C5稳定性ppt课件

2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 1 第五章系统的稳定性与李雅普诺夫方法 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 2 系统的稳定性与李雅普诺夫方法 5 1关于稳定性的基本概念 5 3李亚普诺夫第二方法 5 4李亚普诺夫第二方法在线性统的应用 5 6本章小结 5 2李亚普诺夫第一方法 5 5李亚普诺夫第二方法在非线性系统中的应用 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 3 5 1关于稳定性的基本概念 状态轨迹 设所研究系统的齐次状态方程为 式中 x n维状态矢量 f 与x同维的矢量函数 是 在给定初始条件 下 有唯一解 上式描述了系统在n维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹 简称为系统的运动和状态轨线 和时间t的函数 一般f为时变的非线性函数 如果不含t 则为定常的非线性函数 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 4 5 1关于稳定性的基本概念 说明 1 对于任一个系统 不一定都存在平衡状态 2 如果一个系统存在平衡状态 其平衡状态也不一定是唯一的 3 当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的平衡态时 称此平衡态为孤立的平衡态 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 5 5 1关于稳定性的基本概念 6 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的 这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解 7 如果一个系统有多个平衡点 由于每个平衡点处系统的稳定性可能是不同的 因此对有多个平衡点的系统来说 要讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐个讨论 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 6 5 1关于稳定性的基本概念 通过输入和输出关系表征系统的外部稳定 通过状态和其运动规律 表征系统内部稳定 外部稳定 BIBO稳定 结论 系统BIBO稳定的充要条件是系统传递函数极点都有负实部 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 7 5 1关于稳定性的基本概念 内部稳定 渐近稳定 结论 线性定常系统是渐近稳定的充要条件是其系统阵A的特征根都有负实部 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 8 5 1关于稳定性的基本概念 BIBO稳定与渐近稳定的关系 若系统系统是能控能观的 则 否则 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 9 5 1关于稳定性的基本概念 例 设系统的状态空间表达式为 试分析系统的状态稳定性与BIBO稳定性 解 1 有A的特征方程 可知系统的状态是不稳定的 2 由系统的传递函数 故系统输出稳定 这是因为具有正实部的特征值 被系统的零点s 1对消了 不稳定部分被掩盖 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 10 5 1关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 11 5 1关于稳定性的基本概念 李雅普诺夫根据系统的自由响应是否 没有控制信号u的驱动 有界把系统的稳定性定义为四种情况 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 12 5 1关于稳定性的基本概念 说明 1 这里实数与有关 类似于高数中极限 收敛的概念 2 一般情况下与也有关 当与无关时 则称为一致稳定的 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 13 5 1关于稳定性的基本概念 说明 1 渐近稳定是个比稳定更加苛刻的限制定义 如果一个平衡状态是渐近稳定的 那么它一定稳定 反之不一定成立 2 不论是稳定还是渐近稳定 都有一个共同的限制条件 即要求 即初始状态要在一定范围之内 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 14 5 1关于稳定性的基本概念 大范围渐近稳定 如果平衡状态是稳定的 而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性 即没有的限制 而只有 且有 在是大范围渐近稳定的 则称系统 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 15 5 1关于稳定性的基本概念 总而言之 球域限制着初始状态的取值 规定了系统自身响应的边界 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 16 5 1关于稳定性的基本概念 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 17 5 2李雅普诺夫第一方法 雅可比矩阵 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 18 5 2李雅普诺夫第一方法 定理1 李雅普诺夫第一方法 若f x 的雅克比矩阵在x xe处所有的特征根都有负的实部 则原系统在x xe处是渐进稳定的 且稳定性与f x 的高阶导数无关若f x 的雅克比矩阵在x xe时所有的特征根多于一个的实部大于零 则系统在x xe处不稳定 若f x 的雅克比矩阵在x xe处有实部为零的特征根其他均为负的实部 则系统的稳定性由f x 的高阶导数决定 北京科技大学自动化学控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 19 例 设系统的状态方程为 x1 x1 x2x1x2 x2 x1x2试用第一方法分析系统在平衡状态上的稳定性 5 2李雅普诺夫第一方法 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 20 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 李雅普诺夫第二方法又称直接法 它的基本思路不是通过求解系统的运动方程 而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断 李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数V x 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 21 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 22 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 一 预备知识 标量函数的符号性质 设V x 为由n维矢量x所定的标量函数 且在x 0处恒有V x 0 对所有域中的任何非零矢量x 如果成立 1 则称V x 为正定的 例如 2 则称V x 为半正定的 或非负定的 例如 3 则称V x 为负定的 4 则称V x 为半负定的 例如 5 V x 0或V x 0 则称V x 为不定的 例如 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 23 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 例5 4 判别下列各函数的符号性质 2 3 V x 正定 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 24 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二法分析系统得稳定性中起着重要的作用 定义 二次型标量函数 设 是一向量 矩阵P为实对称矩阵 则称 为二次型标量函数 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 25 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 于是 我们常称 为二次型函数的标准型 定理 正定的充要条件是对称矩阵P的所有特征值均大于零 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 26 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 二次型标量函数V x 中P的性质和说明 1 若V x 正定 则称P为正定 记作P 0 2 若V x 负定 则称P为负定 记作P 0 3 若V x 半正定 则称P为半正定 记作P 0 4 若V x 半负定 则称P为半负定 记作P 0 由上可见 P的符号性质与V x 定义的符号性质完全相同 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 27 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 二次型标量函数性质的判别方法 定义法 见例5 4 例 试判断如下P阵对应的二次型函数的正定性 1 2 半正定 正定 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 28 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 29 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 二 李雅普诺夫第二方法的稳定性判据 设系统的状态方程为 平衡状态为 如果存在一个标量函数V x 满足 1 V x 对所有x都是有连续的一阶偏导数 2 V x 是正定的 3 V x 沿状态轨道方向计算的时间导数 分别满足下列条件 若为半负定 那么平衡状态李雅普诺夫意义下稳定 称为李雅普诺夫稳定判据 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 30 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 3 若为正定 那么平衡状态是不稳定的 李雅普诺夫不稳定判据 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 31 几点说明 1 对于同一个系统 不论它是线性的 还是非线性的 可以找到不同的V x 只要能找到使负定或半负定的V x 正定 则按照上述判据即知系统稳定性情况 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 2 即使找不到使V x 正定 负定的V x 也不能说明该系统是不稳定的 而只是你没有找到而已 当然若找到了符合条件 3 的V x 则可证明系统不稳定 找不到符合上面1 2 3 的V x 不能下结论 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 32 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 3 对于 则 这意味着运动将在形成的曲面上运动而不会收敛于原点 这相当于极限环或者临界稳定 4 若 这时运动轨迹只在某一时刻与某特定曲面相切 运动轨迹通过切点后会继续向原点收敛 因此此情况的属于渐进稳定 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 33 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 例 已知系统状态方程为 试分析系统平衡状态的稳定性 线性系统的稳定性只与A有关 与控制和输出无关 解 1 求平衡状态 2 选取李雅普诺夫函数V x 多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V x 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 34 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 3 求 可见只要就有成立 下面需要讨论当成立否 若 状态方程 已知条件 矛盾 可见不可能成立 该系统是渐进稳定 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 35 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 另选一个李氏函数 再判断前面这道例题的稳定性问题 4 判断大范围渐进稳定性 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 36 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 系统的运动方程 取m 1时 系统的方程为 取x1 x 位移 x2 系统的状态方程为 系统的能量为 V x F x1 x2 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 37 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 半负定 系统在x 0处大范围渐进稳定的 此系统位移不为零时 速度也不为零 所以在系统运动轨迹上 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 38 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 例 已知非线性状态方程 试判别系统的稳定性 解 求平衡状态 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 39 求 因此该系统是渐进稳定的 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 取 当 是大范围渐进稳定的 例 设系统状态方程如下 试判定其稳定性 解 求平衡点 取 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 40 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 求 稳定性分析 几点说明 1 李氏稳定判定方法的关键是找v x 但并没有提供找v x 的方法 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 41 5 3李雅普诺夫第二方法 通用方法 4 由于构造v x 较难 因此实际上李氏判据主要用于其他方法无法判定的情况 我们则主要掌握对线性系统的判定 3 v x 函数只提供了系统在附近的稳定情况 域外情况由的情况来延伸 2 对于一个给定系统v x 的选取一般不是唯一的 但并不影响结论的一致性 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 42 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 一 线性定常连续系统渐进稳定性判据 为渐进稳定的充要条件是 对任意给定的正定实对称矩阵Q 必定存在正定的实对称矩阵P 满足李雅普诺夫方程 定理 设线性定常系统为 A B C 则平衡状态 并且 是系统的李雅普诺夫函数 证明 充分性 若P为正定的 则取 则V x 正定 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 43 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 负定 必要性 考察方程 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 44 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 P对称 P正定 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 45 用该判据判定线性定常系统的稳定性请注意以下几点 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 常先取Q I 由求出P 再判定P的正定性 若P正定则大范围渐进稳定 若沿任一轨迹不会恒为零 Q可取半正定 例1 试分析如下系统的状态方程平衡点的稳定性 解 设 Q I 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 46 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 则由 解得 故P是正定的 系统在平衡点一大范围渐近稳定的 2020年4月19日3时2分 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 47 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 二 线性时变连续系统渐进稳定性判据 为一致渐进稳定的充要条件是 对任意给定的一致有界正定实对称矩阵Q t 必定存唯一的实对称矩阵P一致有界 正定 并满足李雅普诺夫方程 定理 设线性定时变系统为 A t B t 则平衡状态 2020年4月19日3时2分 48 5 4李雅普洛夫方法在线性系统中的应用 三 线性定常离散系统渐近稳定判据 定理 设线性定常离散时间系统的状态方程为 则平衡状态处渐近稳定的充要条件是 对于任 意给定的正定实对数矩阵Q 必存在一个正定实对称矩阵P 满足 系统的