用复化梯形公式求积分, 得 （15）其中是以下方程的解 （22）为了叙述方便, 令我们可选取(n + 1)(mK + 1) 维空间中的2(n+1)(mK +1)个正负坐标轴单位向量作为PSwarm优化算法的搜索方向集合, 即令 （23）为表明PSwarm算法方法估计模式误差的有效性, 我们需要将E(x,t) 的数值解与精确解(7)式比较，比较结果见下面的图像。下面的六幅图分别为t=0, t=0.2, t=0.4,t=0.6, t=0.8,t=1.0时刻的情形（
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