北京工业大学-工程数学-薛毅-作业5.docx

数理统计实验1. 区间估计已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的灯泡中随机抽取10只，测得寿命（单位：小时）为：1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948（1） 试问这批灯泡中大约95%的灯泡至少使用多少小时；（2） 求这批灯泡能够使用1000小时以上的概率。解答:（1）由点估计与参数估计未知参数和2,可以求出均值与方差，=X，2=1ni=1n（Xi-X）2； R程序运行结果： x n x.sd x.mean x.var-sum(x-x.mean)2)/n; x.var1 15574.29根据运算结果分析：由运行结果知=997.1，2=15574.29令大约95%的灯泡至少使用的时间为x小时，由标准正态分布表可以得出如下的等式：（x-）=0.05, x-=-1.645，得出x=791.809小时。（2）当使用时间至少为1000小时：查阅标准正态分布表可以得出对应的概率为1-（1000-）=1-（1000-997.1124.797）=1-（0.02324）=1-0.5106=0.4894即使用时间在1000小时以上的概率为48.94%。2. 假设检验I正常男子血小板计数均值为225 X 109/L，今测得20名男性油漆作业工人的血小板计数值（单位：109/L）：220 188 162 230 145 160 238 188 247 113 126 245 164 231 256 183 190 158 224 175问油漆工人的血小板计数与正常成年男子有无差异，并说明油漆作业对人体血小板计数是否有影响。解答：假设自然状态下的男子血小板的数可以服从于正态分布，由点估计与参数估计未知参数和2,可以求出均值、均值区间与方差；R程序运行结果：x n x.sd x.mean x.var tmp a b-x.mean+tmp;b 1 211.9173根据运行结果分析：由运行结果知均值为= 192.15，方差2=1694.728；均值区间为（172.3827,211.9173），由此得出油漆工人血小板数明显低于正常男子225单位的数量，结论为油漆作业对人体血小板数量有严重影响。3. 假设检验II为研究国产四类新药阿卡波糖胶囊效果，某医院用40名型糖尿病病人进行同期随机对照实验。试验者将这些病人随机等分到试验组（阿卡波糖胶囊组）和对照组（拜唐苹胶囊组），分别测得试验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值如下表：（1） 假设数据服从正态分布，试用t检验（讨论方差相同和方差不同两种情况）和成对t检验来判断：国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜唐苹胶囊对空腹血糖的降糖效果是否相同？并分析三种检验方法各自的优越性。解答：（2） 检验试验组和对照组的数据的方差是否相同？解答：建模：R程序：x-c(-0.70,-5.60,2.00,2.80,0.70,3.50,4.00,5.80,7.10,-0.50,2.50,-1.60,1.70,3.00,0.40,4.50,4.60,2.50,6.00,-1.40)y-c(3.70,6.50,5.00,5.20,0.80,0.20,0.60,3.40,6.60,-1.10,6.00,3.80,2.00,1.60,2.00,2.20,1.20,3.10,1.70,-2.00)var.test(x,y)R程序运算结果：F test to compare two variancesdata: x and y F = 1.5984, num df = 19, denom df = 19, p-value = 0.3153alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval:0.6326505 4.0381795 sample estimates:ratio of variances 1.598361根据运行结果分析：实验组与对照组的方差比置信度为0.95的置信区间为0.6326505，4.0381795；因为1在置信区间内，故认为实验组与对照组的方差是相同的。4. 假设检验III某医院研究乳腺癌家族史对于乳腺癌发病率的影响。假设调查了10000名50-54岁的妇女，她们的母亲曾有乳腺癌。发现她们在那个生存期的某个时刻有400例乳腺癌，而全国在该年龄段的妇女乳腺癌的患病率为2%，这组数据能否说明乳腺癌的患病率与家庭遗传有关。解答：建模：R程序：binom.test(400,10000,p=0.02)R程序运行结果：data: 400 and 10000 number of successes = 400, number of trials = 10000, p-value 2.2e-16alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.02 95 percent confidence interval:0.03624378 0.04402702 sample estimates:probability of success 0.04根据运行结果分析：p-value p-value 2.2e-16 chisq.test(c(315,101,108,32),p=c(9,3,3,1)/16)Chi-squared test for given probabilitiesdata: c(315, 101, 108, 32) X-squared = 0.47, df = 3, p-value = 0.9254根据运行结果分析：p-value = 0.92540.05，可认为结果符合自由组合规律的。6. 分布检验II观察每分钟进入某商店的人数X，任取200分钟，所得数据表5.1所示。试分析，能否认为每分钟顾客数X服从Poisson分布（=0.1）解答：R程序运行结果： X-0:5;Y q n p p1 pn for (i in 2:(n-1)+ pi chisq.test(Y,p=p)Chi-squared test for given probabilitiesdata: Y X-squared = 2.1596, df = 5, p-value = 0.8267警告信息：In chisq.test(Y, p = p) : Chi-squared近似算法有可能不准。因为Pearson2检验要求分组后的每组中的频数至少要大于等于5，而后两组中出现的频数是1，0，均小于5。 Z n-length(Z); p-p1:n-1; pn chisq.test(Z,p=p)Chi-squared test for given probabilitiesdata: Z X-squared = 0.9113, df = 3, p-value = 0.8227根据运行结果分析：可知p-value = 0.82270.1，因此，可以认为每分钟顾客人数X服从Poisson分布。7. 列联表检验I向120位女性和120位男性做调查，了解他们关于给谁买节日礼物最难的看法，调查结果如表5.2所示.试分析：女性和男性在关于给谁买节日礼物最难的看法上有没有显著差异。解答：录入数据，用chisq.test（）函数检验：R程序x-scan()28 34 23 7 13 1542 13 9 11 7 20X-matrix(x, nc=4, byrow=T)chisq.test(X)R程序运行结果：Chi-squared test for given probabilitiesdata: XX-squared = 9, df = 3, p-value = 0.02929警告信息：In chisq.test(X) : Chi-squared近似算法有可能不准根据运行结果分析：从计算结果得，p-value = 0.02929小于0.05，所以女性和男性在关于给谁买节日礼物最难的看法上有显著差异。8. 列联表检验II为研究人脑的左右半球恶性肿瘤的发病率是否有显著差异，对人脑恶性肿瘤和良性肿瘤的发病情况做了调查，调查结果如表5.3所示.试进行分析。解答：录入数据，采用chisq.test（）函数检验：R程序：x x dim(x) fisher.test(x)R程序运行结果：Fishers Exact Test for Count Datadata: xp-value = 0.1181alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 195 percent confidence interval:0.4313171 521.0928115sample estimates:odds ratio 7.63506根据运行结果分析： P的平均值，p-value = 0.11810.05，平且估计区间包含有1，可得出结论，说明两个变量是独立的，左右半球恶性肿瘤的发病率没有显著差异。9. Wilcoxon秩和检验I（1）为了了解新的数学教学方法的是否比原来方法的效果有所提高，从水平相当的10名学生中随机的各选5名接受新方法和原方法的教学实验。充分长一段时间后，由专家通过各种方式（如考试提问等）对10名学生的数学能力予以综合评估（为公正起见，假定专家对各个学生属于哪一组并不知道），并按其数学能力由弱到强排序，结果如表5.4所示.对=0.05，检验新方法是否比原方法显著地提高了教学效果。（2）若新方法与原方法得到排序结果改为表5.5所示的情形，能否说明新方法比原方法显著提高了教学效果？解答：（1）分析题目，应用wilcox.test()函数计算：R程序运行结果； x y wilcox.test(x, y, alternative=greater)Wilcoxon rank sum testdata: x and y W = 19, p-value = 0.1111alternative hypothesis: true location shift is greater than 0结果分析：由于p-value = 0.1111=0.05，无法确定新方法有提高教学效果；（2）带入新的数据：R程序运行结果： x y wilcox.test(x, y, alternative=greater)Wilcoxon rank sum testdata: x and y W = 21, p-value = 0.04762alternative hypothesis: true location shift is greater than 0根据运行结果分析：p-value = 0.04762 x y wilcox.test(x, y, alternative=greater,paired=TRUE)Wilcoxon signed rank test with continuity correctiondata: x and y V = 8, p-value = 0.5alternative hypothesis: true location shift is greater than 0 警告信息：In wilcox.test.default(x, y, alternative = greater, paired = TRUE) :无法精确计算带连结的p值根据运行结果分析：p-value = 0.50.05，无法得出新疗法组有明显的提高效果。11. 加分实验（产品装箱问题）A厂把加工好的镙母封装成盒，标准为200个/盒。封装好的产品卖给用户。如果盒中的个数少于200，会造成用户的生产线停顿，用户会因此向该厂索赔。（1）封装生产线采用称重计数的方式：已知镙母的重量XN（100，4）（单 位：克），封装时电脑自动称量盒中镙母的重量，并由此估计镙母的个数，显示 在屏幕上。控制人员通过终端设定每盒中应该装填的镙母数，就可以开动由电脑控制的封装线了。为了尽量避免出现不足的情况，控制人员设定的装填个数一般比200大一些。假定盒子及其误差可以忽略不计，电子称称量