高中数学 第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修23.ppt

2 3离散型随机变量的均值与方差2 3 1离散型随机变量的均值 一 离散型随机变量的均值及其性质1 离散型随机变量的均值或数学期望一般地 若离散型随机变量x的分布列为 1 数学期望 2 数学期望的含义 反映了离散型随机变量取值 平均水平 2 均值的性质若y ax b 其中a b为常数 x是随机变量 1 y也是随机变量 2 e ax b ae x b 判断 正确的打 错误的打 1 随机变量x的数学期望e x 是个变量 其随x的变化而变化 2 随机变量的均值与样本的平均值相同 3 若随机变量x的数学期望e x 2 则e 2x 4 提示 1 错误 随机变量的均值是常数 其不随x的变化而变化 2 错误 随机变量的均值是常数 而样本的均值 随样本的不同而变化 3 正确 e x 2 则e 2x 2e x 4 答案 1 2 3 二 两点分布 二项分布的均值1 两点分布 若x服从两点分布 则e x 2 二项分布 若x b n p 则e x p np 思考 若某人投篮的命中率为0 8 那么他投篮10次一定会进8个球吗 提示 某人投篮的命中率为0 8 是通过大量重复的试验来推断出来的一个均值 由于每次试验是相互独立的 投一次可能成功 也可能失败 也就是说投篮10次可能一个球也没进 也可能进了几个球 但并不一定会是8个 只是从平均意义上讲10次投篮进8个球 知识点拨 1 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系 2 对均值概念的理解 1 均值的含义 均值是离散型随机变量的一个特征数 反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 均值的来源 均值不是通过一次或几次试验就可以得到的 而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值 3 均值与平均数的区别 均值是概率意义下的平均值 不同于相应数值的算术平均数 3 对公式e ax b ae x b的理解 1 当a 0时 e b b 即常数的均值就是这个常数本身 2 当a 1时 e x b e x b 即随机变量x与常数之和的均值等于x的均值与这个常数的和 3 当b 0时 e ax ae x 即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积 类型一求离散型随机变量的均值 典型例题 1 2013 淄博高二检测 已知某一随机变量 的概率分布列如下 且e 6 3 则a的值为 a 5b 6c 7d 8 2 2012 山东高考 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为命中得1分 没有命中得0分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为每命中一次得2分 没有命中得0分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 1 求该射手恰好命中一次的概率 2 求该射手的总得分x的分布列及数学期望e x 解题探究 1 已知随机变量 的分布列 如何计算e 2 事件 该射手恰好命中一次 包含哪些基本事件 探究提示 1 已知随机变量 的分布列 可利用定义计算e 2 事件 该射手恰好命中一次 包含以下三个基本事件 该射手射击甲靶命中 该射手第一次射击乙靶命中 及 该射手第二次射击乙靶命中 解析 1 选c 由题意可知故a 7 b 0 4 2 1 记 该射手恰好命中一次 为事件a 该射手射击甲靶命中 为事件b 该射手第一次射击乙靶命中 为事件c 该射手第二次射击乙靶命中 为事件d 由题意知 由于根据事件的独立性与互斥性得 2 根据题意 x的可能取值为0 1 2 3 4 5 根据事件的独立性和互斥性得 故x的分布列为所以 互动探究 在题1题设条件不变的情况下 求e 3 5 的值 解析 因为e 6 3 所以e 3 5 3e 5 3 6 3 5 23 9 拓展提升 求离散型随机变量的均值的步骤 1 根据随机变量x的意义 写出x可能取得的全部值 2 求x取每个值的概率 3 写出x的分布列 4 由均值的定义求出e x 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在 类型二两点分布及二项分布的均值 典型例题 1 某种种子每粒发芽的概率为0 9 现播种了1000粒 对于没有发芽的种子 每粒需再补种2粒 补种的种子数记为x 则x的数学期望为 a 100b 200c 300d 400 2 2012 四川高考 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和b 系统a和b在任意时刻发生故障的概率分别为 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为求p的值 2 设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布列及数学期望e 解题探究 1 补种的种子数x服从什么分布 2 事件 在任意时刻至少有一个系统不发生故障 的对立事件是什么 随机变量 服从什么分布 探究提示 1 x b 1000 0 2 2 事件 在任意时刻至少有一个系统不发生故障 的对立事件是 系统a和b同时发生故障 随机变量 解析 1 选b 由题意可知 补种的种子数记为x x服从二项分布 即x b 1000 0 2 所以x的数学期望e x 1000 0 2 200 2 1 设 至少有一个系统不发生故障 为事件c 那么解得 2 由题意 所以 随机变量 的概率分布列为 故随机变量 的数学期望为 拓展提升 1 常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率 则 1 两点分布e x p 2 二项分布e x np 熟练应用上述两公式可大大减少运算量 提高解题速度 2 两点分布与二项分布辨析 1 相同点 一次试验中要么发生要么不发生 2 不同点 随机变量的取值不同 两点分布随机变量的取值为0 1 二项分布中随机变量的取值x 0 1 2 n 试验次数不同 两点分布一般只有一次试验 二项分布则进行n次试验 变式训练 1 某运动员投篮命中率为p 0 6 1 求投篮1次时命中次数x的数学期望 2 求重复5次投篮时 命中次数y的数学期望 解题指南 1 投篮1次命中次数x服从两点分布 故由两点分布的均值公式可求得 2 重复5次投篮 命中次数y服从二项分布 代入公式e y np可得 解析 1 投篮1次 命中次数x的分布列如下表 则e x p 0 6 2 由题意 重复5次投篮 命中的次数y服从二项分布 即y b 5 0 6 则e y np 5 0 6 3 2 2013 山东高考 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率是假设每局比赛结果互相独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2胜利的概率 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得1分 求乙队得分x的分布列及数学期望 解题指南 1 本题考查了相互独立事件的概率 2 本题考查的是随机变量的分布列及数学期望 先列出x的所有值 并求出每个x值所对应的概率 列出分布列 然后根据公式求出数学期望 解析 1 记 甲队以3 0胜利 为事件a1 甲队以3 1胜利 为事件a2 甲队以3 2胜利 为事件a3 由题意 各局比赛结果相互独立 故所以甲队以3 0胜利 以3 1胜利的概率都为甲队以3 2胜利的概率为 2 设 乙队以3 2胜利 为事件a4 由题意 各局比赛结果相互独立 所以由题意 随机变量 的所有可能的取值为0 1 2 3 根据事件的互斥性得 又故 的分布列为所以 类型三均值的应用 典型例题 1 利用下列盈利表中的数据进行决策 应选择的方案是 a a1b a2c a3d a4 2 2012 福建高考 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为2年 现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆 统计数据如下 将频率视为概率 解答下列问题 1 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求首次出现故障发生在保修期内的概率 2 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1 生产一辆乙品牌轿车的利润为x2 分别求x1 x2的分布列 3 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应该生产哪种品牌的轿车 说明理由 解题探究 1 如何依据表中的数据做出正确的判断 2 如何从经济效益的角度考虑 做出应该生产哪种品牌的轿车的决定 探究提示 1 先分别计算a1 a2 a3 a4的均值 然后选择均值最大的便可 2 先分别计算e x1 e x2 然后比较大小便可 解析 1 选c a1的均值为50 0 25 65 0 30 26 0 45 43 7 a2的均值为70 0 25 26 0 30 16 0 45 32 5 a3的均值为 20 0 25 52 0 30 78 0 45 45 7 a4的均值为98 0 25 82 0 30 10 0 45 44 6 所以选方案a3 2 1 设 甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内 为事件a 则 2 依题意得随机变量x1的分布列为随机变量x2的分布列为 3 甲品牌 由 2 得因为e x1 e x2 所以应该生产甲品牌轿车 拓展提升 1 实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用 如对体育比赛的成绩预测 消费预测 工程方案的预测 产品合格率的预测 投资收益的预测等方面 都可以通过随机变量的均值来进行估计 2 概率模型的三个解答步骤 1 审题 确定实际问题是哪一种概率模型 可能用到的事件类型 所用的公式有哪些 2 确定随机变量的分布列 计算随机变量的均值 3 对照实际意义 回答概率 均值等所表示的结论 变式训练 2013 福建高考 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了甲 乙两种抽奖方案 方案甲的中奖率为中奖可以获得2分 方案乙的中奖率为中奖可以获得3分 未中奖则不得分 每人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为x 求x 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 解题指南 先求出x的取值情况 逐一求出对应事件的概率 利用期望公式求出两种方案的期望 然后进行比较 解析 1 由已知得 小明中奖的概率为小红中奖的概率为且两人中奖与否互不影响 记 这2人的累计得分x 3 的事件为a 则a事件的对立事件为 x 5 因为所以所以这两人的累计得分x 3的概率为 2 设小明 小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为x1 都选择方案乙抽奖中奖的次数为x2 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为e 2x1 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为e 3x2 由已知 所以所以因为e 2x1 e 3x2 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的数学期望较大 易错误区 因不理解二项分布致误 典例 一射手对靶射击 直到第一次命中为止 每次命中的概率为0 6 现有4颗子弹 命中后的剩余子弹数目x的期望为 解析 x的可能取值为3 2 1 0 p x 3 0 6 p x 2 0 4 0 6 0 24 p x 1 0 42 0 6 0 096 p x 0 0 43 0 064 所以e x 3 0 6 2 0 24 1 0 096 0 0 064 2 376 答案 2 376 误区警示 防范措施 1 注意题设信息的提取合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误 如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读 2 注意知识间的辨析二项分布的特征是事件的相互独立性 彼此之间无任何制约关系 而本例中条件 直到第一次命中为止 说明了随机变量并非服从二项分布 类题试解 2013 南通高二检测 设在12个同类型的零件中有2个次品 抽取3次进行检验 每次抽取一个 并且取出不再放回 若以 表示取出次品的个数 则 的期望值e 解析 由题意 相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个 取出次品的个数可能为0 1 2 套公式即可 则根据期望公式可知 的期望值答案 1 已知离散型随机变量x的分布列为则x的数学期望e x 解析 选a 2 若随机变量x服从二项分布则e x 的值为 解析 选a 3 已知 2 3 且则 解析 选c e e 2 3 2e 3 4 将一颗骰子连掷10