锦州市2015-2016学年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z= 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 M=1，（ 3m 1） +（ 5m 6） i， N=1， 3， MN=1， 3，则实数m 的值为（ ） A 4 B 1 C 4 或 1 D 1 或 6 3下列框图中是流程图的是（ ） A BCD 4设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B C 1 D 2 5类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（ ） 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一直线的两条直线平行； 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 A B C D 6观察下式： 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， ，则第 n 个式子是（ ） A n+（ n+1） +（ n+2） +（ 2n 1） = n+（ n+1） +（ n+2） +（ 2n 1） =（ 2n 1） 2 C n+（ n+1） +（ n+2） +（ 3n 2） =（ 2n 1） 2 D n+（ n+1） +（ n+2） +（ 3n 1） =（ 2n 1） 2 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x）=ax+b 的图象大致为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B CD 8 “因为对数函数 y=增函数（大前提），而 y= 是对数函数（小前提），所以y= 是增函数（结论） ”上面推理的错误是（ ） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 C推理形式错导致结论错 D大前提和小前 提都错导致结论错 9变量 x， y 具有线性相关关系，当 x 取值为 16， 14， 12， 8 时，通过观测得到 y 的值分别为 11， 9， 8， 5若在实际问题中，预测当 y=10 时， x 的近似值为（ ） （参考公式： ， = ） A 14 B 15 C 16 D 17 10函数 f（ x） =2x 1+零点所在的一个区间是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， 1） D（ 1， 2） 11下列说法 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； 设有一个回归 方程 ，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 5 个单位； 线性回归方程 必过点 ； 在一个 2 2列联表中，由计算得 2=其两个变量间有关系的可能性是小于 90% 独立性检验临界值表 P（ 2 k） 中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 3 页（共 17 页） 12已知函数 f（ x） =0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 于 1，则 的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 0 分 .） 13如果质点 M 按规律 s=3+动，则在一小段时间 2， 相应的平均速度是 14用反证法证明命题 “若 a2+，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 15如图是集合的知识结构图，如果要加入 “子集 ”，则应该放在 的下位 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， +），且 f（ x） =2f（ ） 1，则 f（ x） = 三解答题（共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+x， y R），且 x2+， 3+4i） 3 4i） （ I） 求证： R； （ 最大值和最小值 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 x，其中 x 为销售量（单位 ：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 19已知 a b 0，求证： 20第 24 届冬奥会将于 2022 年在我国北京和张家口举行，为了搞好接待工作，组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者，调查发现，男，女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动，其余人不喜爱运动 （ I）根据以上数据完成以下 2 2 列联表： 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 16 女 6 14 总计 30 （ 据列联表的 独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为性别与喜爱运动有关？ （ 果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有 4 人会外语），抽取 2 名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是多少？ 附： 第 4 页（共 17 页） 独立检验临界值表： P（ 2 1对于函数 f（ x），若存在 R，使 f（ =立，则称 f（ x）的不动点 已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=对称，求 b 的最小值 22已知函数 f（ x） = 2a+1） x+2a R） （ ）若曲线 y=f（ x）在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行，求 a 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =2x，若对任意 （ 0， 2，均存在 （ 0， 2，使得 f（ g（ 求 a 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2015年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z= 在复平面 内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则及其几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z= = = = 在复平面内对应的点所在的象限为第四 象限 故选： D 2已知集合 M=1，（ 3m 1） +（ 5m 6） i， N=1， 3， MN=1， 3，则实数m 的值为（ ） A 4 B 1 C 4 或 1 D 1 或 6 【考点】 复数相等的充要条件；交集及其运算 【分析】 根据题意，由交集的定义可得 3 M，结合集合 M，可得（ 3m 1） +（ m 6） i=3，进而由复数相等的意义，可得（ 3m 1） =3 且（ 5m 6） =0，解可得 m 的值 【解答】 解：根据题意，若 MN=1， 3，则 3 M， 而 M=1，（ 3m 1） +（ 5m 6） i， 则有（ 3m 1） +（ 5m 6） i=3， 即（ 3m 1） =3 且（ 5m 6） =0， 解可得 m= 1， 故选： B 3下列框图中是流程图的是（ ） A BCD 【考点】 流程图的概念 第 6 页（共 17 页） 【分析】 流程线表示操作的先后次序 ，由流程图的概念即可得解 【解答】 解：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中流程线表示操作的先后次序 故选： A 4设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由条件利用函数的奇偶性的性质求得 f（ 1）的值，再根据 f（ 1） =f（ 1+2） = f（ 1） +f（ 2），求得 f（ 2）的值，从而求得 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2）的值 【解答】 解：函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2）， f（ 0） =0， 且 f（ 1） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） = f（ 1） +f（ 2）， f（ 2） =2f（ 1） =1， 则 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） = +1= ， 故选： B 5类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（ ） 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一直线的两条直线平行； 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 A B C D 【考点】 类比推理 【分析】 对四个命题进行判断，即可得出结论 【解答】 解：根据平行公理，可知 正确； 垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故不正确 ； 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义，故正确； 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则不一定与另一条相交，也可能异面，故不正确 故选： B 6观察下式： 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， ，则第 n 个式子是（ ） A n+（ n+1） +（ n+2） +（ 2n 1） = n+（ n+1） +（ n+2） +（ 2n 1） =（ 2n 1） 2 C n+（ n+1） +（ n+2） +（ 3n 2） =（ 2n 1） 2 D n+（ n+1） +（ n+2） +（ 3n 1） =（ 2n 1） 2 【考点】 归纳推理 【分析】 观察所给的等式，右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决 【解答】 解： 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， ， 第 7 页（共 17 页） n+（ n+1） +（ n+2） +（ n+2n 2） =（ 2n 1） 2， 故选： C 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x）=ax+b 的图象大致为（ ） A B CD 【考点】 指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据题意，易得（ x a）（ x b） =0 的两根为 a、 b，又由函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上，又由 a b，可得 b 1，0 a 1；根据函数图象变化的规律可得 g（ x） =aX+b 的单调性即与 y 轴交点的位置，分析选项可得答案 【解答】 解：由二次方程的解法易得（ x a）（ x b） =0 的两根为 a、 b； 根据函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，即函数图象与 x 轴交点的横坐标； 观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上， 又由 a b，可得 b 1， 0 a 1； 在函数 g（ x） =ax+b 可得，由 0 a 1 可得其是减函数， 又由 b 1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方； 分析选项可得 A 符合这两点， 不满足； 故选 A 8 “因为对数函数 y=增函数（大前提），而 y= 是对数函数（小前提），所以y= 是增函数（结论） ”上面推理的错误是（ ） 第 8 页（共 17 页） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 C推理形 式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 【考点】 进行简单的演绎推理 【分析】 当 a 1 时，对数函数 y=增函数，当 0 a 1 时，对数函数 y=减函数，故可得结论 【解答】 解：当 a 1 时，对数函数 y=增函数，当 0 a 1 时，对数函数 y=减函数， 故推理的大前提是错误的 故选 A 9变量 x， y 具有线性相关关系，当 x 取值为 16， 14， 12， 8 时，通过观测得到 y 的值分别为 11， 9， 8， 5若在实际问题中，预测当 y=10 时， x 的近似值为（ ） （参考公式 ： ， = ） A 14 B 15 C 16 D 17 【考点】 线性回归方程 【分析】 本题考查的知识点是线性回归方程的求法，由已知中 x 取值为 16， 14， 12， 8 时，y 的值分别为 11， 9， 8， 5我们可以计算出 = = 38， =660代入回归系数计算公式即可计算出斜率 b 的值，再求出 a 值，代入即可得到回归直线的方程再将 y=10 代入，即得答案 【解答】 解：由题意得： = = 38， =660 则 b= a= 故回归直线方程为 y= 由 y= 得 x=15， 故选： B 10函数 f（ x） =2x 1+零点所在的一个区间是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 第 9 页（共 17 页） 【分析】 根据函数 f（ x） =2x 1+（ 0， +）单调递增， f（ 1） =1， f（ ） = 1，可判断分析 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x 1+（ 0， +）单调递增 f（ 1） =1， f（ ） = 1， 根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（ ）， 故选： C 11下列说法 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； 设有一 个回归方程 ，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 5 个单位； 线性回归方程 必过点 ； 在一个 2 2列联表中，由计算得 2=其两个变量间有关系的可能性是小于 90% 独立性检验临界值表 P（ 2 k） 中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据方差的性质进行判断， 回归系数为 5，则变量 x 增加一个单位时， y 平均减少 5， 回归直线必须过样本中心， 根据独立性检验临界值表，求出对应的概率即可 【解答】 解： 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，根据方差的性质得方差不变；故 正确， 设有一个回归方程 ，变量 x 增加一个单位时， y 平均减少 5 个单位；故 错误， 根据回归方程的性质得线性回归方程 必过点 ；故 正确， 在一个 2 2 列联表中，由计算得 2= P（ 2 =则其两个变量间有关系的可能性是超过 故 错误， 故错误是 ， 故选： B 12已知函数 f（ x） =0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 于 1，则 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 第 10 页（共 17 页） 【分析】 由于 f（ x） = ， f（ = ， f（ =f（ 可得 =ln x0+，即 = ln 0 1，可得 ln 1，即 1，即可得出 【解答】 解： f（ x） = ， f（ = ， f（ =f（ =ln x0+， = ln 又 0 1， 可得 ln 1，即 1， （ ， ） 故选： A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 0 分 .） 13如果质点 M 按规律 s=3+动，则在一小段时间 2， 相应的平均速度是 【考点】 定积分 【分 析】 根据平均速度的计算公式进行计算即可 【解答】 解： 质点 M 按规律 s=s（ t） =3+动， 在一小段时间 2， 相应的平均速度 v= = = 故答案为： 4用反证法证明命题 “若 a2+，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 a， b 不全为 0 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 把要证的结论否定之 后，即得所求的反设 【解答】 解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题 “若 a2+，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 a， b 不全为 0， 故答案为： a， b 不全为 0 15如图是集合的知识结构图，如果要加入 “子集 ”，则应该放在 “基本关系 ” 的下位 【考点】 结构图 第 11 页（共 17 页） 【分析】 根据由于 “子集 ”是在基本关系中的概念，故要加入 “子集 ”，则应该放在 “集合 ”的下位 “集合的运算 ”的下位 “基本关系 ”的下位上 ，进而得到答案 【解答】 解：由于 “子集 ”是在基本关系中的概念 故子集应放在 “集合 ”的下位 “集合的运算 ”的下位 “基本关系 ”的下位上 故答案为： “基本关系 ” 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， +），且 f（ x） =2f（ ） 1，则 f（ x） = + 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据 f （ x） =2f （ ） 1，考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（ ），用 代替 x 代入 f （ x） =2f （ ） 1，解关于入 f （ x）与 f （ ）的方程组，即可求得 f（ x） 【解答】 解：考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（ ），故可考虑利用换元法进行求解 在 f（ x） =2f（ ） 1，用 代替 x， 得 f（ ） =2f（ x） 1，将 f（ ） = 1 代入 f（ x） =2f（ ） 1 中，可求得 f（ x） = + 故答案为： + 三解答题（共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+x， y R），且 x2+， 3+4i） 3 4i） （ I） 求证： R； （ 最大值和最小值 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 （ ）求出 共轭复数，再代入计算即可证明， （ ）设 u=6x 8y，代入 x2+ 消去 y 得，根据判别式法即可求出 【解答】 解：（ ）证明 z1=x+ 1=x x， y R）， 1=2x， 1=2 3+4i） 3 4i） 1， =3（ ） +4i（ 1） =6x+8 6x 8y） R （ ）解 x2+， 设 u=6x 8y，代入 x2+ 消去 y 得 64 6x u） 2=64 10012ux+64=0 第 12 页（共 17 页） x R， 0 1444 100（ 64） 0 100 0 10 u 10 最大值是 10，最小值是 10 18某公司在甲、乙两地销售 同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 x，其中 x 为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 先根据题意，设甲销售 x 辆，则乙销售（ 15 x）辆，再列出总利润 y 的表达式，是一个关于 x 的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可 【解答】 解：设甲地销售 x 辆，则乙地销售 15 x 辆， 0 x 15， 则该公司能获得的最大利润 y=（ 15 x） = 0， 当 x=， S 取最大值 又 x 必须是整数，故 x=10，此时 元） 即甲地销售 10 辆，则乙地销售 5 辆时，该公司能获得的最大利润为 元 19已知 a b 0，求证： 【考点】 基本不等式 【分析】 可以看出中间项为 0，可采用做商比较法或做差比较法 【解答】 解： 又 = = a b 0， ，所以上式大于 1， 故 成立， 同理可证 第 13 页（共 17 页） 20第 24 届冬奥会将于 2022 年在我国北京和张家口举行，为了搞好接待工作，组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者，调查发现，男，女 志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动，其余人不喜爱运动 （ I）根据以上数据完成以下 2 2 列联表： 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 16 女 6 14 总计 30 （ 据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为性别与喜爱运动有关？ （ 果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有 4 人会外语），抽取 2 名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是多少？ 附： 独立检验临界值表： P（ 2 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ I）由题中条件补充 2 2 列联表中的数据， （ 用 2 2 列联表中的数据，计算出 性别与喜爱运动有关的程度进行判断， （ 欢运动的女志愿者有 6 人，总数是从 这 6 人中挑两个人，而有 4 人会外语，求出满足条件的概率即可 【解答】 解：（ I） 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 （ 设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得 75 因此，在犯错误的概率不超过 前提下不能判断喜爱运动与性别有关 （ 欢运动的女志愿者有 6 人， 设喜欢运动的女志愿者分别为 A、 B、 C、 D、 E、 F，其中 A、 B、 C、 D 会外语，则从这 6人中任取 2 人有 F，共 15 种取法， 其中两人 都不会外语的只有 1 种取法 故抽出的志愿者中至少有 1 人能胜任翻译工作的概率是 P=1 = 21对于函数 f（ x），若存在 R，使 f（ =立，则称 f（ x）的不动点已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） 第 14 页（共 17 页） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=对称，求 b 的最小值 【考点】 二次函数的性质；二次函数的图象；函数与方程的综合运用 【分析】 （ 1）转化为直接解方程 x 3=x 即可 （ 2）转化为 bx+b 1=0 有两个不等实根，转化为 4a（ b 1） 0 恒成立，再利用二次函数大于 0 恒成立须满足的条件来求解即可 （ 3）利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直 找到 a， b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得 【解答】 解：（ 1） a=1， b= 2 时， f（ x） =x 3， f（ x） =x2x 3=0x= 1， x=3 函数 f（ x）的不动点为 1 和 3； （ 2）即 f（ x） = b+1） x+b 1=x 有两个不等实根， 转化为 bx+b 1=0 有两个不等实根，须有判别式大于 0 恒成立 即 4a（ b 1） 0 =（ 4a） 2 4 4a 00 a 1， a 的取值范围为 0 a 1； （ 3）设 A（ B（ 则 x1+ ， A， B 的中点 M 的坐标为 （ ， ），即 M（ ， ） A、 B 两点关于直线 y=对称， 又因为 A， B 在直