18.1勾股定理（通用）

如图是公园里的草坪 有人为了避开拐角走 捷径 在花铺内走出了一条 路 路 从A到B 他们仅仅少走了几步路 却踩伤了花草 破坏了风景 17 1勾股定理 活动1 相传2500年前 毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系 我们来观察右图中用砖铺成的地面 大家看到了什么 观察图1 1 图中每个小方格代表一个单位面积 正方形A中含有个小方格 即A的面积是个单位面积 正方形B的面积是个单位面积 正方形C的面积是个单位面积 9 9 9 所以 正方形C的面积为6 12 18 C中共有12个小等腰直角三角形 12个小正方形 图1 1 S大正方形 4S直角三角形 正方形A中含有个小方格 即A的面积是个单位面积 正方形B的面积是个单位面积 正方形C的面积是个单位面积 9 9 9 18 SA SB SC 若把这个直角三角形的两条直角边的长度设为a b 斜边设为c 你能说出直角三角形的三边长度a b c之间存在什么样的关系吗 SA SB SC 观察右边两个图并填写下表 16 9 25 4 9 13 做一做 SA SB SC 猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a2 b2 c2 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明 到目前为止 对这个命题的证明方法已有几百种之多 下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的 活动2 这就是本届大会会徽的图案 你见过这个图案吗 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的 被称为 赵爽弦图 看左边的图案 这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的 人们称它为 赵爽弦图 赵爽根据此图指出 四个全等的直角三角形 红色 可以如图围成一个大正方形 中间的部分是一个小正方形 黄色 化简得 c2 a2 b2 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示为 在Rt ABC中 若 C 90 则 定理 在中国古代 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾 下半部分称为 股 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为 股 斜边称为 弦 勾股定理的由来 这个定理在中国又称为 商高定理 商高是公元前十一世纪的中国人 当时中国的朝代是西周 是奴隶社会时期 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 周髀算经 中记录着商高同周公的一段对话 商高说 故折矩 勾广三 股修四 经隅五 商高那段话的意思就是说 当直角三角形的两条直角边分别为3 短边 和4 长边 时 径隅 就是弦 则为5 以后人们就简单地把这个事实说成 勾三股四弦五 由于勾股定理的内容最早见于商高的话中 所以人们就把这个定理叫做 商高定理 勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一个特征 人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史 在西方 勾股定理又被称为 毕达哥拉斯定理 百牛定理 驴桥定理 等等 1 成立条件 在直角三角形中 3 作用 已知直角三角形任意两边长 求第三边长 2 公式变形 注意 哪条边是斜边 1 已知Rt ABC中 C 90 若a 2 c 5 求b 小试身手 2 在Rt ABC中 B 90 a 3 b 4 求c 如图是公园里的草坪 有人为了避开拐角走 捷径 在花铺内走出了一条 路 路 从A到B 他们仅仅少走了几步