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3 2 1立体几何中的向量方法 平行和垂直 A P 直线的方向向量 换句话说 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 复习1 方向向量与法向量 2 平面的法向量 l 换句话说 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 1 平行关系 2 垂直关系 巩固性训练1 1 设分别是直线l1 l2的方向向量 根据下列条件 判断l1 l2的位置关系 平行或重合 垂直 平行或重合 巩固性训练2 1 设分别是平面 的法向量 根据下列条件 判断 的位置关系 垂直 平行或重合 相交 1 设平面的法向量为 1 2 2 平面的法向量为 2 4 k 若 则k 若则k 2 已知 且的方向向量为 2 m 1 平面的法向量为 1 1 2 2 则m 3 若的方向向量为 2 1 m 平面的法向量为 1 1 2 2 且 则m 巩固性训练3 4 5 8 4 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中点 求平面EDB的一个法向量 A B C D P E 练习 二 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 例2四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中点 DF FB CG GP 1 2 求证 AE FG A B C D P G F E A 6 0 0 F 2 2 0 E 3 3 3 G 0 4 2 AE FG 证 如图所示 建立空间直角坐标系 AE与FG不共线 几何法呢 例3四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 求证 PA 平面EDB A B C D P E 解1立体几何法 A B C D P E 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 连结AC AC交BD于点G 连结EG 解法2 A B C D P E 解3 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 设平面EDB的法向量为 A B C D P E 解4 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 解得x 证明 设正方体棱长为1 为单位正交基底 建立如图所示坐标系D xyz 所以 E是AA1中点 例5正方体 平面C1BD 证明 E 求证 平面EBD 设正方体棱长为2 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E 0 0 1 D 0 2 0 B 2 0 0 设平面EBD的一个法向量是 平面C1BD 平面EBD 所以 练习 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB AA1 3 a E F分别是BB1
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