高三数学一轮复习 7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课件 .ppt

第七章立体几何初步第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图 知识梳理 1 空间几何体的结构特征 相等 全等 公共点 平行于底面 相似 2 空间几何体的三视图 1 三视图的形成与名称 形成 空间几何体的三视图是用平行投影得到的 在这种投影之下 与投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的 和 是完全相同的 名称 三视图包括 2 三视图的画法 在画三视图时 重叠的线只画一条 挡住的线要画成 三视图的正视图 侧视图 俯视图分别是从几何体的 方 方 方观察几何体画出的轮廓线 形状 大小 正视图 侧视图 俯视图 虚线 正前 正左 正上 3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用 画法来画 基本步骤是 1 画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴 y轴 两轴相交于点o 画直观图时 把它们画成对应的x 轴 y 轴 两轴相交于点o 且使 x o y 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中长度 平行于y轴的线段 长度 斜二测 45 或135 不变 减半 2 画几何体的高 在已知图形中过o点作z轴垂直于xoy平面 在直观图中对应的z 轴 也垂直于x o y 平面 已知图形中平行于z轴的线段 在直观图中仍平行于z 轴且长度 不变 考点自测 1 思考 给出下列说法 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 一个棱柱至少有5个面 面数最少的一个棱锥有4个顶点 顶点最少的一个棱台有3条侧棱 用斜二测画法画水平放置的 a时 若 a的两边分别平行于x轴和y轴 且 a 90 则在直观图中 a 45 正方体 球 圆锥各自的三视图中 三视图均相同 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形 但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行 如图 该几何体并不是棱柱 错误 尽管几何体满足了一个面是多边形 其余各面都是三角形 但不能保证三角形具有公共顶点 正确 面数最少的棱柱为三棱柱 有5个面 面数最少的棱锥为三棱锥 有4个顶点 顶点最少的棱台为三棱台 有3条侧棱 错误 a应为45 或135 错误 正方体的三视图由于正视的方向不同 其三视图的形状可能不同 圆锥的侧视图与俯视图显然不相同 2 有一个几何体的三视图如图所示 这个几何体应是一个 a 棱台b 棱锥c 棱柱d 都不对 解析 选a 从俯视图来看 上 下底面都是正方形 但大小不一样 可以判断是棱台 3 某几何体的正视图和侧视图均如图所示 则该几何体的俯视图不可能是 解析 选c 依题意 此几何体为组合体 若上下两个几何体均为圆柱 则俯视图为a 若上边的几何体为正四棱柱 下边几何体为圆柱 则俯视图为b 若俯视图为c 则正视图中应有实线或虚线 故该几何体的俯视图不可能是c 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱 下面的几何体为正四棱柱时 俯视图为d 4 如图所示的直观图 其表示的平面图形是 a 正三角形b 锐角三角形c 钝角三角形d 直角三角形 解析 选d 因为bc y 轴 故在原图中平行于y轴 而ac x 轴 在原图中平行于x轴 故bc ac 故三角形的形状为直角三角形 故选d 5 若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示 则其侧面积为 解析 由题意可知 该直三棱柱的底面边长为2 高为1 故s侧面 3 2 1 6 答案 6 6 2013 温州模拟 利用斜二测画法得到的 三角形的直观图一定是三角形 正方形的直观图一定是菱形 等腰梯形的直观图可以是平行四边形 菱形的直观图一定是菱形 以上结论正确的个数是 解析 由斜二测画法的规则可知 正确 错误 是一般的平行四边形 错误 等腰梯形的直观图不可能是平行四边形 而菱形的直观图也不一定是菱形 也错误 答案 1 考点1空间几何体的结构特征 典例1 1 给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 用一个平面去截棱锥 棱锥底面与截面之间的部分是棱台 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则其三个侧面也两两垂直 若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的序号是 a b c d 2 给出下列命题 在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 在圆台的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆台的母线 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 其中正确命题的序号是 a b c d 解题视点 1 根据棱柱 棱锥 棱台的定义及特征进行判断 2 根据圆柱 圆台母线的定义及其相关性质进行判断 规范解答 1 选c 错误 因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形 错误 必须用平行于底面的平面去截棱锥 才能得到棱台 正确 根据面面垂直的判定定理判断 正确 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱 又垂直于底面 正确 如图所示 正方体ac1中的三棱锥c1 abc 四个面都是直角三角形 正确 由棱台的概念可知 因此 正确命题的序号是 2 选d 根据圆柱 圆台的母线的定义和性质可知 只有 是正确的 所以选d 规律方法 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 1 熟悉空间几何体的结构特征 依据条件构建几何模型 在条件不变的情况下 变换模型中的线面关系或增加线 面等基本元素 然后再依据题意判定 2 利用反例对结构特征进行辨析 即要说明某个命题是错误的 只要举出一个反例即可 直棱柱 正棱柱和正棱锥的有关概念 1 直棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 2 正棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 反之 正棱柱的底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧面是矩形 3 正棱锥 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥 特别地 各棱均相等的正三棱锥叫正四面体 反过来 正棱锥的底面是正多边形 且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 变式训练 下列结论正确的是 a 各个面都是三角形的几何体是三棱锥b 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 则此棱锥可能是六棱锥d 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析 选d a错误 如图所示 由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体 各面都是三角形 但它不一定是棱锥 b错误 如图 若 abc不是直角三角形或是直角三角形 但旋转轴不是直角边 所得的几何体都不是圆锥 c错误 若六棱锥的所有棱长都相等 则底面多边形是正六边形 由几何图形知 若以正六边形为底面 侧棱长必然要大于底面边长 加固训练 1 给出下列命题 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心 又是外心的棱锥必是正棱锥 其中正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选a 命题 显然不正确 正棱锥必须具备两点 一是 底面为正多边形 二是 顶点在底面内的射影是底面的中心 命题 缺少第一个条件 命题 缺少第二个条件 而命题 可推出以上两个条件都具备 2 若三棱锥p abc的底面abc是正三角形 则三个侧面的面积相等是三棱锥p abc为正三棱锥的 a 充分必要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 当三棱锥p abc的底面abc是正三角形时 如果该三棱锥又是正三棱锥 则其三个侧面的面积一定相等 但当三个侧面的面积相等时 却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥 3 给出下列三个命题 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 通过圆台侧面上一点 有无数条母线 其中正确命题的序号是 解析 错误 没有说明这两个平行截面与底面的位置关系 当这两个平行截面与底面平行时正确 其他情况则结论是错误的 如图 1 正确 如图 2 错误 通过圆台侧面上一点 只有一条母线 如图 3 答案 考点2空间几何体的三视图 考情 三视图是高考命题的热点 以选择题 填空题的形式出现 主要考查已知几何体 判断三视图 已知几何体三视图中的两个视图 判断第三个视图 由三视图判断几何体等 高频考点通关 典例2 1 2014 金华模拟 将正方体 如图1所示 截去两个三棱锥 得到图2所示的几何体 则该几何体的侧视图为 2 2013 四川高考 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的直观图可以是 解题视点 1 结合原正方体 确定两个关键点b1 d1和两条重要线段ad1和b1c的投影 2 结合三视图进行判断 特别要注意虚线的标注 规范解答 1 选b 图2所示的几何体的侧视图由点a d b1 d1确定外形为正方形 判断的关键是两条对角线ad1和b1c是一实一虚 其中要把ad1和b1c区别开来 故选b 2 选d 根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致 并且俯视图是两个圆 可知只有选项d适合 故选d 通关锦囊 特别提醒 对于简单组合体的三视图 首先要确定正视 侧视 俯视的方向 其次要注意组合体由哪些几何体组成 弄清它们的组成方式 特别应注意它们的交线的位置 区分好实线和虚线的不同 关注题型 通关题组 1 2012 福建高考 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何体不可以是 a 球b 三棱锥c 正方体d 圆柱 解析 选d 圆柱的三视图 分别为矩形 矩形 圆 不可能三个视图都一样 而球的三视图都是圆 三棱锥的三视图可以都是三角形 正方体的三视图可以都是正方形 2 2014 丽水模拟 已知三棱锥的正 主 视图与俯视图如图所示 俯视图是边长为2的正三角形 则该三棱锥的侧 左 视图可能为 解析 选b 由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形 由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面 且其长度为2 故其侧 左 视图为直角边长为2和的直角三角形 3 2011 浙江高考 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 解析 选b 4 2013 长春模拟 一只蚂蚁从正方体abcd a1b1c1d1的顶点a处出发 经正方体的表面 按最短路线爬行到达顶点c1位置 则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图可能是 填上序号 解析 由点a经正方体的表面 按最短路线爬行到达顶点c1位置 共有6种展开方式 若把平面abb1a1和平面bcc1b1展到同一个平面内 在矩形中连接ac1会经过bb1的中点 故此时的正视图为 若把平面abcd和平面cdd1c1展到同一个平面内 在矩形中连接ac1会经过cd的中点 此时正视图会是 其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在 中 答案 加固训练 1 2013 西安模拟 如图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形 且体积为 则该几何体的俯视图可以是 解析 选c 若该几何体的俯视图是选项a 则该几何体的体积为1 不满足题意 若该几何体的俯视图是选项b 则该几何体的体积为 不满足题意 若该几何体的俯视图是选项c 则该几何体的体积为 满足题意 若该几何体的俯视图是选项d 则该几何体的体积为 不满足题意 2 2013 兰州模拟 已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示 正视图和侧视图都是矩形 俯视图为正方形 在该几何体上任意选择4个顶点 它们可能是如下各种几何图形的4个顶点 这些几何图形是 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为直角三角形 有一个面为等腰三角形的四面体 每个面都是等腰三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 a b c d 解析 选a 由三视图知该几何体是底面边长为a 高为b的长方体 任选4个顶点 若这4个点的几何体是平行四边形 则其一定为矩形 故 不可能 其他情形均有可能 如图所示 3 2013 龙岩模拟 如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图 小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数 则该几何体的正视图为 解析 选c 俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数 分析其中的数字 得正视图有3列 从左到右的行数分别是4 3 2 如图 4 2014 泰安模拟 某几何体的三视图如图所示 当xy最大时 该几何体的体积为 解析 如图所示 三视图所表示的立体图形是三棱锥a bcd 从图中可得x2 y2 52 2 32 xy 16 当且仅当 x y 时取 此时x y 4 va bcd 答案 考点3空间几何体的直观图 典例3 1 2013 桂林模拟 已知正三角形abc的边长为a 那么 abc的平面直观图 a b c 的面积为 2 如图 正方形oabc的边长为1cm 它是水平放置的一个平面图形的直观图 则原图形的周长为 解题视点 1 先建立坐标系 然后画出 abc的直观图 a b c 求出 a b c 相关的边 确定其面积 2 按照斜二测画法 将正方形oabc还原为平面图形再求解 规范解答 1 选d 如图 所示的实际图形和直观图 由 可知 a b ab a o c 在图 中作c d a b 于d 则所以s a b c a b c d 2 将直观图还原为平面图形 如图 可知还原后的图形中于是周长为2 3 2 1 8 cm 答案 8cm 互动探究 若本例 1 改为 a1b1c1是边长为a的正三角形 且 a1b1c1是 abc的直观图 则 abc的面积为多少 解析 如图 可知在 a1d1c1中 由正弦定理得所以s abc 易错警示 关注斜二测画法的规则本例第 1 题采用斜二测画法求 a b c 的面积 解题过程中不能正确求出o c 的长 导致这种错误的原因是忽视了在直观图中平行于y 轴的线段长是原图中相应线段长的一半 规律方法 直观图画法的关键与结论 1 关键 在斜二测画法中 要确定关键点及关键线段 平行于x轴的线段平行性不变 长度不变 平行于y轴的线段平行性不变 长度减半 2 结论 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图 其面积与原图形的面积的关系 s直观图 s原图形 变式训练 2013 太原模拟 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 如图所示 abc 45 ab ad 1 dc bc 则这个平面图形的面积为 解析 选b 如图将直观图abcd还原后为直角梯形a bcd 其中a b 2ab 2 bc a d ad 1 所以 加固训练 1 如图所示是水平放置三角形的直观图 d是 abc的bc边中点 ab bc分别与y 轴 x 轴平行 则三条线段ab ad ac中 a 最长的是ab 最短的是acb 最长的是ac 最短的是abc 最长的是ab 最短的是add 最长的是ac 最短的是ad 解析 选b 由条件知 原平面图形中ab bc 从而ab ad ac 2 水平放置的 abc的斜二测直观图如图所示 若a1c1 2 abc的面积为则a1b1的长为 解析 由直观图可知ac bc bc 2b1c1 ac 2 又因为所以则所以a1b12 22 2 2 2 cos45 2 解得a1b1 答案 3 如图所示 梯形a1b1c1d1是一个平面图形abcd的直观图 若a1d1 o1y a1b1 c1d1 a1b1 c1d1 2 a1d1 o1d1 1 请画出原来的平面几何图形的形状 并求原图形的面积 解析 如图 建立直角坐标系xoy 在x轴上截取od o1d1 1 oc o1c1 2 在过点d的y轴的平行线上截取da 2d1a1 2 在过点a的x轴的平行线上截取ab a1b1 2 连接bc 即得到了原图形 由作法可知 原四边形abcd是直角梯形 上 下底长度分别为ab 2 cd 3