高考数学总复习 第二章 第三节函数的奇偶性与周期性课件 理.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 了解函数的周期性 3 会运用函数图象理解和研究函数的性质 课前自修 知识梳理 一 函数的奇偶性1 函数的奇偶性的定义 对于函数f x 其定义域d关于原点对称 如果 x d 恒有 那么函数f x 为奇函数 如果 x d 恒有 那么函数f x 为偶函数 2 奇偶函数的性质 1 定义域关于原点对称 2 偶函数的图象关于 轴对称 奇函数的图象关于 对称 3 奇函数在对称区间的增减性 偶函数在对称区间的增减性 f x f x f x f x y 原点 相同 相反 3 若f x 为偶函数 则f x f x f x 反之 也成立 4 若奇函数f x 的定义域包含0 则f 0 0 5 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式 在定义域关于原点对称的情况下 1 若f x f x 0或 1 f x 0 则f x 为偶函数 2 若f x f x 0或 1 f x 0 则f x 为奇函数 6 设f x g x 的定义域分别是d1 d2 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 奇 二 函数的周期性1 周期函数定义 若t为非零常数 对于定义域内的任一x 使得f x t f x 恒成立 则f x 叫做 t叫做这个函数的 2 周期函数的性质 1 若t是函数f x 的一个周期 则kt k z k 0 也是它的一个周期 2 f x t f x 常写作f f 3 若f x 的周期中 存在一个最小的正数 则称它为f x 的最小正周期 4 若周期函数f x 的周期为t 则f x 0 也是周期函数 且周期为 一个周期 周期函数 基础自测 1 2012 佛山市一模 下列函数中既是奇函数 又在区间 1 1 上是增函数的为 a y x b y sinxc y ex e xd y x3 解析 选项a c中的函数为偶函数 排除a c 选项d中的函数在r上为减函数 排除d 故选b 答案 b 2 2012 大连市双基测试 定义在r上的函数f x 在 3 上单调递减 且f x 3 是偶函数 则下列不等式正确的是 a f 3 f 4 f 1 b f 1 f 3 f 4 c f 3 f 1 f 4 d f 4 f 3 f 1 解析 函数f x 3 的对称轴为y轴 则函数f x 的对称轴为x 3 所以f 1 f 5 又f x 在 3 上单调递减 所以f 3 f 4 f 5 即f 3 f 4 f 1 故选a 答案 a 3 2012 南京市模拟 若f x a是奇函数 则a 4 2012 上海卷 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 解析 y f x x2为奇函数 f x x2 f x x2 f x f x 2x2 g 1 f 1 2 f 1 2 2 f 1 1 答案 1 考点探究 考点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列各函数的奇偶性 思路点拨 确定函数的奇偶性时 必须先判定函数定义域是否关于原点对称 若对称 再验证f x f x 或其等价形式f x f x 0是否成立 自主解答 f x 为偶函数 3 所给函数的定义域为 0 0 它关于原点对称 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上所述 对任意的x 0 0 都有f x f x 故f x 为奇函数 点评 定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性 即是奇函数或偶函数 的必要条件 变式探究 1 2012 广东六校联考 函数f x log2的图象 a 关于原点对称b 关于直线y x对称c 关于y轴对称d 关于直线y x对称 解析 由 0得 1 x 1 定义域关于原点对称 又f x f x lg lg lg1 0 所以函数f x 为奇函数 图象关于原点对称 故选a 答案 a 考点二 奇 偶 函数性质的应用 例2 1 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值为 2 2012 深圳市调研改编 奇函数f x sinx 其中常数a r 的定义域为 思路点拨 利用奇偶函数的定义域关于原点对称和奇偶函数的定义解题 变式探究 2 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 a 3b 1c 1d 3 a 考点三 函数奇偶性 单调性的综合应用 例3 设a为实数 函数f x x2 x a 1 x r 1 讨论f x 的奇偶性 2 求f x 的最小值 解析 1 当a 0时 f x x 2 x 1 f x 此时f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a 且f a f a 函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 变式探究 3 设f x 是周期为2的奇函数 当0 x 1时 f x 2x 1 x 则 a b c d 解析 1 f x 是周期为2的奇函数 又当0 x 1时 f x 2x 1 x 考点四 周期函数的定义及性质的应用 变式探究 4 2012 岳阳市模拟 已知定义在r上的函数f x 满足f x f 且f 2 f 1 1 f 0 2 则f 1 f 2 f 2011 f 2012 a 2b 1c 0d 1 解析 由题意得 f x 是以3为周期的周期函数 f 1 f 3 2 f 2 1 f 2 f 3 1 f 1 1 f 3 f 3 0 f 0 2 f 1 f 2 f 3 1 1 2 0 f 1 f 2 f 3 f 2011 f 2012 670 f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 2 故选a 答案 a 考点五 函数的周期性 奇偶性 单调性的综合应用 例5 已知函数y f x 是定义在r上的周期函数 周期t 5 函数y f x 1 x 1 是奇函数 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在x 2时函数取得最小值 5 1 证明 f 1 f 4 0 2 求y f x x 1 4 的解析式 3 求y f x 在 4 9 上的解析式 1 证明 f x 是以5为周期的周期函数 f 4 f 4 5 f 1 又 y f x 1 x 1 是奇函数 f 1 f 1 f 4 f 1 f 4 0 2 解析 当x 1 4 时 由题意可设f x a x 2 2 5 a 0 由f 1 f 4 0得a 1 2 2 5 a 4 2 2 5 0 a 2 f x 2 x 2 2 5 1 x 4 3 解析 y f x 1 x 1 是奇函数 f 0 0 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 可设f x kx 0 x 1 而f 1 2 1 2 2 5 3 k 3 当0 x 1时 f x 3x 从而当 1 x 0时 f x f x 3x 故 1 x 1时 f x 3x 又 当4 x 6时 有 1 x 5 1 f x f x 5 3 x 5 3x 15 当6 x 9时 1 x 5 4 f x f x 5 2 x 5 2 2 5 2 x 7 2 5 f x 变式探究 5 2012 惠州市调研 已知f x 是定义在r上的奇函数 且f x 4 f x 当x 0 2 时 f x x 2 则f 7 a 3b 3c 1d 1 解析 依题意可得f 7 f 3 4 f 3 f 1 4 f 1 f 1 1 2 3 故选a 答案 a 6 2012 桂林市模拟 已知函数f x 是定义域为r的偶函数 且f x 2 f x 若f x 在上是减函数 那么f x 在上是 a 增函数b 减函数c 先增后减的函数d 先减后增的函数 a 课时升华 1 解答有关函数的奇偶性问题的方法与技巧 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 因此确定函数的奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶性 定义法 利用函数奇偶性定义的等价形式 f x f x 0或 图象法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 3 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 若f x 为偶函数 则f x f x f x 若奇函数f x 定义域中含有0 则必有f 0 0 故f 0 0是f x 为奇函数的既不充分也不必要条件 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函数的和 或差 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 既奇又偶的函数有无穷多个 如f x 0 定义域是关于原点对称的任意一个数集 2 有关函数的周期性的一些结论 1 若t是函数f x 的周期 则kt k z k 0 也是f x 的周期 若未特别说明 一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 2 类比 三角函数图象 得 若y f x 的图象有两条对称轴x a x b a b 则y f x 必是周期函数 且一周期为t 2 a b 若y f x 的图象有两个对称中心a a 0 b b 0 a b 则y f x 是周期函数 且一周期为t 2 a b 如果函数y f x 的图象有一个对称中心a a 0 和一条对称轴x b a b 则函数y f x 必是周期函数 且一周期为t 4 a b 3 由周期函数的定义 函数f x 满足f x f a x a 0 则f x 是周期为a的周期函数 得 函数f x 满足 f x f a x 则f x 是周期为2a的周期函数 若f x a a 0 恒成立 则f x 是周期函数 且t 2a 若f x a a 0 恒成立 则f x 是周期函数 且t 2a 感悟高考 品味高考 2 2012 重庆卷 已知f x 是定义在r上的偶函数 且以2为周期 则 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的 a 既不充分也不必要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 充要条件 解析 因为f x 为偶函数 所以若f x 在 0 1 上是增函数 则f x 在 1 0 上为减函数 又函数f x 的周期是4 所以在区间 3 4 也为减函数 若f x 在区间 3 4 为减函数 根据函数的周期性可知 f x 在 1 0 上为减函数 又函数f x 为偶函数 根据对称性可知 f x 在 0 1 上是增函数 综上可知 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为区间 3 4 上的减函数 成立的充要条件 故选d 答案 d 3 2012 山东卷 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2012 a 335b 338c 1678d 2012 解析 由f x 6 f x 可知 函数的周期为6 所以f 3 f 3 1 f 2 f 4 0 f 1 f 5 1 f 0 f 6 0 f 1 1 f 2 2 所以在一个周期内有f 1 f 2 f 6 1 2 1 0 1 0 1 所