高考数学 第二章 第四节二次函数课件 理.ppt

第四节二次函数 1 二次函数的定义形如 f x 的函数叫做二次函数 其解析式我们称为 另外还有 1 f x a x h 2 k a 0 其中顶点坐标为 2 两根式 f x a 0 其中x1 x2为相应一元二次方程的两根 ax2 bx c a 0 一般式 顶点式 h k a x x1 x x2 即时应用 1 判断下列函数是否为二次函数 请在括号中填写 是 或 否 y y x4 x2 y x y 1 3x x2 y 2 x 1 2 3 2 若二次函数的图象的最高点为 1 3 且过点 0 4 则其解析式为 3 已知抛物线与x轴交于点a 1 0 b 1 0 并经过点m 0 1 则抛物线的解析式为 解析 1 根据二次函数y ax2 bx c a 0 的定义知 均是二次函数 均不是二次函数 2 设y a x 1 2 3 又过点 0 4 4 a 0 1 2 3 解得a 1 y x 1 2 3 x2 2x 4 3 点a 1 0 b 1 0 是抛物线与x轴的交点 设抛物线的解析式为y a x 1 x 1 将m 0 1 代入 得1 a 即a 1 y x 1 x 1 x2 1 答案 1 否 否 否 是 是 2 y x2 2x 4 3 y x2 1 2 二次函数的图象与性质 r r b 0 x 即时应用 1 二次函数y 2x2 4x 5的对称轴为 顶点坐标为 2 已知函数f x 3x2 12x 5 当x 0 3 时 f x min f x max 3 函数f x x2 4ax 2在 6 内递减 则a的取值范围是 4 已知函数y x2 bx c为偶函数 则函数y cx b 1必过定点 解析 2 f x 3 x 2 2 7 f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 f x min f 2 7 f x max f 0 5 3 由已知得 6 a 3 4 由已知得 b 0 函数y cx b 1 cx 1 过定点 0 1 答案 1 x 1 1 3 2 75 3 a 3 4 0 1 热点考向1求二次函数的解析式 方法点睛 求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 例1 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且图象在y轴上的截距为1 在x轴上截得的线段长为2 求f x 的解析式 解题指南 二次函数f x 满足f x t f t x 则其对称轴方程为x t 图象在x轴上截得的线段长度公式为 x1 x2 本题可设f x 的一般式 亦可设顶点式 规范解答 设f x 的两零点分别为x1 x2 方法一 f x ax2 bx c 则由题知 c 1 且对称轴为x 2 2 即b 4a f x ax2 4ax 1 x1 x2 b 4a 2 函数f x 的解析式为f x x2 2x 1 方法二 f x 2 f x 2 二次函数f x 的对称轴为x 2 设f x a x 2 2 b 且f 0 1 4a b 1 f x a x 2 2 1 4a ax2 4ax 1 x1 x2 b 1 f x x2 2x 1 反思 感悟 用待定系数法求二次函数的解析式 1 设一般式是通法 2 已知顶点 对称轴或最值 往往设顶点式 3 已知图象与x轴的两交点 往往设两根式 若选用形式不当 引入的待定系数过多 会加大运算量 变式训练 2012 龙岩模拟 二次函数f x 满足f x 1 f x 2x f 0 1 1 求f x 的解析式 2 在区间 1 1 上 y f x 的图象恒在y 2x m的图象上方 求实数m的范围 解析 1 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 1得c 1 故f x ax2 bx 1 因为f x 1 f x 2x 所以a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即2ax a b 2x 所以 解得 从而f x x2 x 1 2 由题意得x2 x 1 2x m在 1 1 上恒成立 即x2 3x 1 m 0在 1 1 上恒成立 设g x x2 3x 1 m 其图象对称轴为直线x 所以g x 在 1 1 上递减 故只需g 1 0 即1 3 1 1 m 0 解得m 1 变式备选 已知二次函数f x 同时满足条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根立方和等于17 求f x 的解析式 解析 依条件 设f x a x 1 2 15 a 0 即f x ax2 2ax a 15 令f x 0 即ax2 2ax a 15 0 设两根为x1 x2 则x1 x2 2 x1x2 1 而 x1 x2 3 3x1x2 x1 x2 23 3 2 1 2 2 17 则a 6 f x 6x2 12x 9 热点考向2二次函数的图象与性质的应用 方法点睛 1 求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解 在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值 2 二次函数的单调性问题的解法主要根据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 提醒 配方法是解决二次函数最值问题的常用方法 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系 例2 1 2013 福州模拟 已知函数则对任意x1 x2 r 若00 c f x1 f x2 0 d f x1 f x2 0 2 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 当a 2时 求f x 的最值 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 当a 1时 求f x 的单调区间 规范解答 1 选d 函数f x 的图象如图所示 由图象提供的信息及函数的解析式知f x 是偶函数 且f x min f 0 1 x2 x1 0 f x2 f x1 即f x1 f x2 0 2 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 函数f x x2 2ax 3的对称轴为 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 当a 1时 f x x2 2 x 3 其图象如图所示 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 互动探究 若将本例 2 中单调变为不单调 则结果如何 解析 需 4 a 6 解得 6 a 4 变式备选 已知f x x2 3x 5 x t t 1 若f x 的最小值为h t 写出h t 的解析式 求h t 的最小值 解析 f x x2 3x 5的对称轴为x 当t 1 即t 时 h t f t 1 t 1 2 3 t 1 5 t2 5t 1 t 当t t 1 即 t 时 h t f 2 3 5 t 当t 时 h t f t t2 3t 5 t 综上可知 h t 当t 时 h t t2 5t 1 2 5 1 当 t 时 h t 当t 时 h t t2 3t 5 2 3 5 即对于任意的实数t恒有h t 即h t 有最小值 热点考向3二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的综合问题 方法点睛 1 一元二次方程根的分布问题的求解策略在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四个方面分析 2 与一元二次不等式相关问题的求解技巧在研究一元二次不等式的有关问题时 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 例3 设函数f x ax2 2x 2 对于满足1 x 4的一切x值都有f x 0 求实数a的取值范围 解题指南 解答本题可以有两条途径 1 分a 0 a 0 a 0三种情况 求出f x 在 1 4 上的最小值f x min 再令f x min 0 从而求出a的取值范围 2 将参数a分离得a 然后求g x 的最大值即可 规范解答 方法一 当a 0时 f x a x 2 2 由f x 0 x 1 4 得 或或 或或 a 1或 a 1或 即a 当a 0时 解得a 当a 0时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 不合题意 综上可得 实数a的取值范围是a 方法二 由f x 0 即ax2 2x 2 0 x 1 4 得a 在 1 4 上恒成立 令g x 1 g x max g 2 所以要使f x 0在 1 4 上恒成立 只要a 即可 反思 感悟 1 一元二次不等式的求解 恒成立问题及一元二次方程根的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解 但要注意讨论及考虑全面 2 关于不等式的恒成立问题 能用分离参数法 尽量用 因为该法可以避开频繁地对参数的讨论 变式训练 若定义在r上的二次函数f x ax2 4ax b在区间 0 2 上是增函数 且f m f 0 则实数m的取值范围是 a 0 m 4 b 0 m 2 c m 0 d m 0或m 4 解析 选a f x a x 2 2 b 4a 对称轴为x 2 由已知得a 0 结合二次函数图象知 要使f m f 0 需满足0 m 4 1 2013 三明模拟 设b 0 二次函数y ax2 bx a2 1的图象为下列之一 则a的值为 a 1 b 1 c d 解析 选b 结合图象可知是 由 0 f 0 a2 1 0 解得a 1或1 舍 2 2013 厦门模拟 已知函数f x 2x2 mx 3 当x 2 时是增函数 当x 2 时是减函数 则f 1 a 13 b 3 c 7 d 由m值而定 解析 选a f x 在 2 上为减函数 在 2 上是增函数 f x 的对称轴x 2 m 8 f 1 2 m 3 13 3 2013 漳州模拟 函数y ax2 bx与y ab 0 a b 在同一直角坐标系中的图象可能是 解析 选d 在a中由抛物线的开口向上得到a 0 由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足0 1 不能得到 1 a不正确 在b中由抛物线的开口向下得到a1 b不正确 在c中由抛物线的开口向下得到a 0 由抛 物线与x轴的另一