2.3 数学归纳法 公开课ppt课件

2 3数学归纳法 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁 我不是四毛 我是五毛 猜 四毛 问题探究 问题1 口袋中有4个吃的东西 如何证明它们都是甜的 1 求出数列前4项 你能得到什么猜想 2 你的猜想一定是正确的吗 每一个东西都尝一口 猜想数列的通项公式为 解 验证 逐一验证 不可能 能否通过有限个步骤的推理 证明n取所有正整数都成立 多米诺骨牌游戏 多米诺骨牌游戏 如何保证骨牌一一倒下 需要几个条件才能做到 1 第一块骨牌倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 即第K K 1 个骨牌倒下 则一定能推倒紧挨着它的第K 1个骨牌 多米诺骨牌游戏 1 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 2 这个游戏对证明数列的通项公式为 有什么启发 多米诺骨牌与证明通项公式 1 先取n取第一个值 n 1时 猜想成立 那么 当 根据 1 和 2 猜想对于任何都成立 数学归纳法 1 先看n取第一个值 n 1时 猜想成立 那么 当 根据 1 和 2 猜想对于任何都成立 1 证明当n取第一个值n0 n0 N 时命题成立 归纳奠基 2 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 归纳递推 只要完成 1 2 这两个步骤 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 数学归纳法 若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立 验证n n0时命题成立 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 归纳奠基 归纳递推 数学归纳法 两个步骤一个结论缺一不可 数学归纳法与多米诺骨牌游戏相似之处 数学归纳法的第一步 先证明n取第一个值n0时命题成立 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张 数学归纳法与多米诺骨牌游戏相似之处 数学归纳法的第二步 假设当n k时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 相当于多米诺骨牌第K个骨牌倒下后 第K 1个骨牌是否跟着倒下 K K 1 K K 1 数学归纳法与多米诺骨牌游戏 n取第一个值n0时命题成立 假设当n k时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 与正整数n有关的数学命题成立 数学归纳法 即n k 1时等式成立 所以等式对一切自然数均成立 思考1 甲同学猜想用数学归纳法证明步骤如下 证明 假设n k时等式成立 即 那么 上述证法是正确的吗 为什么 结论1 第一步是递推的基础 缺少了第一步就失去了保证 不要误认为第一步是一个简单的验证 可有可无 思考2 下面是某同学用数学归纳法证明等式 成立的过程 它符合数学归纳法的证明要求吗 为什么 证明 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知等式成立 证明 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知等式成立 结论2 用数学归纳法证明n k 1成立时 必须用到假设n k时成立的结论 否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑关系 造成推理无效 思考2 下面是某同学用数学归纳法证明等式 成立的过程 它符合数学归纳法的证明要求吗 为什么 证明 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知所要证明的等式成立 利用假设 假设 例1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 12 1 等式成立 2 假设当n k 时等式成立 即 那么 当n k 1时 即当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何都成立 证明 1 当n 1时 左边 2 假设n k k N 时原等式成立 即 右边 此时 原等式成立 那么n k 1时 这就是说 当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对一切正整数n 原等式均正确 1 用数学归纳法证明不等式 第一步应证明下述哪个不等式成立 2 用数学归纳法证明 在验证n 1时 等式左边是 巩固练习 如何证明当n n0时命题成立 B C 巩固练习 假设当n k时 如何证明n k 1时命题成立 3 用数学归纳法证明 的过程中 第二步假设n k时等式成立 则当n k 1时应得到 D 4 用数学归纳法证明 则当n k 1时 应当在n k时对应的等式两边加上 A 巩固练习 假设当n k时 如何证明n k 1时命题成立 5 用数学归纳法证明 时 从n k到n k 1的证明 等式左边需要多乘的代数式是 D 巩固练习 假设当n k时 如何证明n k 1时命题成立 2 数学归纳法的一般步骤 若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立 验证n n