2019年高中数学第三章不等式3.4基本不等式第二课时基本不等式的应用习题课练习新人教A版.docx

第二课时基本不等式的应用习题课 1.下列函数中最小值是4的是(C)(A)y=x+ (B)y=sin x+(C)y=21+x+21-x(D)y=x2+3,x0解析:对于A,当x=-2时,y=-4,不符合题意;对于B,当sin x=-1时,y=-5,不符合题意;对于C,21+x0,21-x0,所以y=21+x+21-x2=4,当且仅当x=0时取等号;由于x2+34,当且仅当x=0时取等号,故D项不符合题意.故选C.2.若函数f(x)=x+(x2)在x=a处取最小值,则a等于(C)(A)1+(B)1+(C)3(D)4解析:f(x)=x+=x-2+2.因为x2,所以x-20.所以f(x)=x-2+22+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时“=”成立.又f(x)在x=a处取最小值.所以a=3.故选C.3.已知x1,y1且xy=16,则log2xlog2y(D)(A)有最大值2(B)等于4(C)有最小值3(D)有最大值4解析:因为x1,y1,所以log2x0,log2y0.所以log2xlog2y()2=2=4,当且仅当x=y=4时取等号.故选D.4.当x1时,不等式x+a恒成立,则实数a的取值范围是(D)(A)(-,2(B)2,+)(C)3,+)(D)(-,3解析:由于x1,所以x-10,0,于是x+=x-1+12+1=3,当=x-1即x=2时等号成立,即x+的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a3,故选D.5.已知x0,y0,且2x+y=1,则xy的最大值是(B)(A)(B)(C)4(D)8解析:因为x0,y0,且2x+y=1,所以xy=2xy()2=,当且仅当2x=y0,即x=,y=时取等号,此时,xy的最大值是.故选B.6.若直线+=1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:法一因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以2.又a+b2(当且仅当a=b时取等号),所以a+b4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.法二因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2+2+2=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.7.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(C)(A)(B)2(C)2(D)4解析:法一由已知得+=,且a0,b0,所以ab=b+2a2,所以ab2.法二由题设易知a0,b0,所以=+2,即ab2.故选C.8.若实数x,y满足x2+y2=4,则S=的最小值是(C)(A)-2 (B)-(C)2-2 (D)2(1+)解析:x2+y2=4(x+y)2-2xy=42xy=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2),于是S=x+y+2,而x2+y2=4(x+y)2-4=2xy2()2-2x+y2S2-2,2+2,当且仅当x2+y2=4,x=y,即x=y=时等号成立.验证知x=y=-时,S取得最小值,最小值为2-2.故选C.9.已知x,y0,且满足x+y=1,则+的最小值为.解析:+=(+)(x+y)=1+4+5+2=9.当且仅当即x=,y=时取等号.答案:910.设a,b0,a+b=5,则+的最大值为.解析:法一(+)2=a+b+4+29+2=9+a+b+4=18,所以+3,当且仅当a+1=b+3,a+b=5,即a=,b=时等号成立,所以+的最大值为3.法二本题也可利用进行求解,即=,当且仅当=,a+b=5,即a=,b=时等号成立,所以+的最大值为3.答案:311.若对任意x0,a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x0,所以=.所以要使a恒成立,只需a.答案:,+)12.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=csin A,则的最大值为.解析:由=,a=csin A,得sin C=1,即ABC是直角三角形,C为直角,于是a2+b2=c2,从而=1+1+=2,即,当且仅当a=b=c时等号成立.答案:13.(1)求函数y=的最小值;(2)求函数f(x)=2x(5-3x),x(0,)的最大值.解:(1)y=+,令t=,则t2,+),所以y=t+,t2,+).易证y=t+在t2,+)上为单调递增函数,所以y2+=.故ymin=.(2)因为x(0,),所以2x0,5-3x0,f(x)=2x(5-3x)=2()2=.当且仅当3x=5-3x,即x=(0,)时,等号成立,故所求函数的最大值为.14.已知x+y=-1,且x,y都是负数,求xy+的最小值.解:法一因为x,y都是负数,所以-x0,-y0.由x+y=-1,得1=(-x)+(-y)2=2,则00且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,求+的最小值.解:因为函数y=logax的图象恒过定点(1,0),所以函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点(-2,-1),所以-2m-n+1=0,即2m+n=1,所以+=(+)(2m+n)=2+1+3+2,当且仅当m=,n=-1时取等号.所以+的最小值为3+2.16.在下列各函数中,最小值等于2的函数是(D)(A)y=x+(B)y=cos x+(0x)(C)y=(D)y=ex+-2解析:对于A,若x0,则y0,y的最小值不为2.对于B,因为0cos x2.对于C,由于1,所以y=+2.对于D,y=ex+-22-2=2,当且仅当x=ln 2时取“=”,所以ymin=2.故选D.17.设a,b,c0,若(a+b+c)(+)k恒成立,则k的最大值是(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:要求k的最大值,即求(a+b+c)(+)的最小值.因为a,b,c0,所以(a+b+c)(+)=2+2+2=4,当且仅当=时,等号成立.因为(a+b+c)(+)k恒成立,所以k4,所以k的最大值是4.故选D.18.若x1,则函数y=x+的最小值为.解析:y=x+=x+2=8,当且仅当x=2+时,等号成立.答案:819.设a+b=2,b0,则当a=时,+取得最小值.解析:因为a+b=2,所以+=+=+.当a0时,变为+1=,当且仅当b2=4a2,即b=2a时取等号.当a,所以a0,且b=-2a,又a+b=2,所以a=-2.答案:-220.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起,包括维修费在内,每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入为50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大?最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大?最大是多少?解:(1)设捕捞n年后的总盈