高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22 .ppt

2 2 2反证法 反证法的定义及证题的关键 不成立 假设 错误 原命题成立 已知条件 假设 定义 定理 公理 事实 1 判一判 正确的打 错误的打 1 反证法属于间接证明问题的方法 2 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 3 反证法的实质是否定结论导出矛盾 解析 1 正确 反证法其实是证明其逆否命题成立 所以它属于间接证明问题的方法 2 错误 反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理 3 正确 否定结论导出矛盾就是反证法的实质 从而肯定原结论 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知a 0 证明关于x的方程ax b有且只有一解 适宜用证明 2 用反证法证明命题 a b n 如果ab可被5整除 那么a b至少有一个能被5整除 则假设的内容是 3 用反证法证明命题 如果a b 则 时 假设的内容是 解析 1 当直接证明比较困难时 可以采用反证法 本题即属于此类型 需用反证法证明比较合适 答案 反证法 2 至少有一个 的否定是 一个也没有 即a b至少有一个能被5整除的否定是a b都不能被5整除 答案 a b都不能被5整除 与的关系有三种情况 和 的反设应为 或 即 答案 要点探究 知识点反证法1 对反证法的两点说明 1 反证法不是直接去证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 2 反证法属逻辑方法范畴 它的严谨体现在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中第一个否定是指 否定结论 假设 第二个否定是指 逻辑推理的结果否定了假设 反证法属 间接解题方法 书写格式易错之处是 假设 易错写成 设 2 反证法证题的实质 常用的反证方法及应用时的注意点 1 实质 用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾 从而证明原结论正确 否定结论时 对结论的反面要一一否定 不能遗漏 2 常用的反证方法 否定一个反面的反证法称为归谬法 否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法 3 注意点 要注意用反证法证题时 否定结论 在推理论证中作为已知使用 导出矛盾是指在假设的前提下 逻辑推理结果与 已知条件 假设 公理 定理或显然成立的事实 等相矛盾 微思考 1 用反证法证明命题 若p 则q 时 为什么q假 q就真 提示 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 所以命题结论q的反面q错误时 q就一定正确 2 反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗 提示 有关 反证法的原理为 互为逆否命题的两个命题真假一致 即 p q q p 即时练 1 2014 西安高二检测 应用反证法推出矛盾的推导过程中 要把下列哪些作为条件使用 结论的否定即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原命题的结论a b c d 2 2014 山东高考 用反证法证明命题 已知a b为实数 则方程x2 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x2 ax b 0没有实根b 方程x2 ax b 0至多有一个实根c 方程x2 ax b 0至多有两个实根d 方程x2 ax b 0恰好有两个实根 解析 1 选c 由反证法的定义知 可把 作为条件使用 而 原命题的结论是不可以作为条件使用的 2 选a 方程x2 ax b 0至少有一个实根 的反面是 方程x2 ax b 0没有实根 故选a 题型示范 类型一用反证法证明否定性命题 典例1 1 2014 广州高二检测 用反证法证明 若方程ax2 bx c 0 且a b c都是奇数 则方程没有整数根 正确的假设是方程存在实数根x0为 a 整数b 奇数或偶数c 自然数或负整数d 正整数或负整数 2 已知三个正整数a b c成等比数列 但不成等差数列 求证 不成等差数列 解题探究 1 题 1 中所要证明的命题的结论是什么 2 题 2 中不成等差数列的反设是什么 探究提示 1 所要证明的命题的结论是 方程没有整数根 2 假设成等差数列 自主解答 1 选a 其反设应该是假设方程存在整数根x0 2 假设成等差数列 则即a c 2 4b 又a b c成等比数列 所以b2 ac 即b 所以a c 2 4 所以a c 2 0 即 2 0 所以 从而a b c 所以a b c可以成等差数列 这与已知中 a b c不成等差数列 相矛盾 原假设错误 故不成等差数列 方法技巧 1 用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 变式训练 若x y z 0 2 求证 x 2 y y 2 z z 2 x 不可能都大于1 解题指南 此类问题的常用方法是考虑问题的反面 即 不都 的反面为 都 可用反证法来处理 证明 假设x 2 y 1 且y 2 z 1 且z 2 x 1均成立 则三式相乘有xyz 2 x 2 y 2 z 1 由于0 x 2 所以0 x 2 x 1 同理0 y 2 y 1 0 z 2 z 1 三式相乘得0 xyz 2 x 2 y 2 z 1 与 矛盾 故假设不成立 所以x 2 y y 2 z z 2 x 不可能都大于1 类型二用反证法证明存在性命题 典例2 1 2014 西安高二检测 任何三角形的外角都至少有两个钝角 的否定是 2 2014 石家庄高二检测 已知a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 解题探究 1 题 1 中 至少有两个钝角 的含义是什么 2 题 2 中a b c有什么特点 怎样应用这些特点 探究提示 1 至少有两个钝角 的含义是 有两个钝角或两个以上钝角 即钝角的个数大于等于2 2 题 2 中a b c是含有x y z的代数式 将a b c三个加起来 重新组合 把含x y z的各项分别放在一起 自主解答 1 该命题的否定有两部分 一是任何三角形 二是至少有两个 其否定应为 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 答案 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 2 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 得a b c 0 又a b c x2 2y y2 2z z2 2x x2 2x 1 y2 2y 1 z2 2z 1 3 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 即a b c 0与a b c 0矛盾 所以假设不成立 即a b c中至少有一个大于0 延伸探究 本例题 1 改为 任何三角形的内角至少有一个大于或等于60 的否定为 解析 至少有一个大于或等于60 的否定是 三个内角都小于60 答案 存在一个三角形 其三个内角都小于60 方法技巧 1 用反证法证明 若p 则q 的过程 2 应用反证法常见的 结论词 与 反设词 当命题中出现 至多 至少 等词语时 直接证明不易入手且讨论较复杂 这时 可用反证法证明 证明时常见的 结论词 与 反设词 如下 变式训练 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 且 2 2c 2 4ab 0 且 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 补偿训练 用反证法证明 关于x的方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 当a 或a 1时 至少有一个方程有实数根 证明 假设三个方程都没有实数根 则由判别式都小于零 得解得 a 1 与a 或a 1矛盾 故原命题成立 拓展类型 拓展类型反证法证明唯一性命题 备选典例 1 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则 a 过点p有且仅有一条直线与l m都平行b 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直c 过点p有且仅有一条直线与l m都相交d 过点p有且仅有一条直线与l m都异面 2 求证 两条相交直线有且只有一个交点 解析 1 选b 对于a 若存在直线n 使n l且n m 则有l m 与l m异面矛盾 对于c 过点p与l m都相交的直线不一定存在 反例如图 l 对于d 过点p与l m都异面的直线不唯一 2 假设结论不成立 则有两种可能 无交点或不止一个交点 若直线a b无交点 则a b或a b是异面直线 与已知矛盾 若直线a b不只有一个交点 则至少有两个交点a和b 这样同时经过点a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上所述 两条相交直线有且只有一个交点 方法技巧 巧用反证法证明唯一性命题 1 当证明结论有以 有且只有 当且仅当 唯一存在 只有一个 等形式出现的命题时 由于反设结论易于推出矛盾 故常用反证法证明 2 用反证法证题时 一定要用到 反设 进行推理 否则就不是反证法 用反证法证题时 如果欲证明命题的反面情况只有一种 那么只要将这种情况驳倒了就可以 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 3 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 规范解答 反证法在证明问题中的应用 典例 12分 2014 太原高二检测 已知 0 0 且sin 2sin 求证 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 在解答过程中若漏掉 处的两种情况的讨论 而直接按一种情况证明该题 对本例而言 证明过程不严谨 逻辑性差 实际考试中最多得6分 失分点2 解题时若由 处的等式无法得出矛盾而断然下结论 对本例而言 结果虽正确 但证明过程不严谨 缺乏说服力 最多得9分 失分点3 解题时若漏掉 处的结论 虽不算错误 但解析不完整 最多得11分 悟题 提措施 导方向1 关注前后联系反证法的关键是找矛盾 所以应注意前后联系 如本例中三角恒等变换的应用在证明中起了关键作用 2 步骤规范 完整在证明过程中步骤要完整 步步有理有据 说服力强 不能随意丢弃任何条件 特别是假设的否定不能忽略 类题试解 用反证法证明 如果四边形abcd的对角互补 那么四边形abcd是圆内接四边形 证