2016徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上 1已知集合 A=x|x=2k+1， k Z， B=x|0 x 5，则 AB= 2已知复数 z 满足（ 3+i） z=10i（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数是 3如图是一次摄影大赛上 7 位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 91 分，复核员在复核时，发现有一个数字（ 茎叶图中的 x）无法看清，若记分员计算无误，则数字 x 应该是 4甲、乙、丙三人一起玩 “黑白配 ”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出 “手心（白） ”、 “手背（黑） ”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负则一次游戏中甲胜出的概率是 5执行如图所示的算法流程图，则输出 k 的值为 6已知点 F 为抛物线 x 的焦 点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则直线 斜率为 7已知公差为 d 的等差数列 前 n 项和为 =3，则 = 8已知圆锥的母线长为 10面积为 60此圆锥的体积为 9若实数 x， y 满足约束条件 ，则 |3x 4y 10|的最大值为 10已 知函数 f（ x） =x 0， ）和函数 g（ x） = 图象交于 A， B， C 三点，则 面积为 第 2 页（共 24 页） 11若点 P， Q 分别是曲线 y= 与直线 4x+y=0 上的动点，则线段 的最小值为 12已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 ， 是相互垂直的单位向量，且（ ）（ ） =1， | |的最大值为 13已知对满足 x+y+4=2任意正实数 x， y，都有 xy+ 0，则实数 14已知经过点 P（ 1， ）的两个圆 与直线 y= x， y=2x 相切，则这两圆的圆心距 于 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内 15如图，在梯形 ，已知 ， ， ， 2，求： （ 1） 长； （ 2） 面积 16如图，在直三棱柱 ，已知 C， M， N， P 分别为 证： （ 1）平面 平面 （ 2） 平面 17在平面直角坐标系 ，已知点 P（ 1， ）在椭圆 C： =1（ a b 0）上，P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 M， N 是椭圆 C 上的两点，且四边形 平行四边形，求点 M， N 的坐标 第 3 页（共 24 页） 18经市场调查，某商品每吨的价格为 x（ 1 x 14）百元时，该商品的月供给量为 吨， y1=a（ a 0）；月需求量为 吨， x+1当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积 （ 1）若 a= ，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （ 2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百 元，求实数 a 的取值范围 19已知函数 f（ x） = ， g（ x） =2a （ a R， e 为自然对数的底数） （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）在区间（ 0， e上，对于任意的 存在两个不同的 得 g（ =g（ f（ 求 a 的取值范围 20在数列 ，已知 ， ， = （ k N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求满足 2=an+ 的正整数 n 的值； （ 3）设数列 前 n 项和为 是否存在正整数 m， n，使得 1？若存在，求出所有的正整数对（ m， n）；若不存在，请说明理由 三 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4何证明选讲 （本小题满分 10 分） 21如图， 圆 O 的直径，弦 延长线相交于点 E，过 E 作 延长线的垂线，垂足为 F求证： EC B 选修 4阵与变换 （本小题满分 0 分） 22已知矩阵 A= ，向量 = ，计算 C 选修 4标系与参数方程 （本小题满分 0 分） 第 4 页（共 24 页） 23在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），求直线 的交点 P 的直角坐标 D 选修 4等式选讲 （本小题满分 0 分） 24已知 a、 b R， a b e（其中 e 是自然对数的底数），求证： 提示：可考虑用分析法找思路） 四 .必做题 第 22、 23 题，每小题 0 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内 25已知甲箱中装有 3 个红球、 3 个黑球，乙箱中装有 2 个红球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出 2 个球，共 4 个球若摸出 4 个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有 3 个红球，则获得二等奖；摸出的球中有 2 个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖每次摸球结束后将球放回原箱中 （ 1）求在 1 次摸奖中，获得二等奖的概率； （ 2）若连续摸奖 2 次，求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X） 26在集合 A=1， 2， 3， 4， ， 2n中，任取 m（ m n， m， n N*）个元素构成集合 所有元素之和为偶数，则 称 A 的偶子集，其个数记为 f（ m）；若 所有元素之和为奇数，则称 A 的奇子集，其个数记为 g（ m）令 F（ m） =f（ m） g（ m） （ 1）当 n=2 时，求 F（ 1）， F（ 2）， F（ 3）的值； （ 2）求 F（ m） 第 5 页（共 24 页） 2016 年江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上 1已知集合 A=x|x=2k+1， k Z， B=x|0 x 5，则 AB= 1， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x|x=2k+1， k Z， B=x|0 x 5， AB=1， 3， 故答案为： 1， 3 2已知复数 z 满足（ 3+i） z=10i（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数是 1 3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： （ 3+i） z=10i， （ 3 i）（ 3+i） z=10i（ 3 i）， 10z=10（ 3i+1）， 化为： z=1+3i， 则复 数 z 的共轭复数是 1 3i 故答案为： 1 3i 3如图是一次摄影大赛上 7 位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 91 分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 x）无法看清，若记分员计算无误，则数字 x 应该是 1 【考点】 茎叶图 【分析】 根据讨论 x 4 时，求出平均分不是 91 分，显然 x 4，表示出平均分，得到关于 出即可 【解答】 解：若 x 4，去掉一个最高分（ 90+x）和一个最低 分 86 后， 平均分为 （ 89+91+92+92+94） =，不合题意， 故 x 4，最高分是 94， 去掉一个最高分 94 和一个最低分 86 后， 故平均分是 （ 89+92+90+x+91+92） =91，解得 x=1， 故答案为： 1 第 6 页（共 24 页） 4甲、乙、丙三人一起玩 “黑白配 ”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出 “手心（白） ”、 “手背（黑） ”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负则一次游戏中甲胜出的概率是 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 根据题意，分析可得甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种，由分步计数原理可得三人进行游戏的全部情况数目，进而可得甲胜出的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案 【解答】 解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有 2 种，所以总共有 23=8 种方案， 而甲胜出的情况有： “甲黑乙白丙白 ”， “甲白乙黑丙黑 ”，共 2 种， 所以甲胜出的概率为 = ， 故答案为： 5执行如图所示的算法流程图，则输出 k 的值为 3 【考点】 程序框图 【分析】 根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 n=1，跳出循环，确定输出 k 的值 【解答】 解： n=13 是奇数， n= =6 1，不符，此时 k=1， n=6 是 偶数， n=3 1，不符，此时 k=2， n=3 是奇数， n=1=1，符合，此时 k=3， 故答案为： 3 6已知点 F 为抛物线 x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则直线 斜率为 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标，设出 A，利用抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，求出 A 的横坐标，然后求解斜率 第 7 页（共 24 页） 【解答】 解：由题可知焦点 F（ 1， 0），准线为 x= 1 设点 A（ 抛物线上位于 第一象限的点 A 到其准线的距离为 5， =5， ， ， 点 A（ 4， 4）， 直线 斜率为 = ， 故答案为： 7已知公差为 d 的等差数列 前 n 项和为 =3，则 = 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 设出等差数列的首项，由 =3 得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得 【解答】 解：设等差数列 首项为 ， 由 =3，得 ，即 d=4 = 故答案为： 8已知圆锥的母线长为 10面积为 60此圆锥的体积为 96 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积 【解答】 解：设圆锥的底面半径为 r，则 S 侧 = r 10=60，解得 r=6 圆缀的高 h= =8， 圆锥的体积 V= = =96 故答案为： 96 第 8 页（共 24 页） 9若实数 x， y 满足约束条件 ，则 |3x 4y 10|的最大值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域 ，而根据点到直线的距离公式可知转化为求阴影内的点到直线 而解得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， ， 直线 l 的方程为 3x 4y 10=0， 点 A 到直线 l 的距离最大， 由 解得， A（ ， ）， 故点 A 到直线 l 的距离 d= = ， 故 |3x 4y 10|的最大值为 5= ； 故答案为： 10已知函数 f（ x） =x 0， ）和函数 g（ x） = 图象交于 A， B， C 三点，则 面积为 【考点】 正切函数的图象；正弦函数的图象 第 9 页（共 24 页） 【分析】 根据题意，令 合 x 0， 求出 x 的值，得出三个点 A、 B、 C 的坐标，即可计算 面积 【解答】 解：根据题意，令 即 1 ） =0， 解得 或 1 =0， 即 或 ； 又 x 0， ， 所以 x=0 或 x= 或 x= ； 所以点 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， C（ ， ）； 所以 面积为 S= |AB|h= = 故答案为： 11若点 P， Q 分别是曲线 y= 与直线 4x+y=0 上的动点，则线段 的最小值为 【考点】 两点间距离公式的应用 【分析】 求出原函数的导函数，得到与直线 4x+y=0 平行的曲线的切线方程，由平行线间的距离公式求得线段 的最小值 【解答】 解：由 y= =1+ ，得 y= ， 由 ，得 ， x= 1 当 x=1 时， y=5，则与 4x+y=0 且与曲线 y= 相切的直线方程为 y 5= 4（ x 1），即 4x+y 9=0 此时两平行线间的距离为 ； 当 x= 1 时， y= 3，则与 4x+y=0 且与曲线 y= 相切的直线方程为 y+3= 4（ x+1），即4x+y+7=0 此时两平行线间的距离为 第 10 页（共 24 页） 曲线 y= 与直线 4x+y=0 上两动点 离的最小值为 故答案为： 12已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 ， 是相互垂直的单位向量，且（ ）（ ） =1， | |的最大值为 1+ 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 不妨设 =（ 1， 0）， =（ 0， 1），设 =（ x， y），根据 向量的坐标运算和数量积运算得到（ x ） 2+（ y ） 2=2，结合图形即可求出最大值 【解答】 解： ， 是相互垂直的单位向量， 不妨设 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， 设 =（ x， y）， =（ 1 x， y）， =（ x， y）， （ ） （ ） =1， （ 1 x） x y（ y） =1， x+y=1， （ x ） 2+（ y ） 2=2， 向量 的轨迹为以（ ， ）为圆心，以 为半径的圆， 圆心到原点的距离为 1， | |的最大值为 1+ 故答案为： 1+ 第 11 页（共 24 页） 13已知对满足 x+y+4=2任意正实数 x， y，都有 xy+ 0，则实数 （ ， 【考点】 基本不等式 【分析】 依题意，由正实数 x， y 满足 x+y+4=2求得 x+y 4，由 xy+ 0 恒成立可求得 a x+y+ 恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：因为正实数 x， y 满足 x+y+4=2 4（ x+y） 2，代入原式得（ x+y） 2 2（ x+y） 8 0，解得（ x+y） 4 或（ x+y） 2（舍去） 由 xy+ 0 可得 a（ x+y） （ x+y） 2+1，即 a x+y+ 令 t=x+y 4， +）， 则问题转化为 a t+ ， 因为函数 y=t+ 在 4， +）递增， 所以 + = ， 所以 a 故答案为：（ ， 14已知经过点 P（ 1， ）的两个圆 与直线 y= x， y=2x 相切，则这两圆的圆心距 于 【考点】 直线与圆的位置关系 第 12 页（共 24 页） 【分析】 设圆心坐标为（ x， y），由于圆与直线 y= x， y=2x 都相切，根据点到直线的距离公式得圆心只能在直线 y=x 上，设 a， a）， b， b），推导出 a， b 是方程（ 1 x） 2+（ ） 2= 的两根，由此能求出这两圆的圆心距 【解答】 解：设圆心坐标为（ x， y），由于圆与直线 y= x， y=2x 都相切， 根据点到直线的距离公式得： ，解得 y=x， 圆心只能在直线 y=x 上， 设 a， a）， b， b）， 则圆 方程为（ x a） 2+（ y a） 2= ， 圆 方程为（ x b） 2+（ y b） 2= ， 将（ 1， ）代入，得： ， a， b 是方程（ 1 x） 2+（ ） 2= ，即 =0 的两根， ， ， | = = = 故答案为： 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内 15如图，在梯形 ，已知 ， ， ， 2，求： （ 1） 长； （ 2） 面积 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 （ 1）根据 2 计算 出 使用正弦定理求出 第 13 页（共 24 页） （ 2）根据 80求出 使用余弦定理解出 S 【解答】 解：（ 1） 2， ， = 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 （ 2） 80， ， 在 ，由余弦定理得 2 即 40=5+2得 或 5（舍） S =7 16如图，在直三棱柱 ，已知 C， M， N， P 分别为 证： （ 1）平面 平面 （ 2） 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由已知条件推导出 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）取 点 E，连结 导出平面 平面 此能证明平面 【解答】 证明：（ 1） 在直三棱柱 ， C， M 是 中点， ， 平面 面 平面 平面 （ 2）取 点 E，连结 第 14 页（共 24 页） M， N， P 分别为 中点， M=M， E=E， 面 面 平面 平面 面 平面 17在平面直角坐标系 ，已知点 P（ 1， ）在椭圆 C： =1（ a b 0）上，P 到椭圆 C 的两个焦点的距 离之和为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若点 M， N 是椭圆 C 上的两点，且四边形 平行四边形，求点 M， N 的坐标 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由点 P（ 1， ）在椭圆上， P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4，列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）由题意设直线 y= ， A（ B（ 联立 ，消 去 y，得： 3mx+3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出 M、 N 的坐标 【解答】 解：（ 1） 点 P（ 1， ）在椭圆 C： =1（ a b 0）上， P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4， ，解得 a=2， b= ， 椭圆 C 的方程为 （ 2）由题意设直线 y= ， M（ N（ 第 15 页（共 24 页） 联立 ，消去 y，得： 3mx+3=0， 0， ， 四边形 平行四边形， | = ，解得 m= 3， 当 m=3 时，解方程： 3x+6=0，得 M（ 1， ）， N（ 2， 0）； 当 m= 3 时，解方程： 39x+6=0，得 M（ 1， ）， N（ 2， 6） 18经市场调查，某商品每吨的价格为 x（ 1 x 14）百元时，该商品的月供给量为 吨， y1=a（ a 0）；月需求量为 吨， x+1当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积 （ 1）若 a= ，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （ 2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数 模型的选择与应用 【分析】 （ 1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （ 2）设 f（ x） =y2=a（ x+1） = +a） x+ a 1，因为 a 0，所以 f（ x）在区间（ 1， 14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于 6百元，即函数 f（ x）在区间 6， 14）上有零点，即可得出结论 【解答】 解：（ 1）若 a= ， x ， x+1 x ， 1 x 14， 1 x 6，月销售量为 x ， 商品的月销售额等于（ x ） x，在（ 1， 6）上单调递增，（ x ） x ； x+1 x ， 1 x 14， 6 x 14，月销售量为 x+1， 第 16 页（共 24 页） 商品的月销售额等于 y=（ x+1） x， y= （ x 8）（ 3x+28）， 函数在（ 6， 8）上单调递增，（ 8， 14）上单调递减， x=8 时，取得最大值 ， 商品的价格为 8 元时，该商品的月销售额最大； （ 2）设 f（ x） =y2=a（ x+1） = +a） x+ a 1 因为 a 0，所以 f（ x）在区间（ 1， 14）上是增函数， 若该商品的均衡价格不低于 6 百元，即函数 f（ x）在区间 6， 14）上有零点， 所以 f（ 6） 0， f（ 14） 0， 所以 0 a 19已知函数 f（ x） = ， g（ x） =2a （ a R， e 为自然对数的底数） （ 1）求 f（ x）的极值； （ 2）在区间（ 0， e上，对于任意的 存在两个不同的 得 g（ =g（ f（ 求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （ 2）求出当 x （ 0， e时，函数 f（ x）的值域，通过讨论 a 的范围结合 g（ x）的单调性，求出 a 的具体范围即可 【解答】 解：（ 1）因为 f（ x） = ，所以 f（ x） = ， 令 f（ x） =0，得 x=1 当 x （ ， 1）时， f（ x） 0， f（ x）是增函数； 当 x （ 1， +）时， f（ x） 0， f（ x）是减函数 所以 f（ x）在 x=1 时取得极大值 f（ 1） =1，无极小值 （ 2）由（ 1）知，当 x （ 0， 1）时， f（ x）单调递增；当 x （ 1， e时， f（ x）单调递减 又因为 f（ 0） =0， f（ 1） =1， f（ e） =ee 0， 所以当 x （ 0， e时，函数 f（ x）的值域为（ 0， 1 当 a=0 时， g（ x） = 2（ 0， e上单调，不合题意； 当 a 0 时， g（ x） = ， x （ 0， e， 故必须满足 0 e，所以 a 此时，当 x 变化时， g（ x）， g（ x）的变化情况如下： x （ 0， ） （ ， e g（ x） 0 + g（ x） 单调减 最小 值 单调增 第 17 页（共 24 页） 所以 x0， g（ x） +， g（ ） =2 a 2 g（ e） =a（ e 1） 2， 所以对任意给定的 （ 0， e，在区间（ 0， e上总存在两个不同的 得 g（ =g（ =f（ 当且仅当 a 满足下列条件 ，即 ， 令 m（ a） =2 a 2 a （ ， +）， m（ a） = ，由 m（ a） =0，得 a=2 当 a （ 2， +）时， m（ a） 0，函数 m（ a）单调递减； 当 a （ ， 2）时， m（ a） 0，函数 m（ a）单调递增 所以，对任意 a （ ， +）有 m（ a） m（ 2） =0， 即 2 a 2 0 对任意 a （ ， +）恒成立 由 a（ e 1） 2 1，解得 a ， 综上所述，当 a ， +）时，对于任意给定的 0， e， 在区间（ 0， e上总存在两个不同的 得 g（ =g（ =f（ 20在数列 ， 已知 ， ， = （ k N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求满足 2=an+ 的正整数 n 的值； （ 3）设数列 前 n 项和为 是否存在正整数 m， n，使得 1？若存在，求出所有的正整数对（ m， n）；若不存在，请说明理由 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由题意可得数列 奇数项是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列；偶数项是以 2 为首项，公比为 3 的等比数列分别利用等差数 列与等比数列的通项公式即可得出 （ 2） 当 n 为奇数时，由 2=an+ 可得： =n+n+2，化为： =n+1，令 f（ x） =2 x 1（ x 1），利用导数研究函数的单调性即可得出 当 2=an+ 可得： 2（ n+1） =2 +2 ，化为： n+1=+ ，即可判断出不成立 第 18 页（共 24 页） （ 3） a1+1） +（ a2+=3n+1， n N* 1=n 1+1假设存在正整数 m， n，使得 1，化为 3n 1（ 3 m） =（ m 1）（ 1），可得 1， 2， 3分类讨论即可得出 【解答】 解：（ 1）由 ， ， = （ k N*）可得数列 奇数项是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列；偶数项是以 2 为首项，公比为 3 的等比数列 对任意正整数 k， 1=1+2（ k 1） =2k 1； 3k 1 数列 通项公式 ， k N* （ 2） 当 n 为奇数时，由 2=an+ 可得： =n+n+2，化为： =n+1， 令 f（ x） =2 x 1（ x 1）， 由 f（ x） = 1 1=1 0， 可知 f（ x）在 1， +）上是增函数， f（ x） f（ 1） =0， 当且仅当 n=1 时，满足 =n+1，即 2a2=a1+ 当 n 为偶数时，由 2=an+ 可得： 2（ n+1） =2 +2 ， 化为： n+1= + ， 上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立 综上，满足 2=an+ 的正整数 n 的值只有 1 （ 3） a1+1） +（ a2+= + =3n+1， nN* 1=n 1+1 假设存在正整数 m， n，使得 1， 则 3n+1=m（ 3n 1+1）， 3n 1（ 3 m） =（ m 1）（ 1），（ *） 从而 3 m 0， m 3， 又 m N*， m=1， 2， 3 当 m=1 时，（ *）式左边大于 0，右 边等于 0，不成立 当 m=3 时，（ *）式左边等于 0， 2（ 1） =0，解得 n=1， 当 m=2 时，（ *）式可化为 3n 1=（ n+1）（ n 1）， 则存在 N*， 得 n 1= ， n+1= ，且 k1+k2=n 1， 从而 = =2， =2， =1， 第 19 页（共 24 页） ， ，于是 n=2， 综上可知，符合条件的正整数对（ m， n）只有两对：（ 2， 2），（ 3， 1） 三 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4何证明选 讲 （本小题满分 10 分） 21如图， 圆 O 的直径，弦 延长线相交于点 E，过 E 作 延长线的垂线，垂足为 F求证： EC 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 连接 用 圆的直径结合 垂直关系，通过证明 A， D， E， E=F，再利用 到比例式，最后利用线段间的关系即求得 EC 【解答】 证明：连接 为 圆的直径， 所以 0， 又 0， 则 A， D， E， F 四点共圆， E=F， 又 ，即 F=C D C=F F= = B 选修 4阵与变换 （本小题满分 0 分） 22已知矩阵 A= ，向量 = ，计算 【考点】 特征向量的意义 第 20 页（共 24 页） 【分析】 令 f（ ） = =2 5+6=0，解得 =2 或 3分别对应的一个特征向量为 ； 设 =m +n 解得 m， n，即可得出 【解答】 解： f（ ） = =2 5+6，由 f（ ） =0，解得 =2 或 3 当 =2 时，对应的一个特征向量为 1= ；当 =3 时，对应的一个特征向量为 2= 设 =m +n 解得 2 25 +1 35 = C 选修 4标系与参数方程 （本小题满 分 0 分） 23在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），求直线 的交点 P 的直角坐标 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 x， y， 2=x2+行代换将极坐标方程化成直角坐标方程再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方 程求出交点即可 【解答】 解：因为直线 l 的极坐标方程为 所以直线 l 的普通方程为 ， 又因为曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 所以曲线 C 的直角坐标方程为 ， 联立解方程组得 或 ， 根据 x 的范围应舍去 ， 故 P 点的直角坐标为（ 0， 0） D 选修 4等式选讲 （本小题满分 0 分） 24已知 a、 b R， a b e（其中 e 是自然对数的底数），求证： 提示：可考虑用分析法找思路） 【考点】 分析法和综合法 【分析】 直接利用分析法的证明步骤，结合函数的单调性证明即可 【解答】 证明： 0， 0， 第 21 页（共 24 页） 要证： 要证： 要证 （ a b e） 取函数 ， 当 x e 时， ， 函数 在 上是单调递减 当 a b e 时，有 ， 即 得证 四 .必做题 第 22、 23 题，每小题 0 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内 25已知甲箱中装有 3 个红球、 3 个黑球，乙箱中装有 2 个红球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出 2 个球，共 4 个球若摸出 4 个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有 3 个红球，则获得二等奖；摸出的球中有 2 个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖每次摸球结束后将球放回原箱中 （ 1）求在 1 次摸奖中，获得二等奖的概率； （ 2）若连续摸奖 2 次，求获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随