2016年厦门市高考数学二模试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年福建省厦门市高考数学二模试卷（文科） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|2x 1，则 AB=（ ） A 1， 2 B 0， 1 C 1， 2 D 0， 1， 2 2幂函数 y=f（ x）的图象经过点（ 2， 4），则 f（ x）的解析式为（ ） A f（ x） =2x B f（ x） = f（ x） =2x D f（ x） = 3一个口袋中装有大小和形状完全相 同的 2 个红球和 2 个白球，从这个口袋中任取 2 个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是（ ） A B C D 4双曲线 =1（ a 0， b 0）的实轴为 轴的 一个端点为 B，若三角形 双曲线的离心率（ ） A B C D 5若 2 ） A 2 B 2 C 2 或 0 D 2 或 0 6已知向量 =（ 1， m）， =（ 3， ），若向量 ， 的夹角为 ，则实数 m 的值为（ ） A B C D 7执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值等于（ ） A 1 B C 0 D 8设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） 若 m ， ，则 m 第 2 页（共 20 页） 若 m ， ， n，则 m n 若 m， n， m n，则 若 n ， n ， m ，则 m A B C D 9若实数 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值为（ ） A B 1 C D 10若函数 f（ x） = 0）在区间（ ， ）上有且只有两个极值点，则 的取值范围是（ ） A 2， 3） B（ 2， 3 C（ 3， 4 D 3， 4） 11已知定点 M（ 1， 0）， A、 B 是椭圆 + 上的两动点，且 =0，则 的最小值是（ ） A B C 1 D 2 12已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ f（ x） =0 有且只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 0， +） B（ ， 0） （ 0， 1） C（ 1， 0） （ 0， 1）D（ ， 1） （ 1， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 16 分把答案填写在答题卡的相应位置 13设复数 z 满足（ 1 i） z=2i，则 z 在复平面内所对应的点位于第 象限 14已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间（ ， +）上单调递减，若 f（ 3x+1）+f（ 1） 0，则 x 的取值范围是 15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 16在 ， 角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，若 A=135， c=1， ，则 b 等于 第 3 页（共 20 页） 三 17已知等差数列 足 ，且 等比数列 （ ）求 通项公式； （ ）设 ，求数列 前项和 18某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期 100 天的营销活动，威调查这 100 天的日销售情况，用简单随机抽样抽取 10 天进行统计，以 它们的销售数量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图已知该样本中，甲品牌牛奶销量的平均数为 48 件，乙品牌牛奶销量的中位数为 43 件，将日销量不低于 50 件的日期称为 “畅销日 ” （ ）求出 x， y 的值； （ ）以 10 天的销量为样本，估计 100 天的销量，请完成这两种品牌 100 天销量的 2 2列联表，并判断是否有 99%的把握认为品牌与 “畅销日 ”天数相关 附： （其中 n=a+b+c+d 为样本容量） P（ K2 销日天数 非畅销日天数 合计 甲品牌 乙品牌 合计 19如图所示的几何体为一简单组合体，在底面 ， 0， C， 平面 ， B= （ ）求证：平面 平面 （ ）求该组 合体的体积 20已知函数 f（ x） =（ x 2） （ 1）判断 f（ x）的导函数 f（ x）在（ 1， 2）上零点的个数； （ 2）求证 f（ x） 0 第 4 页（共 20 页） 21已知点 F 为抛物线 E： y 的焦点，直线 l 为准线， C 为抛物线上的一点（ C 在第一象限），以点 C 为圆心， |半径的圆与 y 轴交于 D， F 两点，且 正三角形 （ ）求圆 C 的方程； （ ）设 P 为 l 上任意一点，过 P 作抛物线 y 的切线，切点为 A， B，判断直线 圆 C 的位置关系 四 考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答，注意：只能做所选的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑）选修 4何证明选讲 22如图， 别是 中线和高线， 接圆 O 的切线，点E 是 圆 O 的交点 （ 1）求证： D=C； （ 2）求证： 分 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，曲线 C 的方程为 2x+，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 = （ R） （ ）写出 C 的极坐标方程，并求 l 与 C 的交点 M， N 的极坐标； （ ）设 P 是椭圆 + 上的动点，求 积的最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 3| （ 1）求不等式 f（ x） 2+|x+1|的解集； （ 2）已知 m， n R+且 + =2证： n） + m） 6 第 5 页（共 20 页） 2016 年福建省厦门市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|2x 1，则 AB=（ ） A 1， 2 B 0， 1 C 1， 2 D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得： 2x 1=20，即 x 0， B=（ 0， +）， 又 A= 2， 1， 0， 1， 2， AB=1， 2， 故选： C 2幂函数 y=f（ x）的图象经过点（ 2， 4），则 f（ x）的解析式为（ ） A f（ x） =2x B f（ x） = f（ x） =2x D f（ x） = 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 设出幂函数的解析式， 利用待定系数法求出解析式即可 【解答】 解：设幂函数为 f（ x） = y=f（ x）的图象经过点（ 2， 4）， 可得 4=2a，解得 a=2， 幂函数的解析式为 f（ x） = 故选： B 3一个口袋中装有大小和形状完全相同的 2 个红球和 2 个白球，从这个口袋中任取 2 个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数，再求出取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数，由此能求出取得的两个球中恰有一个红球的概率 【解答】 解：一个口袋中装有大小和形状完全相同的 2 个红球和 2 个白球， 从这个口袋中任取 2 个球， 基本事件总数 n= =6， 取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数 m= =4， 取得的两个球中恰有一个红球的概率 p= = 故选： D 第 6 页（共 20 页） 4双曲线 =1（ a 0， b 0）的实轴为 轴的一个端点为 B，若三角形 双曲线的离心率（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据三角形的面积建立方程关系，建立 a， b， c 的关系进行求解即可得到结论 【解答】 解：设 B（ 0， B），则 |2a， 三角形 面积为 S= = 即 a= b， 则离心率 e= = = = ， 故选： B 5若 2 ） A 2 B 2 C 2 或 0 D 2 或 0 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 由条件利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得 【解答】 解： 2 4（ 1 2=2 或 2 或 ， 故选： D 6已知向量 =（ 1， m）， =（ 3， ），若向量 ， 的夹角为 ，则实数 m 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出两向量的模， 根据向量数量积的不同计算方法列方程解出 m 【解答】 解： | |= ， | |= =2 ， =3+ m， 向量 ， 的夹角为 ， 3+ m= 2 ， 解得 m= 故选： B 7执行如图所示的程序框 图，则输出 s 的值等于（ ） 第 7 页（共 20 页） A 1 B C 0 D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行如图所示的程序框图，得出该程序输出的是计算 S 的值，分析最后一次循环过程，即可得出结论 【解答】 解：执行如图所示的程序框图，得： 该程序输出的是计算 S 的值； 当 k=0 时，满足条件，计算 S=， 当 k= 1 时，不满足条件，输出 S=1 故选： A 8设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） 若 m ， ，则 m 若 m ， ， n，则 m n 若 m， n， m n，则 若 n ， n ， m ，则 m A B C D 【考点】 平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明 【解答】 解： 当 m时，显然结论不成立故 错误； m ， ， m ，又 n， m n故 正确； 当 与 相交时，设交线为 l，则当 m l， l 时，有 m n，但 ， 不平行，故 错误； n ， m ， m n， 又 n ， m 故 正确 故选： D 第 8 页（共 20 页） 9若实数 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值为（ ） A B 1 C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的几何意义进行求 解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， z= 的几何意义是区域内的点到点 D（ 1， 0）的斜率， 由图象知 斜率最大， 由 得 ，即 A（ 1， 3）， 此时 z= = ， 故选： A 10若函数 f（ x） = 0）在区间（ ， ）上有且只有两个极值点，则 的取值范围是（ ） A 2， 3） B（ 2， 3 C（ 3， 4 D 3， 4） 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 根据 f（ x）的对称性可知 f（ x）的一个极值点必定落在区间（ ， 上从而得出 f（ x）的周期的范围，列出不等式解出即可 【解答】 解： f（ x）是偶函数，且 x=0 为 f（ x）的一个极值点， f（ x）的另一个极值点在（ ， 取得， 设 f（ x）的周期为 T， 则 ，即 ，解得 3 4 故选： C 第 9 页（共 20 页） 11已知定点 M（ 1， 0）， A、 B 是椭圆 + 上的两动点，且 =0，则 的最小值是（ ） A B C 1 D 2 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用 =0，可得 = （ ） = ，设 A（ 2把用含有 的三角函数表示，配 方后可求 的最小值 【解答】 解： =0， = （ ） = ， 设 A（ 2则 +4=3（ ） 2+ ， 当 时， 的最小值为 即 的最小值是 故选： B 12已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ f（ x） =0 有且只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 0， +） B（ ， 0） （ 0， 1） C（ 1， 0） （ 0， 1）D（ ， 1） （ 1， +） 【考点 】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据函数与方程之间的关系，利用换元法设设 t=f（ x），则条件等价为 f（ t） =0，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：由选项知 k 0， 设 t=f（ x），则由 f（ f（ x） =0 得 f（ t） =0， 当 x 0 时， f（ x） = 0， 当 x 0 时，由 f（ x） = 得 x=1， 若 f（ t） =0，则 t=1， 则若关于 x 的方程 f（ f（ x） =0 有且只有一个实数解， 则等价为 f（ x） =1 有唯一解 作出函数 f（ x）的图象，由图象知当 x 0 时， f（ x） = 有一个解， 则等价为当 x 0 时， f（ x） = =1 无解， 即若 k 0，满足 =1 无解， 第 10 页（共 20 页） 若 k 0，则函数 f（ x） = 在 x 0 时为增函数，则函数的最大值为 f（ 0） = k， 此时只要满足 k 1，即 1 k 0，即可， 综上实数 k 的取值范围是（ 1， 0） （ 0， +）， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 16 分把答案填写在答题卡的相应位置 13设复数 z 满足（ 1 i） z=2i，则 z 在复平面内所对应的点位于第 二 象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 由（ 1 i） z=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 z 在复平面内所对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解：由（ 1 i） z=2i， 得 ， 则 z 在复平面内所对应的点的坐标为：（ 1， 1），位于第二象限 故答案为：二 14已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间（ ， +）上单调递减，若 f（ 3x+1）+f（ 1） 0，则 x 的取值范围是 （ ， 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由条件利用函数的奇偶性和单调性可得 f（ 3x+1） f（ 1），由 3x+1 1，求得 x 的范围 【解答】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上的奇 函数，且在区间（ ， +）上单调递减， 若 f（ 3x+1） +f（ 1） 0，即 f（ 3x+1） f（ 1） =f（ 1），则 3x+1 1， 求得 x ，即 x 的取值范围（ ， ， 故答案为：（ ， 15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 32 第 11 页（共 20 页） 【考 点】 由三视图求面积、体积 【分析】 首先由三视图还原几何体为三棱柱，根据图中数据求外接球的表面积 【解答】 解：由已知三视图得到几何体是三棱柱，底面是斜边为 4，高为 2 的等腰直角三角形，其外接圆半径为 2，棱柱的高为 4， 所以其外接球半径为 ， 所以外接球表面积为 4 =32 故答案为： 32 16在 ，角 A， B， C 对应的边分别是 a， b， c，若 A=135， c=1， ，则 b 等于 或 【考点】 正弦定理 【分析】 根据题意和正弦定理表示出 入已知的式子列方程，由余弦定理再列出一个方程，两个方程联立求出 b 【解答】 解：由正弦定理得， ， 把 A=135， c=1 代入得， ， 则 ， ， ， ， 由余弦定理得， a2=b2+2 ， 由 得， 解得 b= 或 ， 第 12 页（共 20 页） 故答案为： 或 三 17已知等差数列 足 ，且 等比数列 （ ）求 通项公式； （ ）设 ，求数列 前项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ ）公差为 d 由已知可得： 即 ，解得即可 （ ）根据裂项求和法即可求出 【解答】 解：（ ）设公差为 d 由已知可得： 即 解得： ， d=1 所以 an=n+1 （ ） = = （ ） 所以 （ 1 + + + ） = （ 1+ ） = 18某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期 100 天的营销活动，威调查这 100 天的日销售情况，用简单随机抽样抽取 10 天进行统计，以它们的销售数量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图已知该样本中，甲品牌牛奶销量的平均数为 48 件，乙品牌牛奶销量的中位数为 43 件，将日销量不低于 50 件的日期称为 “畅销日 ” （ ）求出 x， y 的值； （ ）以 10 天的销量为样本，估计 100 天的销量，请完成这两种品牌 100 天销量的 2 2列联表，并判断是否有 99%的把握认为品牌与 “畅销日 ”天数相关 附： （其中 n=a+b+c+d 为样本容量） P（ K2 销日天数 非畅销日天数 合计 第 13 页（共 20 页） 甲品牌 50 50 100 乙品牌 30 70 100 合计 80 120 200 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ ）由甲品牌牛奶销量的平均数为 48 件，乙品牌牛奶销量的中位数为 43 件，能求出 x， y 的值 （ ）作出 2 2 列联表，结合列联 表求出 而有 99%的把握认为品牌与 “畅销日 ”天数有关 【解答】 解：（ ）因为 甲品牌牛奶销量的平均数为 48 件 所以 （ 31+33+42+42+43+51+57+63+65+50+x） =48， 解得 x=3， 又因为乙品牌牛奶销量的中位数为 43 件 所以 ， 解得 y=4 （ ）作出 2 2 列联表，得： 畅销日 天数 非畅销日天数 合计 甲 50 50 100 乙 30 70 100 合计 80 120 200 结合列联表可算得 = 所以有 99%的把握认为品牌与 “畅销日 ”天数有关 19如图所示的几何体为一简单组合体，在底面 ， 0， C， 平面 ， B= （ ）求证： 平面 平面 （ ）求该组合体的体积 第 14 页（共 20 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 平面 出 合 出 平面 是平面 平面 （ 接 B 作 O，分别求出四棱锥 B 三棱锥 Q 体积即可 【解答】 证明：（ ） 平面 平面 又 面 又 面 面 B=A， 平面 面 平面 平面 （ ）连接 B 作 O 平面 面 又 面 面 D=A， 平面 B=2， 0， 等边三角形， S 梯形 O= = 0， 0，又 B=2， D= ， S = 平面 = = 该组合体的体积 V=Q 20已知函数 f（ x） =（ x 2） （ 1）判断 f（ x）的导函数 f（ x）在（ 1， 2）上零点的个数； （ 2）求证 f（ x） 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 第 15 页（共 20 页） 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的定义域，求出 f（ x）的单调性，从而得到 f（ x）在（ 1， 2）的零点个数； （ 2）求出 f（ x）的单调性，得到 f（ x）的最小值，求出其最小值是正数，从而证出结论 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， +）， f（ x） =+1， f（ x） = + 0， f（ x）在（ 0， +）递增， 而 f（ 1） = 1 0， f（ 2） =0， f（ x）在（ 1， 2）上零点的个数是 1 个； （ 2）由（ 1）得 f（ x）在（ 0， +）递增， 而零点在（ 1， 2）上，设零点是 则 1 2， 则 f（ x）在（ 0， 减，在（ +）递增， f（ x） f（ =（ 2） ， 而 1 2 0， 0 1， 1 （ 2） 0， 0 （ 2） 1， 故 f（ x） 0 21已知点 F 为抛物线 E： y 的焦点，直线 l 为准线， C 为抛物线上的一点（ C 在 第一象限），以点 C 为圆心， |半径的圆与 y 轴交于 D， F 两点，且 正三角形 （ ）求圆 C 的方程； （ ）设 P 为 l 上任意一点，过 P 作抛物线 y 的切线，切点为 A， B，判断直线 圆 C 的位置关系 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）求出点 C 的坐标，再代入到抛物线的解析式中求出半径，问题得以解决； （ ）设 P（ t， 1）， A（ B（ 根据导数和几何意义，求出 A， B 为切点的切线方程，即可得到直线 方程， 再利用点到直线的距离，和半径的关系判断直线和圆的位置关系 【解答】 解：（ I）由已知 F（ 0， 1），设圆 C 的半径为 r， 因为 正三角形， C（ r， |r 1|）， 因为点 C 在抛物线 y 上， 得 r 4 即 316r+16=0， 第 16 页（共 20 页） 解得 r=4 或 r= 所以圆 C 的方程为 x 2 ） 2+（ y 3） 2=16， 或 x ） 2+（ y ） 2= （ 方法一） 因为准线 l 为 y= 1，设 P（ t， 1）， A（ B（ 因为 y= ，所以 y= ， A（ 切点的切线方程为： y （ x ，即 y= x 因为切线过 P（ t， 1），得 1= t 同理可得 1= t 所以直线 程为 1= y，即 2y+2=0， 圆心 2 ， 3）， ， 直线距离 可得 16= 0 所以 t= 2 时， ，直线 圆 切 t 2 时， 4 直线 圆 交 所以直线 圆 交或相切 同理可证，直线 圆 交或相切 所以直线 圆 交或相切 （注：因为直线 定点 f（ 0， 1），且斜率 R 因为 F（ 0， 1）在圆 上，所以直线 圆 交或相切这样答扣 1 分） （方法二）设设 P（ t， 1）， A（ B（ 直线 方程为 y=kx+b，代入抛物线 E 的方程得 44b=0 所以 x1+k， 4b， 因为 y= ，所以 y= ， A（ 切点的切线方程为： y （ x ，即 y= x ， B（ 切点的切线方程为 y= x 第 17 页（共 20 页） 联立 得 所以 所以 ， 所以直线 程为 y= ， 以下与（方法一）相同 四 考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答，注意：只能做所选的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑）选修 4几何证明选讲 22如图， 别是 中线和高线， 接圆 O 的切线，点E 是 圆 O 的交点 （ 1）求证： D=C； （ 2）求证： 分 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明 可证明 D=C； （ 2）延长 圆 O 于点 G，连结 明， 得 可证明： 分 【解答】 证明：（ 1）由 圆 O 切线，知 圆 O 的切线， D 为 点， O， D， P 三点共线，且 0， ，即 D=P （ 2） D 为 点， ， ，于是 ， 又 80 80