人教数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系章末小结复习_课件

章末归纳总结 1 知识结构 2 规律方法总结 1 证点共线 常证明点在两个平面的交线上 2 证点线共面 常先据公理二及其推论确定一个平面 再证其它元素都在这个平面内 3 证线线平行 常用公理4 线面平行的性质 面面平行的性质 两直线与同一平面垂直 4 证线面平行 常用线面平行的判定定理 线面平行的定义 5 证面面平行 常用判定定理 定义 推论或证两平面和同一条直线垂直 有时也用两平面与同一平面平行 6 证线线垂直 常用两直线所成的角是直角 线面垂直的性质 面面垂直的性质 7 证线面垂直 常用判定定理 定义 8 证面面垂直 常用判定定理 定义 9 求二面角 直线与直线所成角 常先作出角然后组成三角形 并通过解三角形求角 3 空间中的垂直关系 平行关系的判定方法归纳如下 表1直线与直线平行 表2直线与平面平行 表3两平面平行 表4直线与平面垂直 表5平面与平面垂直 4 本章所涉及的一些思想方法 1 数学研究的对象有两大块 数量关系和空间形式 其中 空间形式 主要是由几何研究的 立体几何是训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材 在训练发展思维能力和空间想象能力上 具有其它内容不可替代的作用 第一章从对空间几何体的整体观察入手 遵循从整体到局部 具体到抽象的原则 通过直观感知认识空间图形 本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研究 以四个公理为基础 通过定义定理的形式 构建立体几何的大厦 通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空间想象能力 以及运用几何语言 图形语言进行交流的能力 立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面几何 集合 函数 方程的联系上 贯穿于立体几何中的化归思想 分类讨论思想 数形结合思想以及立体几何特有的平移法 正投影法 体积法 展开法 翻折法 割补法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法 2 深刻体会转化思想立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思想 点面距 线面距 面面距 点线距等它们之间也可相互转化 例如求点面距时 可沿平行线平移 点面距 线面距 点面距 或沿平面的斜线转移 例如求A到平面 的距离 AB与 相交于点B P为AB中点 就可转化为求P到平面 的距离等等 通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体 通过等体积变换 使问题变为可求的转化策略 通过添加辅助线面 将空间问题化为平面几何问题的降维转化策略 3 逐步体会 掌握立体几何特有的方法 平移 沿平行线转移 沿平面的斜线转移 沿平面转移等 平行投影与中心投影 特别是正投影 等积变换与割补 展开 卷起 折叠 旋转 数学思想与方法不是孤立的 不能截然分离开来 在数学思想指导下研究解决具体问题的方法 而研究解决问题的方法过程中又丰富了数学思想 4 类比的方法 类比平面几何的一些结论 可猜想立体几何的一些结论 从而提供思维的方向 一 转化的思想 例1 如图所示 AB为 O的直径 C为 O上一点 AD 面ABC AE BD于E AF CD于F 求证 BD 平面AEF 分析 要证BD 平面AEF 已知BD AE 可证BD EF或AF 由已知条件可知BC 平面ADC 从而BC AF 故关键环节就是证AF 平面BDC 由AF DC即可获证 解析 AB为 O直径 C为 O上一点 BC AC 点评 证明线面垂直可转化为证线线垂直 而要证线线垂直又转化为证线面垂直 本题就是通过多次转化而获得证明的 这是证垂直问题的一个基本规律 须熟悉其转化关系 例2 四棱锥P ABCD中 侧面PAD是正三角形 且与底面垂直 又底面ABCD为矩形 E是PD中点 1 求证 PB 平面ACE 2 若PB AC 且PA 2 求三棱锥E PBC的体积 解析 1 设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O 则O为BD中点 又E为PD中点 EO PB PB 平面ACE EO 平面ACE PB 平面ACE 2 作PF 平面ABCD 垂足为F 则F在AD上 又 PA PD F为AD中点 连BF交AC于M PF 平面ABCD AC 平面ABCD AC PF 又AC PB PB PF P AC 平面PBF AC BF AD PA 2 AF FD 1 BC 2 例3 正三棱柱ABC A1B1C1中 各棱长均为4 M N分别是BC CC1的中点 1 求证 BN 平面AMB1 2 求三棱锥B AB1N的体积 分析 线面垂直与线线垂直转化 立几问题向平几转化 等积变换 解析 1 M为BC中点 ABC为正三角形 AM BC 又侧面BCC1B1 底面ABC AM 平面BCC1B1 又BN 平面BCC1B1 AM BN 在正方形BCC1B1中 M N分别为BC CC1中点 B1M BN 想一想为什么 BN 平面AMB1 二 展开与折叠 旋转 例4 如图将无盖正方体纸盒展开 直线AB CD在原正方体中的位置关系是 A 平行B 相交且垂直C 不相交也不平行D 相交成60 解析 本题是展开与折叠问题 考查空间想象能力 如图折起后 B与D点重合 AB与CD成 ABC 60 选D 答案 D 例5 已知Rt BAC中 AB AC a AD为斜边BC上的高 以AD为折痕使 BDC折成直角 如图所示 求证 平面ABD 平面BDC 平面ACD 平面BDC 例6 已知三角形ABC的边长分别是AC 3 BC 4 AB 5 以AB所在直线为轴 将此三角形旋转一周 求所得几何体的体积 解析 旋转问题 以AB为轴旋转得到两个同底的圆锥组合体易求体积为 三 反证法 例7 求证 不在同一平面的两两相交的三条直线必共点 分析 要证三线共点 只需证其中两线相交于某一点 然后再证明另一条直线也通过这一点 或通过反证法得出 解析 方法1 如图 a b c两两相交 设a b确定平面 b c确定平面 a c确定平面 且a b O O a O O b O O O c 公理1 a b c交于一点 方法2 反证法 设a b O a b确定平面 若c不过O点 设a c O b c O 则O O 则c 此与a b c不在同一平面矛盾 a b c交于一点 点评 证三线共点 先证两直线交于一点 再证另一条直线也过这一点 是常规思路 而反证法也是立体几何中经常使用的数学方法 一般步骤为 反设 作出与结论相反的假设 归谬 由所作假设连同已知条件出发 通过逻辑推理导出矛盾 与假设或已知条件 公理 定理矛盾 判断 矛盾的产生由假设错误引起 故原结论正确 以上三步骤缺一不可 解析 本题是等积变换问题 考察三棱柱体积和分析解决问题能力 解决时 可特殊化 取正三棱柱考察 一般处理时 可做垂直于一条侧棱的截面 答案 B 例9 如图所示 在多面体ABCDEF中 已知面ABCD是边长为3的正方形 EF AB EF EF与面ABCD的距离为2 求该多面体的体积 解析 本题是割补 等积变换 问题 分别取AB CD的中点M N 则平面FMN 平面ADE 几何体ADE MNF是一个棱柱 几何体F BCNM是一个棱锥 易求得体积为 例10 已知四个面都是直角三角形的三棱锥 其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD 如图所示 AD AB AD DC AB 2a BC a CD a 1 请在图中设计一种虚线 沿虚线翻折可成原来的三棱锥 指三棱锥的三个面 2 求这个三棱锥外接球的体积 解析 展开与折叠问题 1 如图所示 取AD中点E 连结EC EB 沿EC EB折起 使点A与点D重合 下面证明以上述方法所得的四面体每个面都是直角三角形 所以 BEC为直角三角形 且 ECB 90 即EC BC 又因为AE AC AE AB 所以AE 平面ABC 所以AC是EC在平面ABC内的正投射 AC BC 所以 ABC也是直角三角形 故四面体ABCE四个面都是直角三角形 五 侧面积与表面积 例11 已知 正三棱锥S ABC的底面边长为a 各侧面的顶角为30 D为侧棱SC的中点 截面 DEF过D且平行于AB 当 DEF周长最小时 求截得的三棱锥S DEF的侧面积 解析 本题是侧面展开问题 如图所示 将正三棱锥侧面展开 可得三个顶角均为30 底边长为a的等腰三角形 D 为SC 的中点 DD 的连线长即为最短距离 DD CC A B E F 即为相应的E F 下面求DD 的长 在 SCB 中 B C a CSB 30 则SC SB 2 在平面几何里 有勾股定理 设 ABC的两边AB AC互相垂直 则AB2 AC2 BC2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥A BCD的三个侧面ABC ACD ADB两两互相垂直 设 ABC ACD ADB BCD的面积分别为S1 S2 S3 S 则有 3 在平面几何里 一个斜三角形ABC A到BC的距离为d BC的边长为l 则S ABC l d 类比这一结论 在立体几何里 一个斜三棱柱ABC A1B1C1一条侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为d 侧面BB1C1C的面积为S 则斜三棱柱的体积为 4 在平面几何里 梯形ABCD上底AB a 下底CD b 则中位线EF a b 类比这一结论 在空间中台体上底面积S上 下底面积S下 中截面面积S中有 5 在平面几何里 有 平行于同一条直线的两条直线相互平行 的结论 类比它可以得出空间中关于平面的命题 答案 平行于同一平面的两个平面相互平行 七 距离问题 例13 三棱台ABC A1B1C1中 侧棱CC1 底面ABC ACB 90 AC B1C1 a BC 2a AB1与CC1成45 角 D为BC中点 1 B1D与平面ABC的位置关系如何 2 求三棱台的体积 3 求A1C1与平面AB1C的距离 解析 空间的平移 线面距向点面距转化 再向点线距转化 1 BC中点为D且B1C1 a B