北京师范大学南湖附属学校高中数学 异面直线（第二课时）课件 新人教A版必修2 .ppt

异面直线 第二课时 一条直线与两条异面直线中的一条相交 那么它与另一条之间的位置关系是 平行 相交 异面 可能平行 可能相交 可能异面 两条异面直线指的是 没有公共点的两条直线 分别位于两个不同平面的两条直线 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 不同在任何一个平面内的两条直线 练习 两条直线不相交是这两条直线异面的条件 两条直线不平行是这两条直线异面的条件 下列命题中 其中正确的是 若两条直线没有公共点 则这两条直线互相平行 若两条直线都和第三条直线相交 那么这两条直线互相平行 若两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 若两条直线都和第三条直线异面 那么这两条直线互相平行 三个平面两两相交 所得的三条交线 交于一点 互相平行 有两条平行 或交于一点或互相平行 1 等角定理 提出问题 在平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 在空间中 结论是否仍然成立呢 观察思考 如图 adc与 a d c adc与 a b c 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 1 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 1 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 定理的推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两条直线所成的锐角 或直角 相等 2 异面直线所成的角 如图 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 我们把a 与b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 或夹角 为了简便 点o通常取在两条异面直线中的一条上 例如 取在直线b上 然后经过点o作直线a a a 和b所成的锐角 或直角 就是异面直线a与b所成的角 想一想 a 与b 所成角的大小与点o的位置有关吗 两直线的夹角 两直线相交所成的4个角中 其中不大于的角叫做两直线的夹角 三 两条异面直线所成的角 如图所示 a b是两条异面直线 在空间中任选一点o 过o点分别作a b的平行线a 和b a b 则这两条线所成 的锐角 或直角 称为异面直线a b所成的角 任选 若两条异面直线所成角为90 则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直也记作a b 异面直线所成角 的取值范围 平移 异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角为直角 就说两条直线互相垂直 记作a b 1 异面直线的判定定理2 异面直线所成的角直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 分别引直线a1 a b1 b 我们把直线a1和b1所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 如图 已知平面 l a l d l ac db 求证 ac和bd是异面直线 证明 假设ac bd在同一平面 内 a d c既在 内又在 内 且a d c三点不共线 与 重合 又a b d既在 内又在 内 同理 与 重合 与 重合 但这与已知 l相矛盾 所以假设不成立 故ac与bd是异面直线 例1 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 3 aa1 4 求异面直线a1b和ad1所成的角的余弦 解 连结cd1 cd1 a1b ad1c即为a1b与ad1所成的角 例2 在长方体abcd a1b1c1d1中 c1bc 45 b1ab 60 求ab1与bc1所成角的余弦 解 连结ad1 ad1 bc1 b1ad1即为ab1与bc1所成的角 例3 已知空间四边形abcd中 ad bc m n分别为ab和cd的中点 且直线bc与mn成30 角 求bc与ad所成的角 解 连bd并取其中点e 连结me ne则en bc me ad 由ad bc知me en 所以 enm emn 故 enm为bc与mn所成的角 即 enm emn 30 因此 men 120 men为bc与ad所成角的补角 所以bc与ad所成的角为60 e 例4 长方体abcd a1b1c1d1 ab aa1 2cm ad 1cm 求异面直线a1c1与bd1所成角的余弦值 解 如图 连b1d1与a1c1交于o1 取bb1的中点m 连o1m 则o1m d1b 于是 a1o1m就是异面直线a1c1与bd1所成的角 或其补角 连a1m 在 a1o1m中 由余弦定理得 a1c1与bd1所成角的余弦值为 例4 长方体abcd a1b1c1d1 ab aa1 2cm ad 1cm 求异面直线a1c1与bd1所成角的余弦值 法二 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面bc1的长方体b1f 连结c1e 则 a1c1e为a1c1与bd1所成的角 或补角 例5 已知正方体的棱长为a m为ab的中点 n为bb1的中点 求a1m与c1n所成角的余弦值 解 如图 取ab的中点e 连be 有be a1m取cc1的中点g 连bg 有bg c1n则 ebg即为所求角 例6 在空间四边形abcd中 ab bc cd da ac bd am n分别是bc和ad的中点 求异面直线am和cn所成角的余弦值 e 略解 连结md 取其中点e 连ne ce则ne am cne 或其补角 为异面直线am与cn所成的角 在 nec中 求异面直线所成角1 作通过平移构造出两条异面直线所成的角2 证证明构造出的角是所求异面直线所成的角3 算计算所构造出的角4 结结论 异面直线的距离 距离为0 距离为ab的长度 距离 b 1 两条异面直线的公垂线 和两条异面直线都垂直相交的直线 2 两条异面直线的公垂线段 两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分 3 异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度 问题 1 任意两条异面直线的公垂线如何找 2 异面直线的公垂线唯一吗 问 aa1与cd的公垂线 a1b与cd的公垂线 例1已知两条异面直线所成的角为 在直线 上分别取 已知 求公垂线段的长度 a a b a a d e f l m n 解 异面直线的距离公式 同正 异负 例2如图 已知空间四边形oabc各边及对角线长都是1 d e分别是oa