《解三角形的应用》PPT课件.ppt

第八节解三角形的应用 第三章三角函数与解三角形 考纲要求 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 课前自修 知识梳理 一 实际问题中的相关术语 名称1 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角 如图 1 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 西偏北60 等 3 仰角与俯角 指视线与水平线的夹角 视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 如图 2 3 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 3 角 为坡角 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 二 正 余弦定理可以解决的实际问题距离或宽度 有障碍物 高度 底部或顶部不能到达 角度 航海或航空定位 面积等 基础自测 1 如右图 为了测量隧道口AB的长度 给定下列四组数据 测量时应当用数据 A a bB a b C aD b 解析 由于A与B不可到达 故不易测量 而a b 容易测出 故选B 答案 B 2 如图所示 为测量一棵树的高度 在地面上选取A B两点 从A B两点分别测得树尖的仰角为30 45 且A B两点之间的距离为60m 则树的高度h为 A 15 3 mB 30 15 mC 30 30 mD 15 30 m 3 2012 杭州市模拟 如图 测量河对岸的塔高AB时 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 测得 BCD 75 BDC 60 CD 30m 并在点C测得塔顶A的仰角为60 则塔高AB m 4 如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离等于akm 灯塔A在观察站C的北偏东20 灯塔B在观察站C的南偏东40 则灯塔A与灯塔B的距离为 考点探究 考点一 高度问题 例1 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 沿BE方向前进30m至点C处 测得顶端A的仰角为2 再继续前进10m至点D处 测得顶端A的仰角为4 求 的大小和建筑物AE的高度 思路点拨 根据几个已知的仰角 把其他几个角表示出来 设AE h 可以在三个直角三角形和两个斜三角形中解决问题 因此方法较多 自主解答 点评 高度的测量借助于两个或者多个三角形进行 基本思想是把测量的高所在线段纳入到一个 或两个 可解三角形中 测量底部不可到达的物体的高度 通常在基线上选取两个观测点 在同一平面内至少测量三个数据 角边角 解两个三角形 运用解方程思想解决问题 变式探究 1 从某电视塔的正东方向A处 测得塔顶仰角是60 从电视塔的西偏南30 的B处 测得塔顶仰角为45 A B间的距离是35m 则此电视塔的高度 m 结果保留根号 考点二 距离问题 例2 某市电力部门在抗洪救灾的某项重建工程中 需要在A B两地之间架设高压电线 因地理条件限制 不能直接测量A B两地距离 现测量人员在相距km的C D两地 假设A B C D在同一平面上 测得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 如图 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因 实际所须电线长度大约应该是A B距离的倍 问 施工单位至少应该准备多长的电线 思路点拨 连接AB 这样 所求线段就在 ABC和 ABD中 再依据题设条件求出这两个三角形中的某一个三角形的两条边 就可以使用余弦定理求得AB的距离 自主解答 点评 距离的测量问题 关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中 若三角形可解 则至少要知道这个三角形的一条边长 本题中把测量目标纳入到 ABC或者 ABD皆可 再通过 ACD和 BCD求出边长 这样 再利用余弦定理就可以解决问题 变式探究 2 如图 甲船以每小时30海里的速度向正北方航行 乙船按固定方向匀速直线航行 当甲船位于A1处时 乙船位于甲船的北偏西105 方向的B1处 此时两船相距20海里 当甲船航行20分钟到达A2处时 乙船航行到甲船的北偏西120 方向的B2处 此时两船相距10海里 问 乙船每小时航行多少海里 考点三 角度问题 例3 2011 北京市海淀区模拟 如图 当甲船位于A处时获悉 在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西30 相距10海里C处的乙船 试问 乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援 角度精确到1 参考数据 sin41 sin15 变式探究 3 在海岸A处 发现北偏东45 方向 距离A处 1 海里的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 方向 距离A处2海里的C处的缉私船奉命以每小时10海里的速度追截走私船 此时 走私船正以每小时10海里的速度从B处向北偏东30 方向逃窜 问 缉私船沿什么方向能最快追上走私船 课时升华 应用正弦定理 余弦定理解三角形的应用题的一般步骤 1 分析 审题 理解题意 分清已知与未知 根据题意作出示意图 2 建模 确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素 列方程 组 3 求解 选择正弦 余弦定理及面积公式等有序地解出三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 感悟高考 品味高考 1 2011 上海卷 在相距2千米的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为 千米 2 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口O北偏西30 且与该港口相距20海里的A处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 高考预测 1 2012 韶关市调研 为了在一条河上建一座桥 施工前在河两岸打上两个桥位桩A B 如图 要测算A B两点的距离 测量人员在岸边定出基线BC 测得BC 50m ABC 105 BCA 45 就可以计算出A B两点的距离为 A 50mB 50mC 25mD m 2 已知A船在灯塔C北偏东80 处 且A船到灯塔C的距离为2km B船在灯塔C北偏西40 处 A B两船间的距离为3km 则B船到灯塔C的距离为 km 解析 如图