路灯的优化设计.doc

数学建模路灯的优化设计时间:摘要 在日常生活中，我们常常遇到路灯照明的问题，如果合理安排路灯的高度和亮度，在保证公路照明的情况下又能俭省安装的费用。为了达到上面的要求，需要对路灯的进行优化设计。此类问题的模型，一般都是单变量最优化问题，即是路灯的功率和高度确定的情况下找到路面上一点使在该点的照度最大（小）。但也可能是多变量最优化问题，即是路灯的功率确定，但是高度不确定，在此种情况下在路面上照到一点使该点的照度最大。该模型涉及的量有灯的功率，灯距地面的高度，每两盏灯之间的距离，地面上确定一点的位置。求解方法一般用普通的最优化求解方法，即是微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。所求的结果可以是（在单变量下）路面上一点的位置（坐标值），在该点照度最大（或最小）；也可以是（在多变量下）路灯的高度和在高度下路面上一点的位置。一、问题提出研究由两盏路灯照明的一条水平的道路上，1、两盏路灯间水平道路上具有最小（大）照明强度的点；2、设想两盏路灯的亮度分别为2000W和3000W，路灯的高度分别为5m和6m，两路灯间的水平距离为20m,求出最小（大）照明强度的点；3、改变一盏路灯的高度，以极大化照明强度；4、调整光源的高度，使最小照明强度的点的照明强度达到最大。几何模型如下：下图研究由两盏路灯照明的一条水平的道路，其中Pi是路灯的亮度，hi是灯的高度。两盏路灯的坐标分别是（0，h1）和（s，h2），其中s是两灯之间的水平距离。令X=(x，0)是两灯之间道路上的一个点。下图给出了该问题的一个示意图。XOh1YP1r1r2P2h2sxs-xX21图1 路灯照明示意图二、模型假设假设1：路灯为点光源。假设2：路灯照到路面时没有反射，并且空气对灯发出的光没有折射和反射。假设3：两盏路灯的光线相交时没有干涉现象。假设4：忽略发光效率，既灯消耗的电能全部转化为光能，无热能。假设5：两灯的灯光只影响其水平距离之间的路面，对以外的路面无光照影响。三、符号说明符号P1P2h1h2E1E2意义第一盏灯的光强度第二盏灯的光强度第一盏灯的高度第二盏灯的高度灯1在点x处的照度灯2在点x处的照度符号sxr1r2a1a2意义两灯之间的水平距离两灯之间路面上的一个点的横坐标灯1离点x的距离灯2离点x的距离r1与水平面的夹角r2与水平面的夹角四、问题分析（1）对于问题1，只要我们建立了照度的公式，然后用微积分中的函数极值问题求解即可。照度的公式参照物理学上光学部分的知识，照度公式为：E=Psina/r2,两盏灯在路面上一点的照度既为每盏灯的照度的叠加。于是可以得到路面上一点x的照度为E= P1sina1/r12+ P2sina2/r22，根据几何关系可以确定，,，于是得到照度的方程为：在第一问中此方程仅含变量变量x，对E（x）求导，可以求得极大值和极小值。（2）问题2就是在一问下给出具体的数值，算出极大和极小值即可。（3）问题3的变量不仅有x，还有高度h1（或h2），属于二元函数求极值的问题。应用高等数学偏导数的知识，可以求出极值。（4）问题4所涉及的变量有三个（x，h1，h2），属于三元函数求极值的问题，求解方法仍然可以用高度数学多元函数求极值的方法，利用偏导数求解出极值。综上所设计到的知识最主要的是多元函数极值求解方法。五、模型建立经过分析，建立如下模型：，求:(1)minE(x)(或maxE(x); (2)maxE(x,h2)（或maxE(x，h1)）;(3)max(minE(x,h1,h2).其中（0xs，h10,h20,P10 P20）.六、模型求解（1）E（x）= ，令=0，求解方程可以得到一个极值点x的值。此时的x是关于P1，P2，s,h1,h2的函数。我们令两组值，得到下列两组图象： (P1=P2=2000,h1=h2=3,s=30) (P1=3000，P2=2000,h1=6,h2=10,s=40)图象的特征是在0到s之间找得到一点，使E（x）最小，所以=0的点是极小值。在该点的照度最小。（2）令P1=2000,P2=3000,s=20,h1=5,h2=6,求当=0时x的值。将数值带入=0中，求得x=（0.028，9.34，19.98）三个值时，=0，对应的E=（81.98，18.24，84.48），故最小照度的点为x=9.34，最小照度minE（x）=18.24。相应的图象如下图：（3）在第2问下改变一盏灯的高度，比如改变h2的值，对于每个h2，都能求得一具体的点为照度最小点（设为xm（h2）。假使有一个h2（设为h2m）使得在该h2m下对应的照度最小点xm（h2m）的照度最大。求出该h2m，进而求出maxE(x,h2).此时函数E(x,h2)=,求驻点：，可以得到：，由方程可以得到：P2( 20 - xm)2 - 2h2m2 = 0,可以得,a2=35.260 ,将方程带入函数E(x,h2)中，求出x=（0.03，9.5），h2=（14.12，7.42），E（x，h2）=（82.89，18.56），经求解，当h2=14.12时，在点x=0.03处有最大照度为82.89。相应的图象如下图：（5）在第二问下，改变两盏灯的高度h1和h2，使照度函数最大。最亮的最低照明点设为xm, 与它对应的点光源的高度为h1m和h2m，这三个量xm、h1m、h2m是照度函数的E（x，h1，h2）的驻点。此时E（x，h1，h2）=，计算，同3问可以得,带入方程= ，得到方程解得x=9.33，于是解得h1=6.6，h2=7.54。max（minE（x，h1，h2）=18.99。六、敏感性分析（1）由于地面不可能绝对平整，所以路灯的高度误差也比较大。所以对路灯高度变化的分析是必要的。这里我们首先对路灯1的高度h1进行分析，考虑在最优点时h1的微变化对照度的影响。在上面的第二问中，令P1=2000,P2=3000,s=20, h1=5，h2=6，求得在x=9.34处最小的照度为18.24。现在我们讨论在x为最优解（x=9.34时）h1的变化对最小照度E的影响。 由公式E（x）= 将P1=2000,P2=3000,s=20,h2=6,x=9.34，带入上述等式中，得到E关于h1的函数，E（h1）=敏感度S= 当h1=5时，S=0.558，当h1变化1%时，E变化0.558%，变化较小，对模型没有大的影响，故原模型仍然可行。（2）由于路灯的光照范围都是空间的，以上的模型都是在h1和h2确定的平面内研究照度的。实际中x点难免会偏离这个平面，导致s的增加，于是我们讨论s的微变化在最优解下对照度E的影响。将P1=2000,P2=3000,h1=5,h2=6,x=9.34带入照度公式中得到E关于s的函数关系：E（s）= S= 当s=20时，S=-2.1，当s变化1%时，E变化-2.1%，变化较大，说明s对模型结果的影响较大，为主要因素。九、模型推广该模型只有在模型假设那几个条件下才成立，对于假设外的条件，该模型并不适合，而需要建立更复杂的模型。也就是说该模型只适合条件比较简单，要求结果不是很精确的情况。在模型假设中我们假设光源是点光源，但是实际中不可能是点光源的情况，但是如果灯的大小与高度、距离相比其比值很小，通常情况是将灯处理成点光源。于是我们的模型仍然适用。在模型中我们仅讨论了两盏灯光照下在两路灯之间的情况，而实际中公路上的路灯是两排排成列的，如果s比较大、路面较宽，在两灯之间的路面上的点只于这两灯有关，更远处的灯对该点的影响可以忽略。所以该模型仍然适用于s比较大、路面较宽的情况。但是如果s比较小，路面比较窄的情况下，就必须考虑其他灯对该点的影响，必须建立其他的模型。综上，该模型只适合某些满足条件的情况。十、附录参考资料：数学模型（第三版）.姜启源等主编.北京：高等教育出版社，2003年8月 高等数学（第五版）.同济大学应用数学系主编. 北京：高等教育出版社 大学物理基础.吴百诗主编.北京：科学出版社.2005年1月地一版程序输出：DEzx,h1,h2,s,P1,P2,x,1 PlotEzx,3,3,30,2000,2000,x,0,30 Graphics PlotEzx,6,10,40,3000,2000,x,0,40 Graphics DEzx,5,6,20,2000,3000 x-127.178,x19.9767,x8.5383 +11.6158 ,x8.5383 -11.6158 ,x9.3383,x0.02849 PlotEzx,5,6,20,2000,3000,x,0,20 Graphics Ez0.028,5,6,20,2000,3000 81.981 Ez9.34,5,6,20,2000,3000 18.2439 Ez19.98,5,6,20,2000,3000 84.4765 Ezx,5,h2,20,2000,3000 DEzzx,h2,x,1 Plot3DEzzx,h2,x,0,20,h2,0,25 SurfaceGraphics DEzzx,h2,h2,1 DEzzx,1.414*(20-x)/2,x,1 SolveEzzzzx0,x x-3.22969-28.8521 ,x-3.22969+28.8521 ,x0.0302098,x9.31032 -13.2688 ,x9.31032 +13.2688 ,x9.50315 Emx_,h1_,h2_:=Ezx,h1,h2,20,2000,3000 Emx,h1,h2 SolveDEmx,1.414*x/2,1.414*(20-x)/2,x,10,x x7.33737 -17.0093 ,x7.33737 +17.0093 ,x9.32525 DEmx,h1,h2,x,1 DEmx,1.414*x/2,1.414*(20-x)/2,x,1 1.414*9.33/2 6.59631 1.414*(20-9.33)/2 7.54369 Em9.33,6.6,7.54 18.9857 DEzx,h1,6,20,2000,3000,x,1 E