高中数学 3.3等比数列及其性质配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节等比数列及其性质 三年5考高考指数 1 理解等比数列的概念 2 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 1 在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景 考查等比数列的判定 重点考查通项公式 前n项和公式 同时考查等差 等比数列的综合应用 2 在考试形式上主要以选择 填空题为主 考查等比数列的性质及其应用 与等差数列或与其他知识点交汇则以解答题为主 1 等比数列的定义 1 定义 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于 这个数列就叫做等比数列 2 公比 常用字母q q 0 表示 3 表达式 q 0 n n 同一个常数 常数 即时应用 判断下列数列是否为等比数列 请在括号中填 是 或 否 1 数列0 0 0 0 0 2 数列1 1 2 4 8 16 32 3 数列a a a a a 4 数列1 1 1 1 1 解析 1 不是 等比数列中的项不能为0 2 第二项与第一项的比值不等于常数2 故不是等比数列 3 当a 0时 不满足等比数列的概念 故不一定是等比数列 4 是等比数列 答案 1 否 2 否 3 否 4 是 2 等比数列的通项公式若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为an 即时应用 1 等比数列 4 的第11项为 2 在等比数列 an 中 若a3 2 a6 16 则数列的通项公式为 解析 1 a1 q a11 2 设等比数列的公比为q 则解得 an 2n 1 2n 2 答案 1 2 an 2n 2 3 等比中项如果在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 则g叫做a与b的等比中项 且 即g g2 ab 即时应用 1 思考 g2 ab是a g b成等比数列的什么条件 g 呢 并说明理由 提示 g2 ab是必要不充分条件 g 既不是充分条件也不是必要条件 因为若g 0 a 0 则有g2 ab g 而a g b不是等比数列 若a g b成等比数列 则所以g2 ab 不能推出g 2 思考 若a b存在等比中项 则a b应满足什么条件 提示 a b同号 a b 0 时 a b存在等比中项 即a b同为正或同为负时 a b存在等比中项 3 若等比数列 an 的前三项依次为a 1 a 1 a 4 则它的第5项为 解析 由题意知 a 1 2 a 1 a 4 解得a 5 a1 4 q a5 4 答案 4 等比数列的前n项和公式若已知首项a1和公比q 则当q 1时 sn 当q 1时 sn 即 na1 即时应用 1 在等比数列 an 中 a1 2 4 q 1 5 n 5 则sn 2 在等比数列 an 中 a1 8 q an 则sn 3 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为sn 则 解析 1 sn 2 sn 3 答案 等比数列的基本运算 方法点睛 1 等比数列运算的通法等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比 然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列的前n项和公式时 应首先判断公比q能否为1 若能 应分q 1与q 1两种情况求解 提醒 在运算过程中 应善于运用整体代换的思想简化运算的过程 例1 1 已知 an 是各项都为正数的等比数列 sn是 an 的前n项和 若a1 1 5s2 s4 则a5 2 2011 大纲版全国卷 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 解题指南 1 根据5s2 s4 列方程求公比q 2 建立关于a1和q的方程组 求出a1和q后再求an和sn 规范解答 1 设公比为q 则由5s2 s4知q 1 又a1 1 5 1 q q2 4 又q 0 q 2 a5 a1q4 1 24 16 答案 16 2 设 an 的公比为q 由题意得解得或当a1 3 q 2时 an 3 2n 1 sn 3 2n 1 当a1 2 q 3时 an 2 3n 1 sn 3n 1 互动探究 本例 2 中 若将 a2 6 6a1 a3 30 改为 a1 a2 12 a2a4 1 试求an和sn 解析 设等比数列 an 的公比为q 由题意知 或解得或 当a1 9 q 时 an 9 sn 当a1 16 q 时 an 16 1 n 143 n sn 反思 感悟 1 本例 1 只有一解 本例 2 有两组解 在求解过程中 要注意根据题意确定解的个数 2 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 变式备选 1 已知sn为等比数列 an 的前n项和 sn 93 an 48 公比q 2 则项数n 解析 由sn 93 an 48 公比q 2 根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得答案 5 2 已知四个实数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 首末两数之和为37 中间两数之和为36 求这四个数 解析 方法一 设前2个数分别为a b 则第3 4个数分别为36 b 37 a 则解得或所以这四个数分别为12 16 20 25或者 方法二 设第2 3个数分别为b c 则第1个数为2b c 第4个数为 则或所以这四个数分别为12 16 20 25或者 方法三 设第1 3个数分别为a c 则第2 4个数分别为然后根据题意可知解得或者从而解得这四个数分别为12 16 20 25或者 等比数列的判定与证明 方法点睛 等比数列的判定方法 1 定义法 若 q q为非零常数 n n 或 q q为非零常数且n 2 n n 则 an 是等比数列 2 等比中项法 若数列 an 中 an 0且an 12 an an 2 n n 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n n 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 提醒 1 前两种方法是判定等比数列的常用方法 常用于证明 而后两种方法常用于选择 填空中的判定 2 若要判定一个数列不是等比数列 则只需判定其中某一相邻三项不成等比数列即可 通常选取前三项a1 a2 a3进行判断 例2 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明数列 bn 是等比数列 2 在 1 的条件下 证明是等差数列 并求an 解题指南 1 利用sn 1 4an 2 寻找bn与bn 1的关系 2 先求bn 再证明数列是等差数列 最后求an 规范解答 1 由a1 1 及sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由sn 1 4an 2 知当n 2时 有sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 又 bn an 1 2an bn 2bn 1 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 2 由 1 可得bn an 1 2an 3 2n 1 数列是首项为 公差为的等差数列 an 3n 1 2n 2 反思 感悟 在证明本题时 首先利用转化的思想 把sn 1 4an 2转化为a1与a2的关系以求出新数列的首项b1 然后根据sn 1与sn的关系来求an 1 此时得到的是an 1 an与an 1之间的关系 而bn an 1 2an 故合理转化后即可证明 bn 是否为等比数列 在此过程中 合理转化是关键 变式训练 数列 an 的前n项和为sn 若an sn n cn an 1 求证 数列 cn 是等比数列 证明 an sn n a1 s1 1 得a1 c1 a1 1 又an 1 sn 1 n 1 2an 1 an 1 即2 an 1 1 an 1 又 a1 1 即 数列 cn 是以为首项 以为公比的等比数列 等比数列的性质及应用 方法点睛 等比数列的常见性质 1 若m n p q 2k m n p q k n 则am an ap aq ak2 2 通项公式的推广 an am qn m m n n 3 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 0 仍然是等比数列 4 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk 5 公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为qn 当公比为 1时 sn s2n sn s3n s2n不一定构成等比数列 例3 1 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a4 a5 a6 a b 7 c 6 d 2 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 a n 2n 1 b n 1 2 c n2 d n 1 2 解题指南 1 利用a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比数列求解 2 根据a5 a2n 5 an2先求an 再代入求解 规范解答 1 选a a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比数列 a4 a5 a6 2 a1 a2 a3 a7 a8 a9 50 又an 0 a4 a5 a6 2 选c a5 a2n 5 an2 22n且an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 5 2n 1 n2 互动探究 若本例第 1 题条件改为 a1 a2 a3 40 a4 a5 a6 20 求数列 an 的前9项之和 解析 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 成等比数列 a7 a8 a9 40 10 s9 40 20 10 70 反思 感悟 1 解答本例 1 时 也可用整体代入的方法求解 但一般不如用等比数列的性质简单 2 利用等比数列的性质解决问题时 一定要注意每一项的下标 不要犯a2 a5 a7的错误 变式备选 在等比数列 an 中 an 0 若 2a4 a2 a6 a4 36 则a3 a5 解析 an 是等比数列 an 0 2a4 a2 a6 a4 2a42 a2 a4 a6 a4 a32 a52 2a3 a5 a3 a5 2 36 a3 a5 6 答案 6 创新探究 等比数列与三角函数相结合的创新题 典例 2011 福建高考 已知等比数列 an 的公比q 3 前3项和s3 1 求数列 an 的通项公式 2 若函数f x asin 2x a 0 0 在x 处取得最大值 且最大值为a3 求函数f x 的解析式 解题指南 1 先求a1 再求an 2 先求出a3 从而a可知 再根据f x 的图象过点 a 求 规范解答 1 由q 3 s3 得解得a1 an 2 由 1 知an 3n 2 a3 3 函数f x 的最大值为3 所以a 3 当x 时 f x 取得最大值 sin 2 1 又0 函数f x 的解析式为f x 3sin 2x 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 辽宁高考 若等比数列 an 满足anan 1 16n 则公比为 a 2 b 4 c 8 d 16 解析 选b 因为等比数列 an 满足anan 1 16n 所以an 1an 2 16n 1 得q2 16 又因为anan 1 16n 0 所以q 4 2 2012 巢湖模拟 在等比数列 an 中 a1 a2 1 a3 a4 2 则a5 a6 a7 a8 a 10 b 11 c 12 d 14 解析 选c 由题意知 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8成等比数列 a5 a6 2 2 4 a7 a8 4 2 8 a5 a6 a7 a8 4 8 12 3 2011 广东高考 已知 an 是递增等比数列 a2 2 a4 a3 4 则此数列的公比q 解析 由a4 a3 4得a2q2 a2q 4 又a2 2 2q2 2q 4 即q2 q 2 0 又 an 是递增等比数列 q 1 q 2 答案 2 4 2011 北京高考 在等比数列 an 中 若则公比q a1 a2 an 解析 an 2 n 1 an 2n 2 a1 a2 an 答案 2 5 2012