奥赛三面角公式及其应用.doc

三面角公式及其应用三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。与平面几何中有关三角形的正、余弦定理类似，有关三面角的正、余弦定理是解三面角的重要依据。熟练掌握解三面角的方法，可以较大地提高立体几何的解题能力。0、什么是三面角？：有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形叫三面角。点S为三面角SABC的顶点。射线SA、SB、SC为三面角SABC的三条棱， 三条棱它们所对的BSC、CSA、ASB为三面角SABC的三个面角。通常可用a、b、c表示。 以SA、SB、SC为棱的二面角BSAC、CSBA、ASCB可用A、B、C来表示。 以SA为棱的二面角BSAC所对的面角为：BSC以SB为棱的二面角CSBA所对的面角为：CSA 以SC为棱的二面角ASCB所对的面角为：ASB一、三面角正弦定理：三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比即：简单证明：如图在SA上任取点P作于O，作,易得：,即,即,故二、三面角余弦定理： 第一余弦定理：三面角一个面角的余弦等于其他两个面角的余弦的乘积加上它们的正弦及它们所夹二面角的连乘积。证明：分析 不失一般性，对三面角SABC，只须证明证明时利用上述公式及三角形的余弦定理即可。证明 如图，设三面角SABC的面角b及c均为锐角。在SB、SC上分别取|SB1|=|SC1|=1。作B1B2SA于B2，C1C2SA于C2，则|B1B2|=sinC，|C1C2|=sinb二面角BSAC中，|B1C1|2=|B1B2|2+|C1C2|2+|B2C2|22|B1B2|C1C2|cosA=B1SC1中，因此经整理即得 同理：变形：备注：“边、角、边”解三面角型，可采用第一余弦定理。第二余弦定理：三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两个二面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积。备注：“角、边、角”解三面角型，可采用第二余弦定理。四、相关应用：1已知，三面角SABC中。三个面角分析 本题为已知“边、角、边”解三面角型，可采用第一余弦定理。解 由得 注意 三面角的三个面角之和不一定等于180，因此不能误用解平面几何中三角形时三内角之和为180来求第三个面角，本题中的面角C显然大于45。由此可知，尽管三面角与三角形有许多类似之处，但它们之间又有许多完全不同的性质。例如正弦定理，三角形的正弦定理中边与其对应角的正弦的比值除相等外，还等于常量此三角形外接圆直径。而三面角中面角正弦与其对应二面角正弦之比只是相等，但不等于常量。至于余弦定理，三面角的余弦定理有两类更是有别于三角形的。2. 三条射线所成的角，那么平面与平面所成角的余弦值为 3从一点出发的三条不共面的射线SA、SB、SC。求证：平面ASB平面ASC（图213）4正方体ABCDA1B1C1D1中（见图27），设C1D1B所在半平面为，CD1B所在半平面为，BD1所在直线、的交线，求二面角BD1的度数。5正方形ABCD的边长为a，（图214），M、N分别为AB，CD的中点。将正方形沿MN折成120的二面角。又在MN上取点P，使折后，求AP的长。提示：解三面角PABN 求出 注意，两边取余弦。6平面AC与平面BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45，P为面AC内一点，Q为面BD内一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影。并且M在BC上。设PQ与平面BD所成的角为。线段PM的长为a，求|PQ|。7正四面体ABCD中，见图29，E、F分别为CD、AB的中点。求AE及CF所成角的余弦值. 8已知直角三角形ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上的一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角ACPB。当AB=时，求二面角PACB的余弦值。9正四棱台ABCDA1B1C1D1，相邻两侧面所成角为，侧面与底面所成角为，（图211）求证：10如图212，地球半径为R。A地位置为北纬45，东经95，B地位置为北纬60，东经65，求A、B两地间的球面距离。（答案用反三角函数表示）11 高考中的二面角可用三面角求解：（06江西）在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形 ，求二面角BACD的大小（07江西）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为已知，（2）