模糊控制的理论基础

第二章模糊控制的理论基础 引言模糊集合论的基础模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成小结 第一节引言 模糊控制的发展模糊控制的特点 模糊控制的发展 传统的控制方法是建立在被控对象的精确数学模型的基础上的 随着系统复杂程度的提高 很难建立的精确数学模型和满足实时控制的要求 人们在不断寻找好的办法 人可以凭着丰富的经验可以满足复杂的控制 比如人骑自行车 不可以用数学模型来精确描述骑自行车的状态 模拟人的思维方法 将自然语言植入计算机内核中 使计算机具有智能 产生一种控制方法 模糊逻辑控制 1965年 Zadeh提出模糊集理论 模糊控制理论 以模糊集合为数学基础 1974年 E H Mamdani首先利用模糊数学理论进行蒸汽机和锅炉控制方面的研究 模糊控制依赖操作者的经验 传统的控制依赖于微分方程组等 改善模糊控制性能最有效的方法是优化模糊控制规则 模糊规则是通过将人的操作经验转化为模糊语言形式获取的 带有一定的主观性 模糊控制发展的几个转折点 1972年Zadeh模糊控制原理1973年Zadeh复杂系统分析和决策过程的逼近方法1974年Mamdanietal蒸汽机的模糊控制1976年Rutherfordetal模糊算法分析1977年Ostergaad热交换器和水泥窑模糊控制1979年Komolovetal有限自动机原理1980年Tongetal污水处理过程的模糊控制1983年Hrotaetal概率模糊理论集1988年Czogala多输入模糊控制系统1991年DeNeyeretal内模模型的模糊控制 模糊控制的特点 模糊控制是建立在人们的经验基础上的 将熟练操作员的经验用语言表达出来 形成一种定性的 不精确的控制规则 用模糊数学将其定量化为模糊控制算法 形成模糊控制理论 模糊控制器的特点 1 无需知道被控对象的数学模型 依据被控对象的控制经验 2 是一种反映人类智慧的智能控制 大 中 小等模糊量 3 容易被人们接受 控制规则 人类的语言表达的 衣服很大 4 构造容易 用单片机来构造模糊控制系统控制算法用软件实现 5 鲁棒性好 具有良好的鲁棒性和适应性 模糊控制的定义 模糊控制器的输出是通过观测过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的 三个概念 测量信息的模糊化 将实测的物理量转化为语言变量域内模湖子集 推理机制 使用数据库和规则库 决定模糊控制的输出子集 输出模糊集的精确化 将模糊控制量转化为清晰的 确定的输出控制量 模糊控制技术需要解决的具体问题 1 模糊控制器的构造 单片机 集成电路 可编程控制器 PLC 2 模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法 3 模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术 A D和D A技术 4 实现模糊控制系统的软技术 仿真软件 5 模糊控制器和被控对象的匹配技术 依赖人们的经验 模糊控制还需要解决的问题 1 人的知识和经验的表达 2 知识推理的方法 3 人的知识的获得和总结 4 模糊控制系统稳定性判据 5 模糊控制系统的学习 6 模糊控制系统的分析 7 模糊控制系统的设计方法 模糊控制系统人性化 模糊控制容忍噪声的干扰和元器件的变化 模糊控制适应性好 第二节模糊集合论基础 一 模糊集的概念 经典集合论 有限集合和无限集合 连续集合和离散集合不同的表示方式 1 列举法 将几何的元素全部列出来的方法 2 定义法 用集合中的共性来描述集合的方法 3 归纳法 通过一个递推公式来描述一个集合 4 特征函数表示法 用经典集合中非此即彼的方法表示集合 5 通过某些集合的运算来表示的集合 并 交 补等等 经典集合论具有高度的严密性和精确性 经典集合论与模糊集合论比较 1 经典集合论任意元素和任意一个集合之间的关系是 属于 和 不属于的 而模糊集合论是用 隶属度 来表示的 定义2 1模糊集合 论域U中的模糊集F用一个在区间 0 1 上的取值的隶属函数来表示 即 例2 1设F表示远远大于0的实数集合 则它的隶属度函数可以用下式来定义 可以算出u 5 0 2 u 10 0 5 u 20 0 8 表示5属于大于零的程度为0 2 也就意味5算不上是远远大于0的数 若U为离散域 即论域U是有限集合时 模糊集合可以有以下三种表示方法 1 查德表示法即 例2 2考虑论域U 0 1 2 10 和模糊集F 接近于0的整数 它的隶属度函数表示法 2 序偶表示法 3 向量表示法 二 模糊集合的运算 对于模糊集合 元素与集合之间不存在属于或者不属于的明确关系 但实际集合与集合之间还是存在相等 包含以及与经典集合论一样的一些集合运算 如交 并 补等等 定义2 3设A B是论域U的模糊集 即 若对于任一都有 则称B包含于A 或者称B是A的一个子集 记作 若对于任一都有 则称B等于A 记作 定义2 6补 模糊集合A的不隶属度函数 对所有的 被逐点定义为 定理2 1模糊集运算的基本定律 设U为论域 A B C为U中的任意模糊子集 则下列等式成立 1 幂等律 2 结合律 3 交换律 4 分配律 5 同一律 6 零一律 7 吸收律 8 德 摩根律 9 双重否认律 注意 不满足互补律 模糊集合运算的优缺点 优点 计算比较简单缺点 利用取大和取小运算 不能够满足实际的需要 不能够反映系统的实际情况 为此 我们引入两个新的算子 概率算子和有界算子 定义2 7称为概率算子 对有 注意 模糊集的代数运算满足结合律 交换律 德 摩根律 同一律和零一律 但是不满足幂等律 分配律 吸收律和互补律 其中 模糊集的有界运算满足结合律 交换律 德 摩根律 同一律和零一律 也满足互补律 但不满足幂等律 分配律和吸收律 三 隶属度函数的建立 模糊集合是用隶属度函数来描述的 模糊集合的特征函数称作隶属度函数 隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性 遵守的基本原则 1 表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 例如 速度适中 的隶属度函数 在一定范围内或者一定条件下 模糊概念的隶属度具有一定的稳定性 从最大的隶属度函点出发向两边延伸时 其隶属度函数的值必须是单调递减的 而不许有波浪性 总之 隶属度函数呈单峰馒头形 凸模糊集合 一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线 凸模糊集合 非凸模糊集合 2 变量所取隶属度函数通常是对程和平衡的 模糊变量的标称值选择一般取3 9个为宜 通常取奇数 平衡 在 零 适中 或者 合适 集合的两边语言值通常取对称 如速度适中 一边取 速度高 一般另一边取 速度低 满足对称 3 隶属度函数要符合人们的语义顺序 避免不恰当的重叠 在相同的论域上使用的具有语义顺序关系的若干标称的模糊集合 应该合理的排列 下面的排列是错误的 4 论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域 同时它一般应该属于至多不超过两个隶属度函数的区域 5 对于同一输入 没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度 6 对两个隶属度函数重叠时 重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉 重叠指数 重叠指数是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标 重叠率和重叠鲁棒性 一般取0 2 0 6 一般取0 3 0 7 重叠率和重叠鲁棒性越大 模糊控制模块更具有模糊性 1 模糊统计法 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断 模糊集 如 年轻人清晰集 17 30岁的人 25 35岁的人 对于同一个模糊集可以有不同的清晰集 模糊统计法计算步骤 N越大 隶属频率就越稳定 但是计算量比较大 2 例证法例证法由已知的有限个隶属函数的值 来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数 3 专家经验法专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法 4 二元对比排序法二元对比排序法是通过多个事物之间两两对比来确定某种特征下的顺序 由此来确定这些失去对该特征的隶属函数的大体形状 P21 模糊控制中的隶属函数图形大概有以下三大类 1 左大右小的偏小型下降函数 Z函数 2 左小右大的偏大型上升函数 S函数 3 对称型凸函数 II函数 图Z函数 图S函数 x 四 模糊关系 1 模糊关系的定义 关系是客观世界存在的普遍现象 如父子关系 大小关系 属于关系 二元关系 多元关系 多边关系等等 关系明确 相似程度来表示 是一个模糊的关系 关系模糊 对普通的关系的拓展和发展 内容更丰富 更广泛 当然 也可以推广到n个集合的直积 例2 5考察两个整数之间的 大得多 的关系 设论域U 1 5 7 9 20 大得多 的关系R 例2 6设有七种物品 苹果 乒乓球 书 篮球 花 桃 菱形组成的一个论域U 并设x1 x2 x7分别为这些物品的代号 则U x1 x2 x7 现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系 对于确定的控制系统 系统的输入输出存在确定的关系 对以模糊的控制系统 系统的数日输出存在模糊的关系 其中 例设U 1 2 3 V 1 2 3 4 v u 定义2 12迪卡尔积 t算子 若 对于连续情况 关系矩阵可以定义为 定义2 13设 2 模糊关系的合成 前面讲的是单个推理 那么对于多重推理如何解决 如 ifAthenB ifbthenC 则A与C是什么关系 模糊关系也存在关系合成 主要通过模糊关系矩阵来合成 例2 8某家中子女与父母的长相相似关系R为模糊关系 可表示为 用模糊矩阵R来表示为 该家中父母与祖父母的相似关系S也是模糊关系 可表示为 用模糊矩阵R来表示为 那么家中孙子 孙女与祖父 祖母的相似程度如何 定义2 14模糊关系合成 如果R和S分别为迪卡尔空间和上的模糊关系则R和S的合成是定义在迪卡尔空间上的模糊关系 并记为 其隶属度函数的计算方法为 模糊关系合成算子sup min存在以下特性 其他P27 第三节模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 17世纪 数学家和哲学家把数学的方法用到哲学中去 形成数理逻辑 二值逻辑 非此即彼的逻辑 模糊逻辑 如年轻这个概念是一个模糊的概念 一 二值逻辑 常用的命题联结词 析取 合成 否认 蕴涵 等价 二 模糊逻辑与基本运算 二直逻辑的特点是一个命题不是真命题就是假命题 但是在很多情况下要做出非真即假的判断很难 比如 他是一个高个子 模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑 而模糊命题就是带有模糊概念或者带有模糊性的陈述句 模糊命题的真假不是绝对的 而是反映多大程度隶属于 真 或者 假 模糊逻辑的基本运算 1 模糊逻辑补 用来对某个命题的否定 2 模糊逻辑合取 3 模糊逻辑析取 4 模糊逻辑蕴涵 如P是真 则Q也是真 5 模糊逻辑等价 6 模糊逻辑界积 7 模糊逻辑界和 8 模糊逻辑界差 模糊逻辑的基本定律 1 幂等律 2 交换律 3 结合律 4 吸收律 5 分配律 6 双否律 7 德 摩根律 8 常数运算法则 三 模糊语言逻辑 模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人的思维的逻辑 定义2 16语言值 在语言系统中 那些与数值直接联系的词 如长 短 多 少等等 或者由它们加上语言算子 如很 非常等等 而派生的词组 如非常多 很长等等 定义2 17语言变量 语言变量是用一个五元素的集合 X T X U G M 来表征的 语气算子分三类 语气算子 模糊化算子和判定化算子 语气算子语气算子用来表达语言中的对某一个单词或者词组的确定性程度 分集中化算子或强化算子 松散化算子或淡化算子 对于原语言值 经语气算子作用 形成一个新的语言值 设原来的语言值 的隶属度函数为 新的语言值的隶属度函数为则 举例 10page32 2 模糊化算子模糊化算子是用来使语言中某些具有清晰概念的单词或者词组的语义模糊化 或者是将原来已经是模糊概念的词义更加模糊化 如 大概 近似于 例2 11设论域X上的清晰集的特征函数为 且取c 5 则 大约是5 这一语言的隶属度函数可以定义为 5 正态分布曲线处理 3 判定化算子判定化算子跟模糊化算子的作用相反 它是将原来具有模糊词义肯定化处理 如 倾向于 大半是 等等 四 模糊逻辑推理 若A则B 若B则C 结论 若A则C 若A大 则B小 若A较大 则B应该多少 不确定性推理方法分四类 MYCIN法 主观悲叶斯法 证据理论法 模糊逻辑推理法 模糊逻辑推理法是以模糊判断为前提的 运用模糊语言规则 可推出一个新的模糊判断结论的方法 1 扎德法 2 玛达尼法 解 已知 例2 12设论域X Y 1 2 3 4 5 X Y上的模糊子集 大 小 较小 分别定义为 大 0 4 3 0 7 4 1 5 小 1 1 0 7 2 0 3 3 较小 1 1 0 6 2 0 4 3 0 2 4 已知规则若x小 则y大 问题 当x 较小时 则y多大 根据扎德法 以及 玛达尼法 得到 由扎德推理法 得到 同理可得 可得x较小时的推理结果 模糊合成法 最小最大法 2 模糊条件推理法 语言规则是 如果x是A 则y是B 否则y是C 其逻辑表达式为 根据逻辑表达式 其模糊关系R可以写成 根据模糊推