九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识3圆周角课件华东师大版.pptx

3 圆周角 1 圆周角 1 圆周角的定义顶点在 上 并且两边都和圆 的角叫做圆周角 2 如图 圆中的圆周角是 ABC 圆 相交 ACD ACB BAC BAD CAD ADC BCD 2 圆周角定理及推论 1 圆周角的定理在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 相等的圆周角所对的弧 相等 一半 相等 2 推论半圆或直径所对的圆周角都 都等于 90 的圆周角所对的弦是圆的 用符号语言来表示 如图 AB是 O的直径 ACB 90 ACB 90 AB是 O的直径 相等 90 直径 3 如图 A是 O的圆周角 且 A 35 则 BOC 因为OC OB 所以 OBC 根据三角形内角和定理 可得 OBC 点拨 圆心角 圆周角之间的转化 关键是找到等弧或同弧 70 OCB 55 预习思考 表示圆周角时应注意什么问题 提示 1 三个字母表示时 应按顺序写 且表示顶点的字母在中间 2 单独一个字母表示时 用表示顶点的字母即圆上的点来表示 弧 圆周角 圆心角的关系 例1 2011 潜江中考 如图 BD是 O的直径 A C是 O上的两点 且AB AC AD与BC的延长线交于点E 1 求证 ABD AEB 2 若AD 1 DE 3 求BD的长 解题探究 1 在 ABD和 AEB中 有相等的角吗 答 有一对公共角 BAD EAB 如何找出另一组角相等 答 AB AC 根据圆周角定理可得 ADB ABE 由 可知 ABD和 AEB中有两对对应角相等 所以 ABD AEB 2 由 1 中所得到的相似三角形 如何求出AB 答 ABD AEB AB2 AD AE 4 AB 2 如何求出BD的长 答 BD是 O的直径 DAB 90 在Rt ABD中 BD2 AB2 AD2 5 BD 互动探究 圆周角和圆心角 弧的关系是什么 提示 1 由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数 所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 2 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 规律总结 利用圆周角定理进行证明时的两点注意1 圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中 2 在证明时 此定理可以直接作为已知条件使用 跟踪训练 1 2012 重庆中考 已知 如图 OA OB是 O的两条半径 且OA OB 点C在 O上 则 ACB的度数为 A 45 B 35 C 25 D 20 解析 选A 因为OA OB 所以 AOB 90 由圆周角定理可知 ACB 45 2 2012 黔东南中考 如图 若AB是 O的直径 CD是 O的弦 ABD 55 则 BCD的度数为 A 35 B 45 C 55 D 75 解析 选A 连结AD AB是 O的直径 ADB 90 A 90 55 35 根据同弧所对的圆周角相等可得 BCD A 35 3 如图 ABC内接于 O 已知 A 55 则 BOC 解析 根据圆周角和圆心角的关系可得 BOC 2 A 110 答案 110 圆周角定理的综合应用 例2 8分 如图 AB是 O的直径 C是的中点 CE AB于E BD交CE于点F 1 求证 CF BF 2 若CD 6 AC 8 则 O的半径为 CE的长是 易错提醒 利用圆周角定理找出相等的角 是解决该题关键的一步 规范解答 1 AB是 O的直径 ACE 2 90 又 CE AB AEC 90 即 A ACE 90 2 A 3分又 C是的中点 1 A 1 2 4分 CF BF 5分 2 由题意得 ACB 90 又 BC CD 6 AC 8 AB O的半径为5 6分由面积公式得 解得CE CE的长是 8分 规律总结 利用圆周角定理推论的两种思路1 见直径 通常构建90 的圆周角 利用直角三角形知识解决 2 见90 的圆周角 通常作直径 构建直角三角形 跟踪训练 4 2012 苏州中考 如图 已知BD是 O直径 点A C在 O上 AOB 60 则 BDC的度数是 A 20 B 25 C 30 D 40 解析 选C 连结OC 因为同弧或等弧所对的圆心角相等 所以 AOB BOC 60 所以 D 30 变式训练 2011 无锡中考 如图 以原点O为圆心的圆交x轴于A B两点 交y轴的正半轴于点C D为第一象限内 O上的一点 若 DAB 20 则 OCD 解析 连结DO DAB 20 DOB 40 COD 90 40 50 CO DO OCD CDO OCD 180 50 2 65 答案 65 5 2012 达州中考 如图 O是 ABC的外接圆 连结OB OC 若OB BC 则 BAC等于 A 60 B 45 C 30 D 20 解析 选C 因为OB BC OC 所以 OBC是等边三角形 则 BOC 60 因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 所以 BAC 30 故选C 6 2012 安顺中考 如图 在 O中 直径AB与弦CD相交于点P CAB 40 APD 65 1 求 B的大小 2 已知AD 6 求圆心O到BD的距离 解析 1 APD C CAB C 65 40 25 B C 25 2 作OE BD于E 则DE BE 又 AO BO OE 圆心O到BD的距离为3 1 2011 凉山州中考 如图 AOB 100 点C在 O上 且点C不与A B重合 则 ACB的度数为 A 50 B 80 或50 C 130 D 50 或130 解析 选D 利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半 求得圆周角的度数即可 注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上 分两种情况讨论 当点C在优弧上时 当点C在劣弧上时 130 2 2012 万宁中考 如图所示 已知 O是 ABC的外接圆 AD是 O的直径 连结CD 若AD 3 AC 2 则cosB的值为 解析 选B B和 D所对的弧是 根据同弧所对的圆周角相等 B D 又 AD是直径 ACD 90 根据勾股定理 得 cosB cosD 3 如图 将三角板的直角顶点放在 的圆心上 两条直角边分别交 O于A B两点 点P在优弧AB上 且与点A B不重合 连结PA PB 则 APB的大小为 度 解析 AOB为圆心角 其值为90 APB为同弧上的圆周角 其大小为 AOB的一半 所以 APB 答案 45 4 如图 已知 OCB 20 则 A 度 解析 OB OC OBC OCB 20 O 180 OBC OCB 140 A 答案 70 5 如图 点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点 1 求 BPC的度数 2 求证 PA PB PC 3 设PA BC交于点M 若AB 4 PC 2 求CM的长度 解析 1 ABC为等边三角形 BAC 60 点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点 BPC BAC 180 BPC 120 2 在PA上截取PD PC AB AC BC APB APC 60 PCD为等边三角