高三数学一轮复习 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 .ppt

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 知识梳理 1 表示直线方向的两个量 1 直线的倾斜角 定义 相交 x轴 平行 重合 0 范围 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则其斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k tan 2 两直线的平行 垂直与其斜率的关系 k1 k2 k1k2 1 3 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b ax by c 0 a2 b2 0 考点自测 1 思考 给出下列命题 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 当直线l1和l2斜率都存在时 若k1 k2 则l1 l2 在平面直角坐标系下 任何直线都有点斜式方程 任何直线方程都能写成一般形式 其中正确的是 a b c d 解析 选b 正确 直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度 不能确定直线的位置 错误 当直线的倾斜角为90 时 其斜率不存在 错误 当k1 k2时 两直线可能平行 也可能重合 错误 当直线与x轴垂直 斜率不存在 时 不能用点斜式方程表示 正确 无论依据哪种形式求解 最后直线方程都能写成一般形式 2 若方程 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1 0表示一条直线 则参数m满足的条件是 a m b m 0c m 0且m 1d m 1 解析 选d 由得m 1 故当m 1时 方程表示一条直线 3 斜率为2的直线经过a 3 5 b a 7 c 1 b 三点 则a b的值分别为和 解析 由已知条件得解得a 4 解得b 3 答案 4 3 4 若图中直线l1 l2 l3的斜率分别为k1 k2 k3 则k1 k2 k3的大小关系为 解析 由斜率的定义及图象可知 k10 k3 0 再由正切函数的单调性知 k3 k2 因此k1 k3 k2 答案 k1 k3 k2 5 若直线x 2y 5 0与直线2x my 6 0互相垂直 则实数m 思路点拨 利用直线与直线垂直的充要条件 a1a2 b1b2 0来列方程求解 解析 由1 2 2m 0可得m 1 答案 1 考点1直线的倾斜角与斜率 典例1 1 直线x a2 1 y 1 0 a r 的倾斜角的取值范围是 2 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 解题视点 1 先求出斜率 再求倾斜角的范围 2 先确定直线pa pb的斜率 再数形结合求解 或先写出直线l的方程 再依据a b两点在直线l的不同侧 或a b之一在直线l上 求解 规范解答 1 选b 因为直线方程为x a2 1 y 1 0 所以直线的斜率故k 1 0 由正切函数图象知倾斜角 2 方法一 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以 如图所示 因此 直线l的斜率k的取值范围为k 4或或k不存在 方法二 当直线l的斜率k不存在时 方程为x 1 此时符合题意 当直线l的斜率k存在时 依题设知 直线l的方程为y 1 k x 1 即kx y 1 k 0 若直线l与线段ab有交点 则a b两点在直线l的异侧 或a b之一在直线l上 故 2k 4 k 3k 3 k 0 即 k 4 4k 3 0 解得k 4或综合可知 k 4或或k不存在 答案 k 4或或k不存在 互动探究 若本例 2 中的条件 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 改为 直线l过点p 1 1 且与线段ab没有交点 则k的取值范围如何 解析 由本例 2 可知k的取值范围为 规律方法 1 已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 1 求出斜率k的取值范围 若斜率不存在 倾斜角为90 2 利用正切函数的单调性 借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围 2 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 变式训练 1 直线l经过a 2 1 b 1 m2 m r 两点 则直线l的倾斜角 的取值范围是 解析 选c 直线l的斜率k tan 所以 2 直线x sin y 2 0的倾斜角 的取值范围为 解析 因为直线x sin y 2 0的斜率k sin 所以 1 k 1 当0 k 1时 直线倾斜角 的范围为当 1 k 0时 直线倾斜角 的范围为综上可知 该直线倾斜角 的范围是答案 加固训练 1 已知直线l的倾斜角 满足条件sin cos 则l的斜率为 解析 选c 由sin cos 得sin cos 因为0 0 cos 0 所以90 180 联立方程组解得所以tan 2 若直线l与直线y 1 x 7分别交于点p q 且线段pq的中点坐标为 1 1 则直线l的斜率为 解析 选b 依题意 可设p x 1 q 7 y 又因为线段pq的中点坐标为 1 1 所以2 x 7 2 1 y 解得x 5 y 3 所以p 5 1 q 7 3 直线l的斜率为 考点2两条直线平行 垂直的关系 典例2 1 若直线l1 ax 2y 6 0与直线l2 x a 1 y a2 1 0平行 则a 2 2014 台州模拟 已知直线l1 k 3 x 5 k y 1 0与l2 2 k 3 x 2y 3 0垂直 则k的值是 解题视点 1 由两直线的斜率相等 在y轴上的截距不等即可求解 2 由两直线垂直 则两直线的斜率之积等于 1或一条直线的斜率等于0 另一条直线的斜率不存在 求解 本题还可以利用a1a2 b1b2 0来解决 规范解答 1 直线l1 ax 2y 6 0的斜率为在y轴上的截距为3 又因为直线l1与直线l2平行 所以直线l2 x a 1 y a2 1 0的斜率存在且等于在y轴上的截距为 a 1 由两直线平行得 且3 a 1 解得a 2或a 1 答案 2或 1 2 方法一 当5 k 0 即k 5时 l1 2x 1 0 l2 4x 2y 3 0 此时l1与l2不垂直 当5 k 0时 k1 k2 k 3 因为l1 l2 所以 k 3 1 解得 k 1或k 4 综上可知k 1或k 4 方法二 因为直线l1 k 3 x 5 k y 1 0与直线l2 2 k 3 x 2y 3 0互相垂直 所以 k 3 2 k 3 5 k 2 0 解上式得 k 1或k 4 答案 1或4 易错警示 由垂直求参数的易错点两直线垂直时 两直线斜率的积等于 1或一条直线的斜率等于0 另一条直线的斜率不存在 解题时容易忽视第二种情况 规律方法 两直线平行 垂直的判定方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 提醒 当直线斜率不确定时 要注意斜率不存在的情况 2 已知两直线的一般方程 两直线方程l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0中系数a1 b1 c1 a2 b2 c2与垂直 平行的关系 a1a2 b1b2 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 l1 l2 变式训练 1 直线l1的斜率为2 l1 l2 直线l2过点 1 1 且与y轴交于点p 则点p的坐标为 a 3 0 b 3 0 c 0 3 d 0 3 解析 选d 因为l1 l2 且l1的斜率为2 所以l2的斜率为2 又因为l2过点 1 1 所以l2的方程为 y 1 2 x 1 即y 2x 3 令x 0得y 3 所以点p的坐标为 0 3 2 已知直线l的倾斜角为直线l1经过点a 3 2 b a 1 且l1与l垂直 直线l2 2x by 1 0与直线l1平行 则a b等于 a 4b 2c 0d 2 解析 选b 依题意得l的斜率为 1 因为l1与l垂直 所以l1的斜率为1 又因为直线l1经过点a 3 2 b a 1 所以kab 解得 a 0 由直线l2与直线l1平行 得b 2 所以a b 2 加固训练 已知两直线l1 mx 8y n 0和l2 2x my 1 0 试确定m n的值 使 1 l1与l2相交于点p m 1 2 l1 l2 3 l1 l2 且l1在y轴上的截距为 1 解析 1 由题意得解得即m 1 n 7时 l1与l2相交于点p m 1 2 因为l1 l2 所以解得或即m 4 n 2或m 4 n 2时 l1 l2 3 当且仅当2m 8m 0 即m 0时 l1 l2 又因为 1 所以n 8 即m 0 n 8时l1 l2 且l1在y轴上的截距为 1 考点3直线的方程 考情 直线方程常与直线垂直 平行 距离等知识交汇考查 考查直线方程的求法以及直线与它们的位置关系等 典例3 1 2014 宁波模拟 已知直线l过点 1 2 且与直线垂直 则直线l的方程是 a 3x 2y 1 0b 3x 2y 7 0c 2x 3y 5 0d 2x 3y 8 0 高频考点通关 2 2014 舟山模拟 直线l经过点p 3 2 且与x y轴的正半轴交于a a 0 b 0 b 两点 当 aob的面积最小 o为坐标原点 时 求直线l的方程 解题视点 1 由两直线垂直可设出所求直线方程 再由直线过点 1 2 即可确定直线方程 2 可设直线方程的截距式 由过点p 3 2 求出关于a b的等式 利用基本不等式求解 也可以用a表示b 由面积解析式结合基本不等式求解 规范解答 1 选a 设与直线垂直的直线l的方程为3x 2y m 0 把点 1 2 代入可得 3 4 m 0 所以m 1 故所求的直线方程为3x 2y 1 0 2 方法一 设直线方程为点p 3 2 代入得得ab 24 从而当且仅当时等号成立 这时则所求直线方程为2x 3y 12 0 方法二 由题意设直线方程为把点p 3 2 代入得解得则当且仅当即a 6时等号成立 这时b 4 从而所求直线方程为即2x 3y 12 0 通关锦囊 特别提醒 求直线方程时 要注意直线的斜率不存在的情况或斜率为零的情况 通关题组 1 2014 温州模拟 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0垂直的直线方程是 a 2x y 2 0b x 2y 1 0c x 2y 1 0d 2x y 1 0 解析 选a 因为所求直线与直线x 2y 2 0垂直 所以可设所求直线为2x y c 0 又因为直线过点 1 0 所以2 1 0 c 0 c 2 因此 所求直线为2x y 2 0 2 2014 嘉兴模拟 已知a 1 1 b 3 1 c 1 3 则 abc的边bc上的高所在直线方程为 a x y 0b x y 2 0c x y 2 0d x y 0 解析 选b 因为b 3 1 c 1 3 所以故bc边上的高所在直线的斜率k 1 又高线经过点a 所以其直线方程为x y 2 0 3 2014 杭州模拟 在同一直角坐标系中 表示直线y ax与y x a正确的是 解析 选c 直线y ax的斜率与直线y x a在y轴上的截距同号 且y x a斜率为1 故选c 4 2014 台州模拟 直线ax by c 0同时要经过第一 二 四象限 则a b c应满足 a ab 0 bc0 bc 0c ab0d ab 0 bc 0 解析 选a 直线方程变形为如图 因为直线同时要经过第一 二 四象限 所以所以 5 2014 长沙模拟 已知a 3 0 b 0 4 直线ab上一动点p x y 则xy的最大值是 解析 直线ab的方程为则所以答案 3 加固训练 1 2013 兰州模拟 已知点a 1 2 b m 2 且线段ab的垂直平分线的方程是x 2y 2 0 则实数m的值是 a 2b 7c 3d 1 解析 选c 由已知ab的垂直平分线方程为x 2y 2 0 所以kab 2 即得m 3 2 2013 银川模拟 经过点p 1 4 的直线在两坐标轴上的截距都是正值 且截距之和最小 则直线的方程为 a x 2y 6 0b 2x y 6 0c x 2y 7 0d x 2y 7 0 解析 选b 设直线的方程为则有所以当且仅当即a 3 b 6时取 所以直线方程为2x y 6 0 3 2013 烟台模拟 直线ax by 1 0在y轴上的截距是 1 而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍 则 a b 1b b 1c b 1d b 1 解析 选b 将直线ax by 1 0化成斜截式因为所以b 1 故排除a d 设的倾斜角为 则所以 60 又所求直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍 故倾斜角为120 解得排除c 4 2013 贵阳模拟 已知射线l y 4x x 1 和点m 6 4 在射线l上求一点n 使直线mn与l及x轴围成的三角形面积s最小 解析 设n x0 4x0 x0 1 则直线mn的方程为 4x0 4 x 6 x0 6 y 4 0 令y 0得所以s 当且仅当即x0 2时取等号 所以当n为 2 8 时 三角形面积s最小 易错误区17 由直线位置关系求参数问题的易错点 典例 2013 辽宁高考 已知点o 0 0 a 0 b b a a3 若 oab为直角三角形 则必有 解析 选c 由题意 点o 0 0 a 0 b b a a3 不能共线 故a 0 从而点b a a3 不在坐标轴上 当点a 0 b 为直角顶点时 oa ab 此时b a3 当点b a a3 为直角顶点时 ob ab 此时由o 0 0 a 0 b b a a3 得 a a3 a a3 b a2 a3 a3 b 0 化简得综上可知 b a3或b a3 故 b a3 b a3 0 误区警示 1 处未考虑a b哪个为直角顶点 只选择其一 未进行分类讨论 则会造成漏解 2 处对以上的讨论分不清是 或 还是 且 易造成误选 规避策略 1 对于三角形为直角三角形的问题 若直角不确定 应分情况依次讨论 最后求其并集即可 2 在分类讨论求解 最后写出所有情况时 一定要依具体问题写出最后结果 注意是并集还是交集 类题试解 已知直线l1 3x 2ay 5 0 l2 3a 1 x ay 2 0 则使l1 l2的a的值为 解析 当直线斜率均不存在 即a 0时 有l1 3x 5 0 l2 x 2 0 符合l1 l2 当直线斜率存在时 因为l1 l2 所以解得 综上可知 使l1 l2的a的值为0或答案 0或 创新体验 以直线为载体的创新问题 典例 2013 四川高考 设p1 p2 pn为平面 内的n个点 在平面 内的所有点中 若点p到点p1 p2 pn的距离之和最小 则称点p为点p1 p2 pn的一个 中位点 例如 线段ab上的任意点都是端点a b的中位点 现有下列命题 若三个点a b c共线 c在线ab上 则c是a b c的中位点 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点 若四个点a b c d共线 则它们的中位点存在且唯一 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 其中的真命题