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中央广播电视大学 开放专科计算机应用专业 高等数学(1)-教学大纲 第一部分 大纲说明 一、课程的作用与任务 “高等数学”课程是中央广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的大专工程技术和工程管理人才服务的。 通过本课程的学习，使学生系统地获得一元函数微积分、无穷级数和常微分方程等基本知识，掌握必要的基础理论和常用的计算方法，使学生初步受到用数学方法解决实际问题的能力训练。 通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。 二、课程的教学基本要求 1.微积分是研究变量变化的一门科学，它所研究的对象是事物运动、变化过程中变量间相互依赖的函数关系。使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要性。 2.使学生对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解。使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，培养学生辩证唯物主义观点，受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。 3.通过无穷级数的学习，使学生对有限与无限、合成与分解的辩证关系有一个初步的了解。掌握一些有关的基本知识。 4.运动变化的客观世界中，很多现象和过程是通过微分方程来描述的。通过学习，使学生对微分方程有初步了解，知道它的某些解法。 三、课程的教学要求层次 教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 第二部分 学时、教学安排、教材与教学环节 一、学时分配 本课程共8.5学分，课内学时153，其中电视课学时117，vcd学时36， 二、教学安排 高等数学课程分两个学期讲授，第一学期90学时，学习内容包括第1章到第8章的内容；第二学期63学时，学习内容包括第9章到第11章内容，以及概率统计的内容。 三、教材 根据远距离教育的要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，教材分主教材和辅导教材。主教材是课程的基本内容，是教和学的主要依据。辅导教材对主教材的内容进行解释、归纳、总结，通过例题介绍学习方法，提高解题能力。 文字教材是学生学习的主要用书，是学生获得知识和提高能力的重要媒体之一，教材中对概念的叙述要直观无误，论证要清楚，要适合成人以业余学习为主的特点，便于自学。 四、教学环节 1.电视课 本课程配有系统讲授型的电视课，是重要的教学环节，是学生获得本课程知识的重要媒体之一。 2vcd教材 本课程配有讲座形式的vcd光盘教材，是学生获得本课程主要知识、进行自主学习的重要媒体之一。 3.cai课件 本课程配有一套cai课件光盘（一张），是学生提高学习兴趣，开阔视野、进行自主练习、测试的重要媒体之一。 4自学与面授助学 学生可以通过自学、收看电视课或使用vcd教材进行学习，通过cai课件辅助学习，各地可以采是理论性较强的学科，为了加深对概念的理解和掌握，学生必须通过做练习题来熟悉各种公式的运用，消化、掌握所学的知识。由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段。 5考试 期末考试是教学的重要环节，本课程的考核成绩采用期末考试成绩与平时作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80；平时作业满分为20分，占期末考核成绩的20。 期末考试采用闭卷方式。 平时作业按完成作业的质量评分。 第三部分教学内容和教学要求 一、函数、极限与连续(13学时) (一)教学内容 函数：常量与变量，函数的定义 函数的表示方法：解析法，图示法、表格法 函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述。 重点：函数概念，基本初等函数 难点：建立函数关系，极限概念 (二)教学基本要求 1.理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。 2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。 3.掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 4.了解复合函数、初等函数的概念。 5.会列简单应用问题的函数关系式。 6.了解极限、左右极限的概念 7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较。 8.掌握极限的四则运算法则. 9.会用两个重要极限求极限。 10.了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。 11.了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。 12.知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。 二、一元函数微分学(28学时) (一)教学内容 导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分四则运算法则，一阶微分形式的不变性中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述导数应用：用洛必塔法则求“”、“”型未定式极限，函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，弧微分重点：导数概念和导数的计算，导数的应用难点：复合函数求导，隐函数求导 (二)教学基本要求 1.理解导数与微分概念(微分用dyydx定义)，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。 2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 3.熟练掌握复合函数的求导法则。 4.掌握隐函数的微分法，会用取对数的方法求导数，会求参数表示的函数的一阶导数。 5.知道一阶微分形式的不变性。 6.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。 7.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式。 8.掌握洛比塔法则，会用它求“”、“”型不定式极限。 9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念。 10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。 11.会用二阶导数求曲线凹凸区间（包括判别），会求曲线的拐点。 12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。 13.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。 三、一元函数积分学(27学时) (一)教学内容 不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表 积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用定积分：定积分的定义及几何意义。定积分的性质，积分中值定理。牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元积分法、分部积分法。定积分的近似计算(梯形法)，无穷积分。定积分的应用：求平面曲线围成图形的面积，旋转体(绕坐标轴旋转)体积，平面曲线的弧长，变力做功，引力、侧压力等重点：积分概念与计算，在几何上的应用难点：积分的计算 (二)教学基本要求 1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系。 2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。掌握第二换元积分法。 3.会求较简单的有理分式函数（分母为二次多项式）的积分。 4.了解定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和定积分的性质。 5.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。 6.熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。 7.掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 8.了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。 9.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。 四、无穷级数(13学时) (一)教学内容 无穷级数：无穷级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念。级数收敛的必要条件，几何级数、p-级数的收敛条件 正项级数：比较判别法、比值判别法 交错级数：莱布尼兹判别法 幂级数：收敛半径及其求法，收敛区间 泰勒级数：，ex,sinx,cosx,ln(1+x)五个函数的马克劳林级数展开式 重点：正项级数、幂级数收敛判别法，收敛半径的求法 难点：初等函数展成泰勒级数 (二)教学基本要求 1.了解无穷级数的收敛与发散概念及其主要性质，尤其是无穷级数收敛的必要条件，知道几何级数和p级数收敛的条件。 2.掌握正项级数收敛性的比值判别法。 3.理解幂级数收敛半径概念，熟练掌握求收敛半径的方法。 五、常微分方程(14学时) (一)教学内容 基本概念：微分方程及其阶、解(特解、通解)、初始条件 一阶微分方程：变量可分离的微分方程，齐次型微分方程，一阶线性微分方程(齐次或非齐次)可降阶的二阶方程 二阶线性微分方程：解的结构，二阶常系数线性齐次微分方程的通解的求法，二阶常系数线性非齐次微分方程(特殊自由项)的特解及通解的求法 微分方程应用举例 重点：基本概念，一阶微分方程和二阶线性常系数微分方程的