江苏省高考数学概率及应用.doc

1.(2010江苏卷)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_.4.(2011安徽卷)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于例1.(2010南通三模)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a，b，c,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c.两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜(1)如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；(2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？解析：由于双方均不知道对方的出马顺序，我们可以记A与a比赛为(A，a)，其他同理列出所有的结果 (1)方法1：齐王与田忌赛马，有如下6种情况：(A，a)，(B，b)，(C，c)；(A，a)，(B，c)，(C，b)；(A，b)，(B，c)，(C，a)；(A，b)，(B，a)，(C，c)；(A，c)，(B，a)，(C，b)；(A，c)，(B，b)，(C，a) 其中田忌获胜的只有一种：(A，c)，(B，a)，(C，b)故田忌获胜的概率为P=方法2：齐王与田忌赛马对局有6种可能：ABC abc acbbac bca cabcba其中田忌获胜的只有一种：(A，c)，(B，a)，(C，b)若齐王出马顺序还有ACB，BAC，BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜故田忌获胜的概率为P= = .(2)已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场出上等马A或中等马B，则剩下两场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c.后两场有两种情形：若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：(B，a)，(C，b)或(B，b)，(C，a)故田忌获胜的概率为 .若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：(C，a)，(B，b)或(C，b)，(B，a)故田忌获胜的概率也为所以，田忌按c，a，b或c，b，a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大答：(1)田忌获胜的概率(2)田忌按c，a，b或c，b，a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大，为变式1.田忌和齐王约定中午十二点到一点间到赛马场商定赛马事宜，求田忌在齐王前到但等候不超过一刻钟的概率？.解析：以12点作为时间的起点，设田忌和齐王分别在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为D=(x，y)|0x60,0y60，画成图为如图所示的正方形，会面的充要条件是|x-y|15，即事件A=可以会面，所对应的区域是图中的阴影部分，所以P(A)= = =例2.(2010南通信息卷)已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by+1=0，其中a，b1,2,3,4,5,6(1)求直线l1l2= 的概率；(2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率解析：l1l2=即l1与l2平行，斜率相等，直线l1与l2的交点位于第一象限，即l1与l2有交点且交点的横坐标及纵坐标都大于0.(1)直线l1的斜率k1= ，直线l2的斜率k2= .设事件A为“直线l1l2=”a，b1,2,3,4,5,6的总事件为(1,1)，(1,2)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，(6,5)，(6,6)，共36种若l1l2=，则l1l2，即k1=k2，即b=2a.满足条件的实数对(a，b)有(1,2)、(2,4)、(3,6)共三种情形，所以P(A)= = .答：直线l1l2=的概率为 .(2)设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”由于直线l1与l2有交点，则b2a.联立方程组 解得 .因为直线l1与l2的交点位于第一象限，则 ，即 ，解得b2a. a，b1,2,3,4,5,6的总事件为(1,1)，(1,2)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，(6,5)，(6,6)，共36种 满足条件的实数对(a，b)有(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,5)、(2,6)共六种所以P(B)= = .答：直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为变式2.集合A=x|-1x0，集合B=x|ax+b2x-10，即f(x)在-1,0上是单调增函数f(x)在-1,0上的最小值为f(-1)=-a+ -1.要使AB ，只须-a+ -10.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组所以AB 的概率为 .(2)因为a0,2，b1,3，所以(a，b)对应的区域是边长为2的正方形(如图)，面积为4.由(1)可知，要使AB=，只须f(x)min=-a+ -102a-b+20.所以满足AB=的(a，b)对应的区域是如图阴影部分因为S阴影= 1 = ，所以AB=的概率为P= = .例3.正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的一个点(1)设“VP-ABCV”的事件为X，求概率P(X)；(2)设“VP-ABCV且VP-BCDV”的事件为Y，求概率P(Y)解析：(1)分别取DA，DB，DC上的点E、F、G，并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，并连结EF，FG，GE，则平面EFG平面ABC.当点P在正四面体DEFG内部运动时， 满足VP-ABC V，故P(X)= =( )3=( )3= .(2)在AB上取点H，使AH=3HB，在AC上取点I，使AI=3IC，在AD上取点J，使AJ=3JD，则P在正四面体AHIJ内部运动时，满足VP-BCD V.设JH交EF于M，JI交EG于N.结合(1)，当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动，亦即P在正四面体EMNJ内部运动时，同时满足VP-ABC V且VP-BCD V，于是P(Y)= =( )3=( )3= .变式3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中随机取点，则点M落在四棱锥O-ABCD(其中O是长方体对角线的交点)内的概率是解析：不妨设长方体的长、宽、高分别为a、b、c.设D：长方体所围成的内部区域，d：四棱锥O-ABCD所围成的内部区域则P= = = .处理古典概型的概率时应列举全面，书写规范尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答，方法以列举法为主处理几何概型的概率时应首先正确求出基本事件的空间可表示成可度量的区域和事件所对应的区域，再用公式求解(2011 江西卷)(本小题满分12分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯