高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 2空间向量的运算 第二章 1 经历向量运算由平面向空间推广的过程 2 掌握空间向量的线性运算和数量积 能用空间向量的数量积解决简单的直线垂直问题 本节重点 向量的线性运算及运算律 数量积 本节难点 向量的线性运算及运算律 数量积 2 空间向量加减法的运算律 1 结合律 a b c 2 交换律a b 3 空间向量的数乘的定义空间向量a与一个实数 的乘积是一个向量 记作 a 满足 1 a 2 当 0时 a与a 当 0时 a与a 当 0时 a a b c b a a 方向相同 方向相反 0 4 空间向量的数乘运算律 1 a a r 2 a b a b a a a r r 3 a a r r 5 共线向量定理空间两个向量a与b b 0 共线的充分必要条件是存在实数 使得 a b 6 空间向量数量积的定义空间两个向量a和b的数量积是一个数 等于 记作a b 7 空间向量的数量积的运算律 1 交换律a b 2 分配律a b c 3 a b r 注意 数量积不满足结合律 即 a b c a b c a b b a a b a c a b cos a b 3 空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样 满足如下运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 分配律 a a a a b a b 4 共线向量前面 我们学习了平面向量共线的充要条件 这个条件在空间也是成立的 即 a b b 0 则存在唯一实数x使a xb 若存在唯一实数 使a b 则a b 判定两向量共线的关键是找到实数 运用 证明直线平行还需说明a 或b 上有一点不在b 或a 上 运用 证明三点共线 还需说明a与b有公共点 5 数量积由于空间任意两个向量都可转化为共面向量 所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围 两个向量垂直的定义和表示及向量的模的概念和表示等 都与平面向量相同 为锐角时 a b 0 但a b 0时 可能为0 为钝角时 a b 0 但a b 0时 可能为 a b a b 特别地 当 0时 a b a b 当 时 a b a b 与平面上两个向量的数量积一样 空间两个向量的数量积也具有如下性质 a b a b 0 用于判断两向量是否垂直 a 2 a a用于求向量的模 a b a b 用于判断或证明不等式 6 向量中应该重视的问题 空间向量的加法 减法 数乘向量的意义及运算律与平面向量类似 这些运算不但适合学过的代数运算律 而且很多性质与实数性质相同 两个向量数量积的性质的作用 1 可以求两个向量的夹角 2 用于判断空间两个向量垂直 3 主要用于对向量模的计算 利用向量解立体几何问题的一般方法 把角度或线段转化为向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明解决问题 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题 一般用向量共线定理 解决两点距离或线段长度问题 一般用向量的模 求异面直线的夹角问题 一般可化为两向量的夹角 但要注意两种角范围不同 最后应注意转化 解决垂直问题 一般可化为向量的数量积为零 向量的线性运算 点评 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简 在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法 也可按减法法则进行运算 加减法之间可相互转化 答案 d 向量共线 向量的数量积的概念与运算 向量的线性表示 点评 用一组选定的不共面的三个向量表示一空间向量 仍要利用向量的数乘及加减法运算法则 向量的夹角 如图所示 在空间四边形oabc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 求oa与bc夹角的余弦值 点评 用向量夹角公式解决异面直线所成的角的问题时 应注意角的范围 向量夹角的范围是 0 180 异面直线所成的角的范围是 0 90 当用夹角公式求出的角为钝角时 它的补角才等于异面直线所成的角 例6 如图 已知平行四边形abcd中 ad 4 cd 3 d 60 pa 平面abcd 并且pa 6 求pc的长 距离问题 点评 求pc的长 先把pc转化为向量表示 然后自身点积 根据已知向量的模及向量的夹角得其模的平方 再开方即为所求 如图所示 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将它沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 则b d间的距离为 例7 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为ac与bd的交点 g为cc1的中点 求证 a1o 平面gbd 分析 要证线面垂直 只需证明线线垂直 从而转化为两向量互相垂直 即a b a b 0 垂直问题 点评 利用空间向量数量积可求解有关长度 夹角 直线与直线 证明垂直等问题 此类问题考查数形结合思想 转化与化归思想 已知空间四边形oabc中 aob boc aoc 且oa ob oc m n分别是oa bc的中点 g是mn的中点 求证 og bc 答案 b 2 设a b c是任意的非零平面向量 且它们相互不共线 则 a b c c a