1981年全国统一高考数学试卷(文科).doc

1981年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共9小题，满分100分）1（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：（1）AB，（2）AB2（8分）（1981北京）化简：3（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果4（10分）（1981北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（，）上的最大值5（10分）（1981北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明6（10分）（1981北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标7（17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8（15分）（1981北京）ABCDA1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1对角面DBB1D19（18分）（1981北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标1981年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分100分）1（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：（1）AB，（2）AB考点：交集及其运算；并集及其运算 分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得AB，又由有理数、无理数的定义，可得AB解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得AB=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则AB=点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小2（8分）（1981北京）化简：考点：方根与根式及根式的化简运算专题：计算题分析：利用指数幂的运算法则，把原式转化为，由此能求出其结果解答：解：原式=点评：本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用3（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式 专题：计算题；阅读型分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素4（10分）（1981北京）求函数f（x）=sinx+cosx在区间（，）上的最大值考点：三角函数的最值 专题：计算题分析：把函数f（x）的解析式提取，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=求出函数的周期，得到（，）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为1得到f（x）的最大值即可解答：解：f（x）=（sinxcos+cosxsin）=，所以f（x）以为振幅，以2为周期，区间（，）恰好是f（x）的一个周期的定义区间，故f（x）在区间上取得最大值点评：考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值5（10分）（1981北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明考点：正弦定理 专题：证明题分析：先写出正弦定理，然后证明先分别作BC、AC边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以BC、AC、AB为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式，最后同时除以可得证解答：解：证：引AD垂直BC于D；引BE垂直CA的延长线于E设ABC的面积为S，则=；，将上式除以，得：点评：本题主要考查正弦定理的证明属基础题6（10分）（1981北京）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标考点：直线和圆的方程的应用；中点坐标公式专题：计算题分析：本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为1，进行解题，联立方程，求解即可解答：解：设AC中点为M（x，y），则有，M（x，y）=M（1，2）又设AC斜率为k，则k=3，因此得BD的斜率为故有直线BD的方程：，又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x1）2+（y2）2=10 （2）解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（2，3）（注：用复数法解亦可）点评：本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题7（17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用 专题：应用题分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10（1.02）20，两边取对数可的答案（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%）2012，（1+y%）201.2由此解可得答案解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，101.02，10（1.02）2，的第21项，即x=10（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%）2012，（1+y%）201.2根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）lg1.2，即lg（1+y%）0.00396，1+y%1.0092，y%0.0092点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用8（15分）（1981北京）ABCDA1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1对角面DBB1D1考点：平面与平面垂直的判定专题：证明题；综合题分析：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1，要证明截面ACB1对角面DBB1D1，只需证明截面ACB1内的直线AC垂直对角面DBB1D1内的相交直线BB1、BD即可解答：证明：设AC、BD交于O点，作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1如图，由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故ACBD；又BB1底面ABCD，故BB1AC，AC对角面BB1D1D，已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1对角面BB1D1D点评：本题考查平面与平面的垂直，考查逻辑思维能力，是中档题9（18分）（1981北京）（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系专题：计算题分析：（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程，整理，由韦达定理，算出（x1x2）2，（y1y2）2，再有两点间距离公式计算出弦长求出k（2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得解答：解：（1）设直线与抛物线的交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）解方程组：，得（2x+k）2=4x，即4x2+4（k1）x+k2=0，故有x1+x2=1k，x1x2=（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=又因P1，P2在直线y=2x+