(极坐标与直角坐标方程)PPT幻灯片课件

直角坐标系与极坐标系 1 目标在哪 在以 为X轴以 为Y轴 坐标是 2 以立新街为X轴以大桥东路为Y轴 请问 去融安二中怎么走 3 以立新街为X轴以大桥东路为Y轴 脑子进水了 4 以立新街为X轴以大桥东路为Y轴 精神病 5 从这向北向东南方向3000米 请问 去融安二中怎么走 6 请分析上面这句话 他告诉了问路人什么 从这向东南走3000米 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想 就是极坐标的基本思想 7 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O 叫做极点 引一条射线OX 叫做极轴 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 O 8 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M 用 表示线段OM的长度 用 表示从OX到OM的角度 叫做点M的极径 叫做点M的极角 有序数对 就叫做M的极坐标 特别强调 表示线段OM的长度 即点M到极点O的距离 表示从OX到OM的角度 即以OX 极轴 为始边 OM为终边的角 9 题组一 说出下图中各点的极坐标 10 平面上一点的极坐标是否唯一 若不唯一 那有多少种表示方法 坐标不唯一是由谁引起的 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 特别规定 当M在极点时 它的极坐标 0 可以取任意值 想一想 11 点的极坐标的表达式的研究 如图 OM的长度为4 请说出点M的极坐标的其他表达式 思考 这些极坐标之间有何异同 思考 这些极角有何关系 这些极角的始边相同 终边也相同 也就是说它们是终边相同的角 本题点M的极坐标统一表达式 极径相同 不同的是极角 12 题组二 在极坐标系里描出下列各点 13 14 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M 2 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 15 一般地 若 是一点的极坐标 则 2k 都可以作为它的极坐标 如果限定 0 0 2 或 那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了 16 2 在极坐标系中 与 关于极轴对称的点是 A B C D A B 题组三1 在极坐标系中 与点 3 重合的点是 A 3 B 3 C 3 D 3 17 极坐标和直角坐标的互化 18 19 在直角坐标系中 以原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 并且两种坐标系中取相同的长度单位 点M的直角坐标为 设点M的极坐标为 20 极坐标与直角坐标的互化关系式 设点M的直角坐标是 x y 极坐标是 x cos y sin 21 互化公式的三个前提条件 1 极点与直角坐标系的原点重合 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度相同 22 例1 将点M的极坐标化成直角坐标 23 已知下列点的极坐标 求它们的直角坐标 24 例2 将点M的直角坐标化成极坐标 25 练习 已知点的直角坐标 求它们的极坐标 26 直线的极坐标方程 27 思考 在平面直角坐标系中 1 过点 3 0 且与x轴垂直的直线方程为 过点 3 3 且与x轴垂直的直线方程为 x 3 x 3 2 过点 a b 且垂直于x轴的直线方程为 x a 特点 所有点的横坐标都是一样 纵坐标可以取任意值 28 答 与直角坐标系里的情况一样 求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点 的坐标 与 之间的关系 然后列出方程 0 再化简并讨论 怎样求曲线的极坐标方程 29 例题1 求过极点 倾角为的射线的极坐标方程 分析 如图 所求的射线上任一点的极角都是 其 极径可以取任意的非负数 故所求 直线的极坐标方程为 30 1 求过极点 倾角为的射线的极坐标方程 易得 思考 2 求过极点 倾角为的直线的极坐标方程 31 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来 极坐标系里的直线表示起来很不方便 要用两条射线组合而成 原因在哪 为了弥补这个不足 可以考虑允许极径可以取全体实数 则上面的直线的极坐标方程可以表示为 或 32 例题2 求过点A a 0 a 0 且垂直于极轴的直线L的极坐标方程 解 如图 设点 为直线L上除点A外的任意一点 连接OM 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 33 求直线的极坐标方程步骤 1 据题意画出草图 2 设点是直线上任意一点 3 连接MO 4 根据几何条件建立关于的方程 并化简 5 检验并确认所得的方程即为所求 34 练习 设点A的极坐标为A 直线过点A且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 解 如图 设点 为直线上异于的点 连接OM 在中有 即 显然A点也满足上方程 35 例题3设点P的极坐标为 直线过点P且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 36 则由点P的极坐标知 由正弦定理得 显然点P的坐标也是它的解 37 直线的几种极坐标方程 1 过极点 2 过某个定点 且垂直于极轴 3 过某个定点 且与极轴成一定的角度 38 圆的极坐标方程 39 探究 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 x C a 0 O A 2acos 40 例1已知圆O的半径为r 建立怎样的坐标系 可以使圆的极坐标方程更简单 r 41 练习1 求下列圆的极坐标方程 中心在极点 半径为 中心在 半径为 中心在 2 半径为 2 2acos 2asin 42 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是多少 练习2 43 参数方程的概念 44 参数方程的概念 物资投出机舱后 它的运动由下列两种运动合成 1 沿ox作初速为100m x的匀速直线运动 2 沿oy反方向作自由落体运动 45 一般的 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即并且对于t的每一个允值 由方程组所确定的点M x y 都在这条直线上 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数叫做参变数 简称参数 相对于参数方程来说 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 46 圆的参数方程 47 练习 如图 已知点P是半径是2的圆O上的一个动点 点Q是x轴上的定点 坐标为 6 0 当点P在圆上运动时 线段PQ的中点M的轨迹是什么 48 解 设点M的坐标是 x y 因为圆O的参数方程为 所以可设点P的坐标为 2cos 2sin 由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为 49 50 参数方程和普通方程的互化 51 1 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线L的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 t为参数 在普通方程xy 1中 令x tan 可以化为参数方程 为参数 52 2 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如 参数方程 消去参数 可得圆的普通方程 x a 2 y b 2 r2 可得普通方程 y 2x 4 通过代入消元法消去参数t x 0 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 53 例 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 54 例 55 56 椭圆的参数方程为 57 练习 1 把下列参数方程化为普通方程 普通方程化为参数方程 口答 58 练习 59 1 当参数 R时 化为普通方程是 2 当参数 0 时 化为普通方程是 1 x 1 2 y 3 2 4 4 在参数方程