上海市八校高三数学3月联合调研考试试题理含解析沪教版.doc

2015年上海市八校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1（4分）（2015上海模拟）函数f（x）=2cos2x1的最小正周期是【考点】： 二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解【解析】： 解：f（x）=2cos2x1=（1+cos2x）1=cos2x由周期公式可得：T=故答案为：【点评】： 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查2（4分）（2015上海模拟）已知线性方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为2【考点】： 线性方程组解的存在性，唯一性【专题】： 选作题；矩阵和变换【分析】： 根据二元一次方程组的增广矩阵是，该方程组无解，可得=0且0，从而可求实数m的值【解析】： 解：二元一次方程组的增广矩阵是，该方程组无解，=0且0，m24=0且4mm（m+2）0，m=2故答案为：2【点评】： 本题考查二元一次方程组的增广矩阵考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义3（4分）（2015上海模拟）若直线l1：2x+3y1=0的方向向量是直线l2：axy+2a=0的法向量，则实数a的值等于【考点】： 直线的方向向量【专题】： 平面向量及应用【分析】： 直线l1：2x+3y1=0的方向向量是直线l2：axy+2a=0的法向量，可得（2，3）（a，1）=0，利用数量积运算解出即可【解析】： 解：直线l1：2x+3y1=0的方向向量是直线l2：axy+2a=0的法向量，（2，3）（a，1）=0，化为2a+3=0，解得a=故答案为：【点评】： 本题考查了直线的方向向量、法向量、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题4（4分）（2015上海模拟）若函数f（x）=x2x+的定义域与值域都是1，b（b1），那么实数b的值为3【考点】： 二次函数的性质【专题】： 方程思想；函数的性质及应用【分析】： 根据函数f（x）在x1时，f（x）是单调增函数，结合题意得f（b）=b，求出b的值【解析】： 解：函数f（x）=x2x+图象的对称轴是x=1，当x1时，f（x）是单调增函数；又f（x）的定义域与值域都是1，b（b1），f（b）=b，即b2b+=b，整理得b24b+3=0，解得b=3，b=1（舍去）；实数b的值为3故答案为：3【点评】： 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了解一元二次方程的应用问题，是基础题目5（4分）（2015上海模拟）已知点P在焦点为F1，F2的椭圆+=1上，若F1PF2=90，则|PF1|PF2|的值等于40【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据椭圆的定义及椭圆标准方程便可得到，|F1F2|=10，而根据F1PF2=90便可得到所以对式子两边平方即可求得|PF1|PF2|【解析】： 解：根据已知条件：，|F1F2|=10，且=100；100+2|PF1|PF2|=180；|PF1|PF2|=40故答案为：40【点评】： 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点、焦距，以及椭圆的定义的运用6（4分）（2015上海模拟）某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为12【考点】： 分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解析】： 解：设抽取的样本容量为n，由分层抽样的定义知，解得n=15，在一类村中抽出3个，二类村、三类村共抽取的村数为153=12，故答案为：12【点评】： 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础7（4分）（2015上海模拟）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论【解析】： 解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，A（3，2），P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）【点评】： 本题主要考查了抛物线的应用考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键8（4分）（2015上海模拟）n2（）=6【考点】： 极限及其运算【专题】： 导数的综合应用【分析】： n2（）=，再利用数列极限的运算法则即可得出【解析】： 解：原式=6，故答案为：6【点评】： 本题考查了数列极限的运算法则、整式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题9（4分）（2015上海模拟）某企业最近四年的年利润呈上升趋势，通过统计，前三年的年利润增长数相同，后两年的年利润增长率相同，已知第一年的年利润为3千万元，第四年的年利润为6.25千万元，则该企业这四年的平均年利润为或4.5625千万元【考点】： 函数模型的选择与应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据前三年的利润增长率相同，后两年的年增长率相同，建立方程关系进行求解即可【解析】： 解：设前三年的年利润增长数为x，则前四年的利润分别为3，3+x，3+2x，6.25，后两年的年利润增长率相同，设增长率为p，两式相除得，整理得16x2+23x39=0，即（x1）（16x+39）=0，解得x=1或x=（舍），则前4年的利润分别为3，4，5，则四年的平均利润为=4.5625（千万元），故答案为：或4.5625【点评】： 本题主要考查函数的应用问题，利用增长率之间的关系，建立方程求出增长数是解决本题的关键10（4分）（2015上海模拟）已知直线ln的斜率为k，经过点Pn（n，n2），ln与ln+1的距离为dn，若数列dn是无穷等差数列，则k的取值范围是k3【考点】： 等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 求出两条平行直线间的距离dn=，该式的分母为常数，要使该数列为等差数列，则分子内的表示式2n+1k不能变号（不能由负变正，也不能由正变负），只有不变号，才能成为等差数列，即可得出结论【解析】： 解：直线ln：kxy+n2kn=0，直线ln+1：kxy+（n+1）2k（n+1）=0，这两条平行直线间的距离dn=，该式的分母为常数，要使该数列为等差数列，则分子内的表示式2n+1k不能变号（不能由负变正，也不能由正变负），只有不变号，才能成为等差数列，因此，当n=1时，（2n+1k）min=3k0，解得k3故答案为：k3【点评】： 本题考查两条平行直线间的距离，考查等差数列的判断，属于中档题11（4分）（2015上海模拟）从7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4100米接力赛，那么甲乙两人都不跑中间两棒的概率为（结果用最简分数作答）【考点】： 古典概型及其概率计算公式【专题】： 概率与统计【分析】： 求出从7名运动员中选出4名运动员参加4100米接力赛的不同方法有多少，再求选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的种数，求出对应的概率【解析】： 解：从7名运动员中选出4名运动员，不同的选法是，参加4100米接力赛的不同方式有，共有=840种；选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是：第一步，安排中间2个位置有=20种，第二步，安排首尾2个位置有=20种，共有2020=400种，甲乙两人都不跑中间两棒的概率为P=故答案为：【点评】： 本题考查了古典概型的概率的计算问题，解题的关键是求出对应的不同选法种数是多少12（4分）（2015上海模拟）如图：边长为4的正方形ABCD的中心为E，以E为圆心，1为半径作圆点P是圆E上任意一点，点Q是边AB，BC，CD上的任意一点（包括端点），则的取值范围为12，12【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 先以E为坐标原点建立平面直角坐标系，求出，设P（cos，sin），分Q在边AB，BC，CD上三种情况，当Q在边AB上时可设Q（x0，2），求出，所以由44sin4可得到4，同样的办法求出另外两种情况下的的取值范围，最后对这三种情况下所得求并集即可得到的取值范围【解析】： 解：以E为坐标原点，x轴AB，y轴AD，建立如图所示平面直角坐标系：设P（cos，sin），；（1）若Q点在边AB上，设Q（x0，2），2x02，则：；44sin4；（2）若Q点在边BC上，设Q（2，y0），2y02，则：；=4y0+4sin；84y08，44sin4；（3）若Q点在边CD上，设Q（x0，2），2x02，则：；综上可得故答案为：12，12【点评】： 考查建立平面直角坐标系解决问题的方法，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，设出P点坐标，讨论Q点所在的边是求解本题的关键13（4分）（2015上海模拟）一质点从正四面体ABCD的顶点A出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动第1次运动经过棱AB由A到B，第2次运动经过棱BC由B到C，第3次运动经过棱CA由C到A，第4次经过棱AD由A到D，对于Nn*，第3n次运动回到点A，第3n+1次运动经过的棱与3n1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为D【考点】： 进行简单的合情推理【专题】： 函数的性质及应用；推理和证明【分析】： 本题根据题意，得到质点运动的规律，得到周期性运动的结论，再利用周期性，得到本题结论【解析】： 解：根据题意，质点运动的轨迹为：ABCADBACDA接着是BCADBACDA周期为9质点经过2015次运动，2015=2239+8，质点到达点D故答案为：D【点评】： 本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题14（4分）（2015上海模拟）对于函数f（x）定义域D内的值x0，若对于任意的xD，恒有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）成立，则称x0是函数f（x）的极值点若函数f（x）=2sin（m0）在区间（，1）内恰有一个极值点，则m的取值范围为，）（1，2）【考点】： 利用导数研究函数的极值【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据题意得出即=k，kz，1，转化为（2k1）m=0在（1，2）上有唯一解，列举法求解：（2k1）m：m，3m，5m，6m，7m，9m，得出相应的不等式组；，分别求解即可【解析】： 解：根据题意得出x0使函数f（x）取得最大值，或最小值，2sin=2，即=k，kz，x0=，kz，列举法求解：；（2k1）m：m，3m，5m，6m，7m，9m，判断得出：解得；1m2，解得；m，解得：依此类推得出后面的都为空集故答案为：，）（1，2）【点评】： 本题考查了函数的零点，三角函数性质，等价转化为不等式组求解，注意分类，列举法求解，思路较简单，关键是有耐心二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2015上海模拟）“x1且y2”是“x+y3”的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性判断x+y=3与x=1且y=2之间的关系进行判断即可【解析】： 解：当x=0，y=3时满足x+y=3但x=1且y=2不成立，当x=1且y=2时，x+y=3成立，即x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件，根据逆否命题的等价关系可知“x1且y2”是“x+y3”的必要不充分条件，故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，由于原命题的关系不容易判断，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键16（5分）（2015上海模拟）已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A 4 B 8 C D 【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 常规题型；计算题【分析】： 由长方体的对角线公式，算出正六棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的表面积公式，可算出此球的表面积【解析】： 解：正六棱柱的底面边长为1，高为2，正六棱柱体对角线的长为=2又正六棱柱的顶点在同一球面上，正六棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=根据球的表面积公式，得此球的表面积为S=4R2=8故选：B【点评】： 本题给出球内接正六棱柱的底面边长和高，求该球的表面积，考查了正六棱柱的性质、长方体对角线公式和球的表面积公式等知识，属于基础题17（5分）（2015上海模拟）已知=+i（i是虚数单位），（x+）2015的展开式中系数为实数的项有（） A 671项 B 672项 C 673项 D 674项【考点】： 二项式系数的性质；复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数；二项式定理【分析】： 直接利用1的立方虚根的性质，通过二项式定理写出通项公式，然后判断展开式中系数为实数的项的个数【解析】： 解：=+i，可知3=1，3=1，=12=，（x+）2015的展开式的通项公式Tr+1=（x）2015r=2015rx2015r=20152rx2015rr=0，1，2，32015（x+）2015的展开式中系数为实数的项，则20152r是3的整数倍数，r=1，4，7，2012共有671个故选：A【点评】： 本题考查二项式定理系数的性质，复数的基本性质的应用，考查计算能力18（5分）（2015上海模拟）定义在0，+）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+x，且当x0，2）时，f（x）=x则f（101）=（） A 2015 B 2105 C 2150 D 2501【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 有f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）f（x）=x，利用累加法进行求解即可得到结论【解析】： 解：由f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）f（x）=x，则f（3）f（1）=1，f（5）f（3）=3，f（7）f（5）=5，f（101）f（99）=99，两边同时相加得f（101）f（1）=1+3+5+99=2500，f（101）=f（1）+2500，当x0，2）时，f（x）=xf（1）=1，则f（101）=f（1）+2500=1+2500=2501，故选：D【点评】： 本题主要考查函数值的计算，根据条件，利用累加法进行求解是解决本题的关键三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19（12分）（2015上海模拟）如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2，宽AA1为2的矩形（1）求此圆柱的体积；（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）【考点】： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： （1）利用将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2，宽AA1为2的矩形，求出圆柱的底面半径、高，再求出此圆柱的体积；（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1【解析】： 解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，则2r=2，h=2，r=1，h=2，（2分）V=r2h=2（5分）（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1（7分）AB1=BC1=（10分）绳长的最小值为2（12分）【点评】： 本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法20（12分）（2015上海模拟）已知z1=sinx+isinx，z2=cosx+isinx（i是虚数单位）（1）当x0，且|z1|=|z2|时，求x的值；（2）设f（x）=z1+z2，求f（x）的最大值与最小值及相应的x值【考点】： 复数代数形式的乘除运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】： 三角函数的图像与性质；数系的扩充和复数【分析】： （1）利用复数模的计算公式可得=，化为4sin2x=1，再利用x0，即可解出；（2）利用复数共轭复数的定义、复数的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=z1+z2=，再利用正弦函数的图象与性质即可得出最值【解析】： 解：（1）|z1|=|z2|，=，化为4sin2x=1，x0，sinx0，解得x=（2）f（x）=z1+z2=（cosxisinx）+（cosx+isinx）=，当时，即（kZ）时，f（x）max=3当=时，即x=k（kZ）时，f（x）min=1【点评】： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（14分）（2015上海模拟）在数列an中，a1=1，an=2an1+（n2，nN*）（1）若数列bn满足bn=an+（nN*），求证：数列bn是等比数列；（2）设cn=，记 Sn=c1c2+c2c3+cncn+1，求使Sn的最小正整数n的值【考点】： 数列的求和；等比关系的确定【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由bn=an+（nN*），变形，代入an=2an1+（n2，nN*）可得bn=2bn1即可证明；（2）由（1）得，可得，cn=，可得cncn+1=，利用“裂项求和”可得Sn，进而解出即可【解析】： （1）证明：bn=an+（nN*），代入an=2an1+=2an1+（n2，nN*）an+=2（2an1+），化为bn=2bn1=，bn是以为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得，cn=，cncn+1=，Sn=c1c2+c2c3+cncn+1=+=，由Sn，化为，解得n14，满足条件的最小正整数n等于15【点评】： 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（18分）（2015上海模拟）已知射线l1：xy=0（x0），l2：x+y=0（x0），直线l过点P（m，2）（2m2）交l1于点A，交l2于点B（1）当m=0时，求AB中点M的轨迹的方程；（2）当m=1且AOB（O是坐标原点）面积最小时，求直线l的方程；（3）设|+|的最小值为f（m），求f（m）的值域【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）当m=0时，P（0，2），设A（a，a），B（b，b）（a，b0），M（x，y），利用中点坐标公式可得，再利用A，B，P三点共线，即可得出（2）当m=1时，P（1，2），A（a，a），B（b，b）（a，b0），可得SAOB=ab，由A，B，P三点共线，得2ab=a+3b，再利用基本不等式的性质即可得出（3）由A，B，P三点共线得：2ab=（m+2）b+（2m）a，即=1，=，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解析】： （1）当m=0时，P（0，2），设A（a，a），B（b，b）（a，b0），M（x，y），M是AB的中点，A，B，P三点共线，由=（a，a2），则a（b2）=b（a2），即a+b=ab代入得M点轨迹方程为（y1）2x2=1（y0）（2）当m=1时，P（1，2），A（a，a），B（b，b）（a，b0），|OA|=a，|OB|=b，SAOB=ab，由A，B，P三点共线，得2ab=a+3b，化为ab3，当且仅当a=3b时等号成立，此时a=3，b=1，直线l方程为x2y+3=0（3）由A，B，P三点共线得：2ab=（m+2）b+（2m）a，即=1，=，2m2，且a0，b0，f（m）=2+，m20，4），f（m）的值域为【点评】： 本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理、斜率计算公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质、中点坐标公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题23（18分）（2015上海模拟）设函数fn（x）=xn+c（x（0，+），nN*，b，cR）（1）当b=1时，对于一切nN*，函数fn（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；（2）若f2（x）区间1，2上是单调函数，求b的取值范围；（3）当b=1，c=1时，函数fn（x）在区间（，1）内的零点为xn