用高数观点透视近几年的高考数学试题.doc

用高数观点透视近几年的高考数学试题学生:汪子鹏 指导老师:胡付高(孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000)摘要随着新课标准的实施，在近几年的高考中出现了一些有着一定的高等数学背景的试题，这主要源于两个主要因素:一是这种题型形式新颖，既能开阔数学视野，有利于高等数学与初等数学的和谐接轨，又能有效地考察学生的思维能力，尤其是创新能力；二是随着高考命题改革的逐步深入.自主命题的省市越来越多，命题组成成员中大多是大学教师，他们在命题时不可能不受自身研究背景的影响.本文将列举几例以示说明.关键词连续函数；最大（小）值；递推数列；不动点；凹凸性0引言代数推理，递推数列，极限与求导方法的应用，不动点问题，数列极限的一些特性，函数图象的凸性等具有高等数学倾向的问题逐步走进高考，虽然它们对解决问题的逻辑依据不高，但是通过直观化，却可以成为命题和解决命题的基础.下面将列举几例，意在结合有关研究和分析，尝试着预测今后可能与高数思想相联系的高考试题趋势和方向.12008年高考数学的一个新亮点 猜想题在近几年的高考数学题中，有不少属于猜想题，它们有的是通过观察猜想结果(不要求证明)，有的要求先猜想再证明.究其原因主要是由于高中知识的局限性或问题的困难性，导致不能奢求考生给出完整的求解过程.如果站在比较高的观点，用高等数学方法解析这些问题，以揭示试题的制作背景及题目本身所蕴涵的一些深层次结论.下面将结合2008年最新高考的重庆卷、湖北卷中实例加以分析说明.例1 (2008年重庆卷第22题) 设各项均为正数的数列满足，.（1）若，求，并猜想的值(不需要证明)；（2）记，若对恒成立，求的值及数列的通项公式.参考答案中是用的值，来猜想的值，我们关心的是能否不通过猜想而直接求出通项.为此，我们首先看看另一道2008年广东的高考试题.例2 (2008年广东卷第21题) 设为实数，是方程的两个实根，数列满足.（1）证明: ，；（2）求数列的通项公式;（3）若，求的前项和.解 （1）、（3）解答从略.（2）由（1）得，则，同理有，消去，得，当时，有（1）当时，由不难得到 （2）将，代入（1），（2）试得到数列的通项公式为 （3）由例2再回头看例1，下面利用例2的结论给出例1的一个新解法：例1的解答 （1）对取对数，并记，则，其中.由例2之(1)试，可得数列的通项公式为，于是（）.从而.（2）由于，故由例2之（1）式，可以得到，即对于恒有 （4）特别的，在（4）式中取，有，再在(4)式中令，得 （5）如果，在（5）式中令，产生矛盾，故只能有，于是此时由例2之(1)式，得，故，所以，.例3（2008湖北卷） 观察下列等式：，可以推测，当（）时， ， .这种自然数方幂和的和式，这是一个古典的幂和问题.自从希腊数学家阿基米德开始研究，一直是许多中外数学家、学者研究的热点，得到了很多有益的结果1-4. 这些文献中无一例外的，都是给出与中系数的一些递推关系式，利用递推公式得到幂和的各项系数，通常的处理方法是对递推公式进行简化，以方便计算. 对于本例题，在文献5中作者指出：“2008年湖北卷顺应潮流，积极探索创新，所命制的理科卷第15题，立意新颖，背景深刻，它源于雅各伯努利（Jacob Bernoulli）数，即前个正整数同次幂求和问题，主要考查考生的直觉观察意识、合情推理能力和正确理解抽象数字符号语言的能力，是一道渗透新课程理念的创新题型通过观察前6个幂和等式的系数规律，得出相关项系数的一般性结论，充分体现了辩证地运用特殊与一般的数学思想方法解题的能力” .对于这种类比归纳型创新试题，要求考生用发散思维方法联想、类比、推广、转化，获得新发现，提出新问题，寻求新规律，对广大高中生而言，具有相当的难度下面给出一个新的方法，将给出和式中系数所满足的一个上三角形线性方程组，尝试利用该方程组计算中系数.定理1 设自然数方幂和，则所有系数必满足线性方程组 （6）证明 由，又由于比较系数，即得（6）成立.下面利用定理1的（6）来解决上述例3，来看（6）的最后的4个方程:从最后一个方程开始，依次经过化简后，得，从可求出，.注1本定理提供的方法对于计算出所有的还是比较困难的，但对较小的的情形，求出、等，不失为一种较好的方法，而且也是解决例3中问题的一种很好的方法，该方法较为初等，它应该能够为高中成绩优异的学生所接受的. 注2 定理1给出了的求法，在此基础上，对于系数，可以由确定.一类绝对值函数的最值问题最值问题是高考的必考题型之一，一般是对函数求导数或利用重要不等式的方法处理这类问题.在近几年的高考试题中，出现了求绝对值函数的最值问题，在近年来的一些文献中，对下例（2006年全国高考题）作了诸多探究6-10 ：例46-10（2006年全国高考卷第12题） 函数的最小值为 （ ）（A）190； （B）171； （C）90； （D）45关于这类含有绝对值函数的最值问题，由于它不可导，因此不能用导数的方法进行计算，必须寻求其它方法解决它.恰好在2007年全国高考宁夏卷中，也出现过类似试题：例5（2007年全国高考宁夏卷第22题）设函数（I）解不等式；（II）求函数的最小值关于例5的（II）的解答，在参考答案中，是通过绘制函数的图像得到，当时，取得最小值（图1）能否从该题的解法得到启示，进而获得更一般的结论呢？该问题实际上是文献6中提出的一个未解决的问题，在文献6末，作者指出：对于更一般的形如，的最小值问题及它是否有最小值的判别方法，尚需进一步研究.下面将完全解决求函数，的最值问题，得到一个主要的结果，如下：定理2对于函数（），有）若，则没有最大值，但存在最小值，且）若，则没有最小值，但存在最大值，且）若，则既存在最小值，又存在最大值，且，证明 ）不妨设，当时，；当时，故在上若有最小值，则它与上的最小值相同，由于在闭区间上连续，故存在最小值记在各分区间上最小值分别为，易知又当时，函数是一次函数或常数函数，故在区间上的最小值必在端点为或处取得，即，于是最小值，至于没有最大值，可由得知；）同理可证；） 不妨设，若，则当时，当时，于是，在与上具有相同的最大值与最小值，仿照）的分析可得，存在最小（大）值，且最小值，最大值定理2实际上也完全解决了文7末提出的几个猜想.另外利用定理2的结论，可立即得例5中函数的最小值：因为，而，由定理1之）知，函数的最小值为3 与函数凹凸有关的一类函数的最值探源在近几年的全国高考数学试题中，还经常出现这样的一类最值问题，它由某些凹凸函数构造成一种新的函数，而且该函数具有对称性如2005年全国高考卷第22题：例6（）设函数（），求的最小值（）设正数满足，证明参考答案中对（）的求法并不困难，对（）是用数学归纳法如文献11中所指出的一样，该例实际蕴涵的是凸函数的一些性质对例6，我们关注的是函数，由于该函数，故是一个凸函数，本例中函数，由于，故的图像是关于直线对称的，文献11中把该例的结论（）推广成命题111 设在区间上二阶可导，且，则函数在上存在最小值另外，在数学通报2007年第6期上刊登了的1677 号问题：例7（数学通报07年第6期1677 号问题）已知函数，求证：问题提供人给出的解法具有一定的技巧性，方法难以把握，下面将给出上面例7及命题1的结论进行一个推广，所用方法比较简单直观，揭示了凹凸函数所蕴涵的一个独特性质定理3 设函数在上连续，在上二阶可导，且在上不变号，则（1）若，则函数在上的最小值为，最大值为；（2）若，则函数在上的最大值为，最小值为证明 （1）设，则函数在区间上二阶可导，又由于，得到，再由，知是的唯一驻点，于是在处取得最小值又，于是的最大值为；（2）同理可证，这里从略注3 对函数，由于，故知函数是关于直线对称的从证明中还可以看出，函数在与上的单调性相反，故在处取得最值在上述例7中，由于，当时，则由定理3的结论，当时，又函数满足，于是得，故得4 不动点与数列不等式问题在历届高考试题中，求数列的通项或证明数列不等式的内容，占有一定的篇幅在文献12中研究探讨了高考题中涉及到递推数列的一类不等式问题，把近几年高考数学中出现的这类试题概括在下列两个命题中：命题212 设在上连续，在上可导，且，数列满足，则，命题312 设在上连续，在上可导，且， ，数列满足，则，利用上述两个命题，把2005年江西卷、2006年陕西卷、2006年湖南卷、1986年全国卷、2007年广东卷以及文献13-15中等诸多同类试题或例题进行了统一处理，这些试题往往与递推函数的不动点相关联事实上，还有一种类型的递推数列不等式问题，它涉及到两个递推数列，联系它们的是迭代函数具有公共的不动点，上面命题2或命题3就显得无能为力了下面我们以2007年全国高考数学（理科）第22题为例，结合不动点思想，用三种方法给出它的另解，以揭示这类问题的一些处理方法例8 (2007年全国高考理科卷第22题) 已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，参考答案中求出了的通项公式，然后用数学归纳法证明了不等式，本题中第（）部分较为简单，难点是第（）部分中关于不等式的证明，参考答案中用数学归纳法先后证明了不等式与，其中不等式容易证明，但要进一步得到却比较困难下面将利用不动点思想，给出三种不同于参考答案的方法解法1 （）（略）；（） 考虑的迭代函数，易知满足，由于，注意到，则由，即，即，用归纳法易证，设，则， 欲证，只需证明，为此考虑的迭代函数，由于，而，故记，下面用数学归纳法证明，当时成立，假设，则，又由，即，于是，即得，结论得证解法2 （）（略）；（）利用不动点求出的通项公式：考虑函数的不动点，即方程的两个解与，则，它们之比为，反复利用此式，得，于是的通项为显然，而等价于，即，该不等式对一切均成立，故结论得证解法3 （） （略）；（），利用此式用数学归纳法不难证明，由（）中结论，欲证明，即证，亦即证，也就是令，则只需证，易知，只需证，利用分析法：，得证通过解法1得到启示，我们可以把该结果推广为：定理4 设在上可导，且，数列、分别满足，则，证明首先证明，：对，由，得，又由，得，即得，故有，于是，同理，有下面用数学归纳法证明：当时，因为，所以，结论成立假设当时，结论成立，即则当时，即得，设，则，于是也就是说，当时，有，定理得证注4如果函数满足，称为函数的不动点定理4揭示了一类由两个具有公共不动点的迭代函数构造的数列的不等式关系5结语本文需要说明的是，尽管有些高考试题的设计来源于高等数学，但是解决的方法最终还是中学所学的内容，而且高考中这部分问题所占比例也不是很大，因此我们没有必要将高等数学的知识引进到高中教学中，只是这部分内容利用高等数学来解决可以简化很多，容易很多.本文只在于能够引起中学老师的注意，从中得到启示，对此引起应有的重视.参考文献1 朱伟义. 有关自然数方幂和公式系数的一个新的递推公式J.数学的实践与认识, 2004, 34（10）:170-1732 朱豫根, 刘玉清. 关于幂和公式系数的一个递推关系式J.数学的实践与认识, 2002, 32（2）:319-3233 陈瑞卿. 关于幂和问题的新结果J. 数学的实践与认识, 1994, 1（1）: 66- 694 陈景润, 黎鉴愚. 在上的新结果J. 科学通报（英）, 1986, 31（6）5 王勇. 山一样沉稳，水一样灵动2008年高考数学试题（湖北卷）评析J. 中学数学杂, 2008,（9）: 356 贺航飞. 一类绝对值函数的最值问题J. 数学通报, 2007,46（4）:28-307 甘志国. 一个问题的解决J. 数学通讯, 2007,（21）: 318 王峰晨一道求最值高考题的代数证明J. 数学教学, 2007,（5）9 李锦旭，王信民也谈一道高考题的探究与引申J. 中学数学研究, 2007（7）10 翟斌，郭亚琴. 一道高考题的探究与引申J. 中学数学教学参考, 2006（10）11 胡付高.