131函数的单调性和最大小值

1 3 1单调性与最大 小 值 函数的单调性 班干部要求 1 有责任心 有上进心 团结班里同学2 成绩中上以上 3 能以身作则 4 有一定的组织领导能力 班委成员 1 班长 刘嵘 负责班委全面工作 2 副班长 李林峰 兼任团支书 3 副班长 甘锐 兼任学习委员 4 副班长 彭子轩 兼任生活和劳动委员 5 副班长 陈照荣 兼任纪律委员 6 副班长 温雅欣 兼任宣传和文艺委员 值日班干 星期天 温雅欣 星期一 刘嵘 星期二 李林峰 星期三 彭子轩 星期四 甘锐 星期五 陈照荣 一 引入课题观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 y x 1 1 1 y 问 随x的增大 y的值有什么变化 1 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 f x x 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 2 f x 2x 1 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 上升 增大 下降 减小 3 f x x2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 0 减小 0 增大 对区间I内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 图象在区间I逐渐上升 O 对区间I内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 I f x1 f x2 O M N 任意 区间I内随着x的增大 y也增大 图象在区间I逐渐上升 对区间I内x1 x2 当x1 x2时 有f x1 f x2 x1 x2 都 f x1 f x2 O 设函数y f x 的定义域为D 区间ID 如果对于区间I上的任意 定义 M N 任意 两个自变量的值x1 x2 区间I内随着x的增大 y也增大 图象在区间I逐渐上升 I 那么就说在f x 这个区间上是单调减函数 I称为f x 的单调减区间 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数 x 设函数y f x 的定义域为D 区间ID 如果对于属于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1 x2 设函数y f x 的定义域为D 区间ID 如果对于属于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1 x2 那么就说在f x 这个区间上是单调增函数 I称为f x 的单调区间 增 当x1 x2时 都有f x1 f x2 单调区间 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 必须是对于区间I内的任意两个自变量x1 x2 函数的单调性是相对某个区间而言 不能直接说某函数是增函数或减函数 2 单调性与单调区间如果函数y f x 在某个区间D上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 二 典型例题 例1如图6是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 函数y f x 是增函数还是减函数 练习 判断函数的单调区间 单调递增区间 单调递减区间 3 证明函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 任取x1 x2 D 且x1 x2 作差f x1 f x2 定号 即判断差f x1 f x2 的正负 下结论 即指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 证明 取值 作差 下结论 定号 例2物理学中的玻意定律 k为正常数 告诉我们 对于一定量的气体 当体积V减小时 压强P将增大 试用函数的单调性证明之 证明 f x1 f x2 f x1 f x2 0 f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2 得x1 x2 0 设x1 x2是R上的任意两个实数 且x1 x2 则 探究 P30画出反比例函数的图象 这个函数的定义域是什么 它在定义域I上的单调性怎样 证明你的结论 思考3 反比例函数的单调性 单调区间 证明 设x1 x2 0 且x1 x2 则 f x 在定义域上是减函数吗 减函数 取x1 1 x2 1f 1 1f 1 1 1 1f 1 f 1 例3已知函数在 2 2 上具有单调性 求实数a的取值范围 变式1 若二次函数 在区间 1 上单调递增 求a的取值范围 是定义在R上的单调函数 且的图象过点A 0 2 和B 3 0 1 解不等式 2 求适合的的取值范围 例2 是定义在 1 1 上的单调增函数 解不等式 例2变式 练习 注意 在原函数定义域内讨论函数的单调性 思考与讨论 f x 和g x 都是区间D上的单调函数 那么f x 和g x 四则运算后在该区间D内还具备单调性吗 情况如何 你能证明吗 能举例吗 1 若f x 为增函数 g x 为增函数 则F X f x g x 为增函数 2 若f x 为减函数 g x 为减函数 则F X f x g x 为减函数 3 若f x 为增函数 g x 为减函数 则F X f x g x 为增函数 4 若f x 为减函数 g x 为增函数 则F X f x g x 为减函数 三 归纳小结1 函数的单调性的判定 证明和单调区间的确定 函数的单调性一般是先根据图象判断 再利用定义证明 画函数图象通常借助计算机 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域 单调性的证明一般分五步 取值 作差 变形 定号 下结论2 直接利用初等函数的单调区间 四 作业布置书面作业 课本P39A组 第2题2 选做 证明函数f x x3在 上是增函数 1 3 1单调性与最大 小 值 函数的最大 小 值 画出下列函数的草图 并根据图象解答下列问题 1 说出y f x 的单调区间 以及在各单调区间上的单调性 2 指出图象的最高点或最低点 你是如何理解函数图象最高点的 1 2 1 最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最大值 最大值的几何意义 函数图像上最高点的纵坐标 类比最大值的定义 请你给出最小值的定义 2 最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M 那么 称M是函数y f x 的最小值 例3 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为 h t 4 9t2 14 7t 18 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 由于二次函数的知识 对于h t 4 9t2 14 7t 18 我们有 于是 烟花冲出后1 5秒是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度为29m 例3求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数在区间 2 6 上的两个端点上分别取得最大值和最小值 即在点x 2时取最大值 最大值是2 在x 6时取最小值 最小值为0 4 二 判断函数的最大 小 值的方法 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则函数y f x 在x a处有最小值f a 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数y f x 在x b处有最小值f b 求函数的最值 设f x 是定义在R上的函数 对m n R恒有f m n f m f n 且当x 0时 0 f x 1 1 求证 f 0 1 2 求证 x R时恒有f x 0 3 求证 f x 在R上是减函数 提高练习 例3写出函数的单调区间 并求出最值 例4已知二次函数 1 当时 求的