【高考前三个月复习数学理科函数与导数】第15练

专题3函数与导数 第15练存在与恒成立问题 题型分析 高考展望 存在 与 恒成立 两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点 其本质是 特称 与 全称 量词的一个延伸 弄清其含义 适当进行转化来加以解决 此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中 难度高 需要有较强的分析能力和运算能力 训练时应注意破题方法的研究 常考题型精析 高考题型精练 题型一恒成立问题 题型二存在性问题 常考题型精析 题型一恒成立问题 例1 2014 浙江 已知函数f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 解因为a 0 1 x 1 所以 当0 a 1时 若x 1 a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 a 上是减函数 若x a 1 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函数 所以g a f a a3 当a 1时 有x a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 1 上是减函数 所以 g a f 1 2 3a 2 证明 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 证明令h x f x g a 当0 a 1时 g a a3 若x a 1 则h x x3 3x 3a a3 h x 3x2 3 所以h x 在 a 1 上是增函数 所以 h x 在 a 1 上的最大值是h 1 4 3a a3 且00 知t a 在 0 1 上是增函数 所以 t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 当a 1时 g a 2 3a 故h x x3 3x 2 h x 3x2 3 此时h x 在 1 1 上是减函数 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 综上 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 点评恒成立问题一般与不等式有关 解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值 从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值 变式训练1 2015 山东 设函数f x ln x 1 a x2 x 其中a R 1 讨论函数f x 极值点的个数 并说明理由 解由题意知 函数f x 的定义域为 1 令g x 2ax2 ax a 1 x 1 当a 0时 g x 1 此时f x 0 函数f x 在 1 上单调递增 无极值点 当a 0时 a2 8a 1 a a 9a 8 f x 0 函数f x 在 1 上单调递增 无极值点 设方程2ax2 ax a 1 0的两根为x1 x2 x1 x2 所以当x 1 x1 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递增 当x x1 x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递减 当x x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递增 因此函数有两个极值点 当a 0时 0 由g 1 1 0 可得x1 1 当x 1 x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递增 当x x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 单调递减 所以函数有一个极值点 综上所述 当a 0时 函数f x 有一个极值点 2 若 x 0 f x 0成立 求a的取值范围 解由 1 知 当0 a 89时 函数f x 在 0 上单调递增 因为f 0 0 所以x 0 时 f x 0 符合题意 当89 a 1时 由g 0 0 得x2 0 所以函数f x 在 0 上单调递增 又f 0 0 所以x 0 时 f x 0 符合题意 当a 1时 由g x 0 可得x2 0 所以x 0 x2 时 函数f x 单调递减 因为f 0 0 所以x 0 x2 时 f x 0 不合题意 当a 0时 设h x x ln x 1 所以h x 在 0 上单调递增 因此当x 0 时 h x h 0 0 即ln x 1 x 可得f x x a x2 x ax2 1 a x 此时f x 0 不合题意 综上所述 a的取值范围是 0 1 题型二存在性问题 例2 2014 辽宁 已知函数f x cosx x 2x 83 sinx 1 g x 3 x cosx 4 1 sinx ln 3 2x 证明 1 存在唯一x0 0 2 使f x0 0 证明当x 0 2 时 f x 1 sinx 2x 2x 23cosx 0 则函数f x 在 0 2 上为减函数 2 存在唯一x1 2 使g x1 0 且对 1 中的x0 有x0 x1 由 1 得 当t 0 x0 时 u t 0 在 0 x0 上u t 是增函数 又u 0 0 从而当t 0 x0 时 u t 0 所以u t 在 0 x0 上无零点 使h x1 h t1 u t1 0 故g x 1 sinx h x 与h x 有相同的零点 因为x1 t1 t1 x0 所以x0 x1 点评 存在 是特称量词 即 有的 意思 证明这类问题的思路是想法找到一个 x0 使问题成立即可 必要时需要对问题进行转化 若证 存在且唯一 则需说明除 x0 外其余不能使命题成立 或利用函数单调性证明此类问题 变式训练2 2015 浙江 设函数f x x2 ax b a b R 1 当b a24 1时 求函数f x 在 1 1 上的最小值g a 的表达式 2 已知函数f x 在 1 1 上存在零点 0 b 2a 1 求b的取值范围 解设s t为方程f x 0的解 且 1 t 1 所以 3 b 0 故b的取值范围是 3 9 45 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2014 辽宁 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是 A 5 3 B 6 98 C 6 2 D 4 3 解析当x 0时 ax3 x2 4x 3 0变为3 0恒成立 即a R 当x 0 1 时 ax3 x2 4x 3 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 在 0 1 上递增 x max 1 6 a 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当x 2 1 时 x 0 当x 1时 x 有极小值 即为最小值 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 2 综上知 6 a 2 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若正实数x y满足x y 2 且1xy M恒成立 则M的最大值为 A 1B 2C 3D 4 A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 若存在正数x使2x x a 1成立 则a的取值范围是 A B 2 C 0 D 1 f x 1 2 xln2 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 在 0 上单调递增 f x f 0 0 1 1 a的取值范围为 1 故选D 答案D 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 若函数f x x 1 ex 则下列命题正确的是 A 对任意m 1e2 都存在x R 使得f x 1e2 方程f x m总有两个实根 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 f x x 2 ex x 2时 f x 0 f x 为增函数 x 2时 f x 0 f x 为减函数 f 2 1e2为f x 的最小值 即f x 1e2 x R 故B正确 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 若不等式2xlnx x2 ax 3对x 0 恒成立 则实数a的取值范围是 A 0 B 4 C 0 D 4 解析2xlnx x2 ax 3 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当x 0 1 时 h x 0 函数h x 单调递增 所以h x min h 1 4 所以a h x min 4 故a的取值范围是 4 答案B 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 若x 0 则下列不等式恒成立的是 则f x sinx x 0 x 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 已知函数f x 2ax3 3ax2 1 g x 若任意给定的x0 0 2 总存在两个不同的xi i 1 2 0 2 使得f xi g x0 成立 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析当a 0时 显然不成立 故排除D 当a 0时 注意到f x 6ax2 6ax 6ax x 1 即f x 在 0 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 又f 0 1 32 g 0 当x0 0时 结论不可能成立 进一步 可知a 0 此时g x 在 0 2 上是增函数 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同时f x 在0 x 1时 函数值从1增大到1 a 在1 x 2时 函数值从1 a减少到1 4a 所以 任意给定的x0 0 2 总存在两个不同的xi i 1 2 0 2 使得f xi g x0 成立 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得a 1 答案A 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2014 江苏 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 解析作出二次函数f x 的图象 对于任意x m m 1 都有f x 0 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 设函数f x ax3 3x 1 x R 若对于任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 解析若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 g x 在区间 1 0 上单调递增 所以g x min g 1 4 从而a 4 综上可知a 4 答案4 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 已知函数f x x g x x2 2ax 4 若对于任意x1 0 1 存在x2 1 2 使f x1 g x2 则实数a的取值范围是 因此函数f x 在 0 1 上单调递增 所以x 0 1 时 f x min f 0 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据题意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 即x2 2ax 5 0 则要使a h x 在x 1 2 能成立 只需使a h x min 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2015 湖南 已知a 0 函数f x aexcosx x 0 记xn为f x 的从小到大的第n n N 个极值点 1 证明 数列 f xn 是等比数列 证明f x aexcosx aexsinx 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若对一切n N xn f xn 恒成立 求a的取值范围 解对一切n N xn f xn 恒成立 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令g t 0得t 1 当0 t 1时 g t 0 所以g t 在区间 0 1 上单调递减 当t 1时 g t 0 所以g t 在区间 1 上单调递增 因为x1 0 1 且当n 2时 xn 1 xn xn 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 g xn min min g x1 g x2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2014 陕西 设函数f x lnx mx m R 1 当m e e为自然对数的底数 时 求f x 的极小值 当x 0 e f x 0 f x 在 e 上单调递增 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 的极小值为2 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 讨论函数g x f x x3零点的个数 则 x x2 1 x 1 x 1 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当x 0 1 时 x 0 x 在 0 1 上单调递增 当