第1章数制与编码

2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 1 引言电子系统 电路 一般分为模拟系统 电路 和数字系统 电路 两大类 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 2 模拟系统 接收 处理 传输和再现模拟信号的系统 模拟信号 幅度在连续的时间轴上取值 幅度随时间地变化而连续地变化 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 3 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 4 数字系统 接收 处理 传输和再现数字信号的系统 数字信号 幅度在离散的时间轴上取值 在每个离散的时间点上幅度取离散的数值 这些离散的数值可用二进制数进行编码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 5 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 6 模拟系统是传统的 即从电子系统诞生之日起 它就是模拟的 数字系统是近代产生的 数字系统较之模拟系统有很多优越性 归纳如下 对器件参数变化不敏感可预先决定精度较大的动态范围更适合于非线性控制对环境温度变化敏感性低可靠性高系统依据时间划分进行多路传输时 有较大灵活性系统参数基本上不随时间和温度产生漂移 系统性能始终一致数字系统的故障比模拟系统易于识别和消除 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 7 1 1数制 10进制的特点 逢10进1 有10个符号 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 没有10 2进制的特点 逢2进1 有2个符号 数字 0 1 没有2 8进制的特点 逢8进1 有8个符号 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 没有8 16进制的特点 逢16进1 有16个符号 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 没有16 计算机上常用的数制 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 8 每一种数制的 逢几进1 这个 几 就叫作该数制的基数 用r表示 10进制数的基数r是10 2进制数的基数r是2 8进制数的基数r是8 16进制数的基数r是16 n进制数的基数r是n 任意数值N均可按某一基数r表示为多项式 此时N被表示成r进制数 即 其中 r是基数 数制 n是数值N的整数部分的位数 m是数值N的小数部分的位数 aj是系数 aj 0 1 r 1 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 9 1 2数制间的转换 1 2 12 8 16进制数转换为10进制数 例 1 23 1101 101 2 1 22 0 21 1 20 1 2 1 0 2 2 1 2 3 13 625 10 3 82 372 5 8 7 81 2 80 5 8 1 250 625 10 3 161 3F A 16 F 160 A 16 1 63 625 10 2 8 16进制数转换为10进制数转换的基本原则是 分别以基数2 8 16作加权展开 再计算出这个加权展开多项式的结果 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 10 1 2 210进制数转换为2 8 16进制数 设 N和M分别为某10进制数的整数部分和小数部分 n和m分别为某2进制数整数部分和小数部分的位数 N M n和m均为整数 则10进制数与2进制数的关系如下式所示 N M 10 an 1 2n 1 an 2 2n 2 a1 21 a0 20 a 1 2 1 a 2 2 2 a m 1 2 m 1 a m 2 m 转换的基本原则是 10进制数的整数部分转换为2进制数的整数部分 10进制数的小数部分转换为2进制数的小数部分 即 N 10 an 1 2n 1 an 2 2n 2 a1 21 a0 20 M 10 a 1 2 1 a 2 2 2 a m 1 2 m 1 a m 2 m 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 11 例1 1 把10进制数 43 625 10转换成2进制数 解 转换整数部分 43 a8 28 a7 27 a6 26 a5 25 a4 24 a3 23 a2 22 a1 21 a0 20 1 偶数 由 1 式知 43为奇数 a8 a1各项和为偶数 a0只取0或1 a0 1 1 式等号两边分别减去a0 1 再分别除以2得 a8 27 a7 26 a6 25 a5 24 a4 23 a3 22 a2 21 a1 21 2 偶数 由 2 式知 21为奇数 a8 a2各项和为偶数 a1只取0或1 a1 1 2 式等号两边分别减去a1 1 再分别除以2得 a8 26 a7 25 a6 24 a5 23 a4 22 a3 21 a2 10 3 偶数 由 3 式知 10为偶数 a8 a3各项和为偶数 a2只取0或1 a2 0 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 12 转换小数部分 0 625 a 1 2 1 a 2 2 2 a 3 2 3 a m 1 2 m 1 a m 2 m 1 1 式等号两边乘以2得到 1 25 a 1 a 2 2 1 a 3 2 2 a m 1 2 m 2 a m 2 m 1 2 仿照上面的做法继续做下去 得到 a3 1 a4 0 a5 1 a5a4a3a2a1a0 101011 2 43 10 101011 2 由 2 式知 等号两边的整数部分和小数部分应分别相等 a 1 1 2 式等号两边分别减去a 1 1 再分别乘以2得到 0 25 2 a 2 a 3 2 1 a m 1 2 m 3 a m 2 m 2 0 5 3 由 3 式知 等号两边的整数部分和小数部分应分别相等 a 2 0 3 式等号两边分别减去a 2 0 再分别乘以2得到 0 5 2 a 3 a m 1 2 m 4 a m 2 m 3 1 0 4 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 13 1 0 a 3 a m 1 2 m 4 a m 2 m 3 4 由 4 式知 等号两边的整数部分和小数部分应分别相等 a 3 1 a 1a 2a 3 101 即 0 625 10 0 101 2 综合 的结果 43 625 10 101011 101 2 注意 小数部分的转换有可能进行不完 即不能用有限位的二进制小数来表示一个十进制小数 此时要根据精度要求进行取舍 确定二进制小数的位数 熟记若干2k的数值 k 4 10 即 20 1 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 29 512 210 1024 2 1 0 5 2 2 0 25 2 3 0 125 2 4 0 0625 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 14 43 32 25 11a5 111 8 23 3a3 13 2 21 1a1 11 1 20 0a0 1 0 625 0 5 2 1 0 125a 1 10 125 0 125 2 3 0a 3 1 转换方法 先由10进制转换为2进制 再由2进制转换为8进制或16进制 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 15 1 2 32 8 16进制数之间的转换 因为23 8 所以每三位二进制数就是一位八进制数 如右表所示 例 1101001 111 2 151 7 8 转换方法 从小数点开始 分别向左 右方向每三位一组地划分二进制数 然后把每三位一组的二进制数作为一位八进制数 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 16 因为24 16 所以每四位二进制数就是一位十六进制数 如右表所示 例 1101001 111 2 69 E 16 转换方法 从小数点开始 分别向左 右方向每四位一组地划分二进制数 然后把每四位一组的二进制数作为一位十六进制数 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 17 转换方法与二进制数转换为八进制数或十六进制数的过程相反 关键是由1位八进制数写出3位二进制数或由1位十六进制数写出4位二进制数 753 4 8 111101011 100 2 例 3FC B 16 001111111100 1011 2 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 18 1 3二进制符号数的表示方法 1 3 1符号数的原码表示法 用原码表示带符号的二进制数时 必须首先规定原码的位数 所谓符号数的n位原码表示法 就是用1位二进制数表示符号 0表示正数 1表示负数 符号位放在最高位 第n 1位 而数的大小则以该数绝对值的n 1位自然二进制数表示 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 19 假设某数字系统中用8位存储器存放数据 其中最高位为符号位 其余7位表示数的绝对值 例如 37 10 0100101 2 00100101 原 8 0 10 0000000 2 00000000 原 8 37 10 0100101 2 10100101 原 8 0 10 0000000 2 10000000 原 8 127 10 1111111 2 01111111 原 8 127 10 1111111 2 11111111 原 8 以上例子说明 n位原码表示法所能表示的十进制数的范围为 2n 1 1 2n 1 1 其中0有两种表示形式 0和 0 原码表示法不适合于在数字系统中运算 因此极少采用 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 20 1 3 2符号数的反码表示法 1 反码的定义与求法 对一个n位二进制数码逐位取反 1 变为 0 0 变为 1 后所得到的新二进制数码称为原二进制数码的反码 由反码的定义知 若A为B的反码 则B亦为A的反码 A B互为反码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 21 用反码表示带符号的二进制数时 必须首先规定反码的位数 所谓符号数的n位反码表示法 就是用1位二进制数表示符号 0表示正数 1表示负数 符号位放在最高位 第n 1位 其余n 1位表示数的大小 正数的大小用其相应的n 1位自然二进制数码表示 而负数的大小则以该负数绝对值的n 1位自然二进制数码的反码表示 2 符号数的反码表示法 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 22 符号数的n位反码表示法的另一种表述是 正数的反码就是它的原码 换句话说 正数的反码与原码是一样的 而负数的反码则是其绝对值 或相应正数 的原码的反码 注意 在求负数绝对值原码的反码时 符号位要参与求反运算 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 23 假设某数字系统中用8位存储器存放数据 其中最高位为符号位 其余7位存放数的大小 例如 37 10 0100101 2 00100101 反 8 37 10 0100101 2 11011010 反 8 0 10 0000000 2 00000000 反 8 0 10 0000000 2 11111111 反 8 127 10 1111111 2 01111111 反 8 127 10 1111111 2 10000000 反 8 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 24 以上例子说明n位反码表示法具有如下特点 反码表示法在数字系统中也很少采用 反码所能表示的十进制数的范围为 2n 1 1 2n 1 1 反码有两种0表示法 即 0和 0 当最高位 符号位 为0 即正数 时 反码后面的n 1位二进制数码为正数的数值部分 当最高位 符号位 为1 即负数 时 反码后面的n 1位二进制数码不代表负数的数值 需将它们按位取反后才表示负数的二进制数值 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 25 1 3 3补码表示法 1 补码的定义 说到补码 必须首先规定它的位数 k位补码的定义如下 设数N为有n位整数 m位小数的二进制数 则N的k位补码定义为 N 补 k 2k N k n 由定义可知 N的补码与N的大小有关 还与位数k有关 2k叫做补码的模 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 26 例1 3 1 11001 补 8 28 11001 例1 3 2 11001 0101 补 8 28 11001 0101 11100111 11100110 1011 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 27 解 因为补码与位数k有关 故先将数N补齐为8位 N 00010001 对N逐位求反 11101110 将求反后的数加1得 11101111 所以 10001 补 8 11101111 例1 3 3 求二进制数N 10001的补码 设补码位数k 8位 方法一 将待求补码的二进制数补足k位后 再逐位求反 且在最低位加1即得其补码 2 补码的求法 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 28 方法二 将待求补码的二进制数补足k位后 从右往左数第一个1及其右边的0不变 其余各位求反即得N的补码 例1 3 4 求二进制数N 10010的补码 补码位数k 8位 解 因为补码与位数k有关 故先将数N补齐为8位 N 00010010 00010010 所以 N 补 8 11101110 最右边一个1及其右边的0不变 其他各位求反 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 29 注意 如果所给二进制数带有小数部分 则应首先将其整数部分补齐为k位 后续步骤与方法一 二均相同 注意 无论是 最低位加1 还是 从最右端往左数第一个1 都是在小数部分进行的 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 30 例1 3 5 求二进制数N 11001 0101的补码 补码位数k 8位 解 先将数N的整数部分补齐为8位 N 11001 0101 00011001 0101 N 反 8 11100110 1010 在 N 反 8的小数部分最低位上加1 于是 N 补 8 11100110 1011 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 31 或者 N 00011001 0101 00011001 0101 于是 N 补 8 11100110 1011 小数部分最右边的第一个1保持不变 其他各位求反 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 32 3 符号数的补码表示法 所谓符号数的k位补码表示法 就是用1位二进制数表示符号 0表示正数 1表示负数 符号位放在最高位 k 1位 其余k 1位表示数的大小 正数的大小用其相应的k 1位自然二进制数码表示 而负数的大小则以其绝对值的k 1位自然二进制数码的补码表示 注意 在求负数绝对值的k 1位自然二进制数的补码时 如果次高位 k 2位 向符号位 k 1位 有进位 则该进位要进到符号位上去 即 不能丢掉次高位 k 2位 所产生的进位 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 33 符号数的k位补码表示法的另一种表述是 正数的补码就是它的原码 换句话说 正数的补码与原码是一样的 而负数的补码则是其绝对值 或相应正数 的原码的补码 注意 在求负数绝对值的原码的补码时 符号位要参与运算 求反运算 而且次高位 k 2位 所产生的进位要进到符号位 k 1位 上去 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 34 假如某数字系统中用8位存储器存放数据 其中最高位为符号位 其余各位存放数的大小 例如 37 10 0100101 2 00100101 补 8 37 10 0100101 2 11011011 补 8 0 10 0000000 2 00000000 补 8 0 10 0000000 2 00000000 补 8 127 10 1111111 2 01111111 补 8 127 10 1111111 2 10000001 补 8 128 10 10000000 2 10000000 补 8 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 35 上述例子说明k位补码的符号数表示法具有如下特点 补码的 0和 0一样 都是全0 k位补码的符号数表示法所能表示的十进制数的范围是 2k 1 2k 1 1 k位补码所表示的最小负数 2k 1 是一个特殊的补码 它的最高位既是符号位 也是数值位的一部分 当最高位 符号位 为0 即正数 时 补码后面的k 1位二进制数码为正数的数值部分 当最高位 符号位 为1 即负数 时 补码后面的k 1位二进制数码不代表负数的数值 负数的数值 绝对值 是对该负数的补码再求一次补码 连同符号位 后所得到的二进制数值 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 36 符号数的n位原码 反码 补码表示法总结 正数的n位原码 反码 补码都是一样的 正数的n位原码 反码 补码的结构都是 最高位 n 1位 是符号位且为0 符号位后面的n 1位是表示正数数值的自然二进制数码 负数的n位原码 反码 补码都各不相同 负数的n位原码是由其相应正数的n位原码在最高位 符号位 取反而得到 负数的n位反码是由其相应正数的n位反码 原码 逐位取反 包括符号位 而得到 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 37 符号数的n位原码 反码 补码表示法总结 续1 负数的n位补码是由其相应正数的n位补码 原码 逐位取反 包括符号位 再在最低位上加1而得到 负数的n位原码符号位后的n 1位二进制数码代表该负数的数值 绝对值 负数的n位反码 补码符号位后的n 1位二进制数码不代表该负数的数值 绝对值 对负数的n位反码再取反码 包括符号位 后 所得到的二进制数码代表该负数的数值 绝对值 对负数的n位补码再取补码 包括符号位 后 所得到的二进制数码代表该负数的数值 绝对值 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 38 符号数的n位原码 反码 补码表示法总结 续2 带有小数部分的符号数 其n位原码 反码和补码中的n是指符号数的整数部分的位数 包括符号位 n中不包括小数部分的位数 带有小数部分的符号数 其n位原码 反码和补码的求法与纯整数符号数的n位原码 反码和补码的求法相同 它们的意义也相同 作业1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 39 设有两个k位的二进制正数N1 0和N2 0 则 N1 N2的k位补码分别为 N1 补 k 2k N1 N2 补 k 2k N2 在k位加法器 模为2k 中进行加减运算时共有如下四种情况 1 N1 N2就是两个正数相加 结果为正数 在进行两个二进制正数的减法运算时 可用加上减数的补码来代替减法运算 现在证明如下 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 40 2 N1 N2 N1 2k N2 2k N2 N1 若N2 N1则N1 N2 0 结果为负数 而2k N2 N1 就是负数 N2 N1 即负数N1 N2的补码 若N20 结果为正数 而2k N2 N1 2k N1 N2 N1 N2 所以结果就是正数N1 N2 3 N2 N1 情况与N1 N2类似 4 N1 N2 2k N1 2k N2 2k 2k N1 N2 2k N1 N2 而 2k N1 N2 就是负数 N1 N2 或 N1 N2的补码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 41 在二进制数制中用 求反加1 的方法获得补码的意义 实际上在任意的数制系统中 在规定了一定的模数 M 大小的情况下 当进行两个正数的减法运算时 都可以用被减数加上减数关于模M的补码的加法运算代替被减数减去减数的减法运算 例如 设模为M 100 求 19 12 12 100补 100 12 88 19 12 19 12 100补 19 88 107 100 7 7 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 42 根据补码的定义 在求补码的过程中还是要进行减法运算 模M减去减数 在二进制数制系统中 可以用 求反加1 的方法来获得补码 对一个k位的二进制码逐位求反 实际上是在求这个k位二进制码关于模为2k 1的补码 称为 1补码 上述原因正是在计算机等数字系统中使用二进制数制的原因之一 将这个 1补码 加1之后 就得到了k位二进制码关于模为2k的补码 求反 运算是数字系统中最擅长的一种运算 这样就彻底绕开了求补码过程中的减法运算 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 43 按照上面符号数的k位补码表示法的第二种表述则有 在数字系统 比如说计算机 中 所有的数 无论正 负 均以其补码的形式出现 所有数的加 减运算都可以看成是求它们的代数和 于是 所有的减法运算就都变成了加法运算 这就是使用补码表示带符号二进制数的意义所在 注意 运用补码进行代数和运算时 符号位一起参与运算 所得到的结果 和 或 差 亦为补码 最高位为 0 代表结果为正数 最高位为 1 代表结果为负数 负数的绝对值为该负数补码的补码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 44 例1 3 6 设k 8 有两个正数A 10011 B 1101 试用补码求A B A B B A A B 解 A 补 8 00010011 B 补 8 00001101 A 补 8 11101101 B 补 8 11110011 对于k 8的情况 当然运算结果不能超出8位补码所能表示的数值范围 127 128 否则会产生所谓的溢出 即运算结果发生错误 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 45 例1 3 7 设k 8 有两个正数A 110011 B 1101101 试用补码求A B A B B A A B 解 A 补 8 00110011 B 补 8 01101101 A 补 8 11001101 B 补 8 10010011 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 46 利用符号数的k位补码进行两个正数A B的加 减运算时 如果参与运算的两个数的绝对值之和大于k位补码所能表示的正数的范围 2k 1 1 则A B的运算结果就会发生错误 如果参与运算的两个数的绝对值之和的负值小于k位补码所能表示的负数的范围 2k 1 则 A B的运算结果就会发生错误 上述两类错误称为溢出错误 溢出错误只能发生在两个 加数 的符号位相同时 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 47 两个正数相加 当第k 1位 符号位 和第k 2位 最高数字位 不同时无进位时有溢出发生 两个负数相加 当第k 1位 符号位 和第k 2位 最高数字位 不同时有进位时有溢出发生 设计加法器时可根据这个原理设计溢出指示电路 判断产生溢出错误的方法 两个正数相加 当第k 2位 最高数字位 产生进位时有溢出发生 两个负数相加 当第k 2位 最高数字位 不产生进位时有溢出发生 或者 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 48 1 4二 十进制编码 BCD码 定义 用以表示一位十进制数字的四位二进制编码称为BCD码 四位二进制数共有16个码字 0000 1111 所以可从中任意取10个码字来代表一位十进制数的10个符号 0 9 每次从四位二进制数的16个码字中任取10个不同的码字来代表一位十进制数的10个符号的过程就产生了一种BCD码 所以从理论讲 BCD码共有种 这是一个从16个元素中任取10个不同元素的排列问题 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 49 表1 3常用BCD编码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 50 BCD码的分类 有权码 四位二进制数所构成的BCD码中的每一位均代表一个固定的权重 无权码 四位二进制数所构成的BCD码中的每一位均不代表特定的权重 8421码 5421码 2421码等都是有权码 8421码各位的权重分别为 8 4 2和1 余3码 循环余3码就是无权码 有效码 无效码 在某一种BCD码方案中 被采用的四位二进制数码字叫做有效码 而未被采用的码字叫做无效码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 51 BCD码的计算 例1 4 1 求 689 10的8421码 5421码 2421码 余3码和循环余3码 解 682 10 011010000010 8421 100110110010 5421 110011100010 2421 100110110101 余3 110111100111 循环余3 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 52 例1 4 2 求 001000010110 8421 001110010011 8421 001000010110 8421 001110010011 8421 011000001001 8421 当8421BCD码的运算结果是无效码时要进行加6处理 这叫做十进制调整 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 53 1 5格雷 Gray 码 格雷码的特点 相邻码字之间只有一位 1bit 不同 其他位均相同 格雷码的这个特点使得在对其进行译码时不会产生译码噪声 格雷码的结构 由表1 4可以看出 格雷码的最高位以7 8间的中线为轴互反 上0下1 而低位则以此线为轴对称 据此可由n位格雷码方便地写出n 1位格雷码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 54 表1 4四位格雷码 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 55 例如 一位格雷码 0两位格雷码 00三位格雷码 000四位格雷码 1010011101110010110111101100 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 56 二进制码与格雷码的相互转换 二进制码转换为格雷码 设给定二进制码为Bn 1 B2B1B0 它所对应的格雷码为Gn 1 G2G1G0 则可由下式求出格雷码的各位 Gn 1 Bn 1 Gi Bi 1 Bi式中 i n 2 n 3 2 1 0 所以所求格雷码为1110 例1 26 试写出对应二进制码1011的格雷码 解 1011 1110 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 57 格雷码转换为二进制码 若给定格雷码Gn 1 G2G1G0 则它所对应的二进制码Bn 1 B2B1B0可按下式求得 Bn 1 Gn 1 Bi Bi 1 Gi式中i n 2 n 3 2 1 0 例1 27 试写出对应格雷码1011的二进制码 所以所求二进制码为1101 解 1011 1101 2020年4月19日 北京理工大学信息科学学院 58 1 6ASCII码 ASCII码的全称是 AmericanStandardCodeforInformationInterchange即 美国信息交换标准代码 AS