锦州市2015-2016学年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z= 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 M=1，（ 3m 1） +（ 5m 6） i， N=1， 3， MN=1， 3，则实数m 的值为（ ） A 4 B 1 C 4 或 1 D 1 或 6 3（ 2x+5y） n 展开式中第 k 项的二项式系数为（ ） A B 2n D 2n+1 1 4设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B C 1 D 2 5下列值等于 1 的积分是（ ） A （ x+1） 1 “因为对数函数 y=增函数（大前提），而 y= 是对数函数（小前提），所以y= 是增函数（结论） ”上面推理的错误是（ ） A大前提错导致结论错 B小前提错导致结论错 C推理形式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x）=ax+b 的图象大致为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B CD 8某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大 认为作业量不大 总计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 总计 26 24 50 则推断 “学生的性别与认为作业量大有关 ”的把握大约为（ ） 附： 2= 独立性检验临界值表 P（ 2 k） 99% B 95% C 90% D不确定 9下列命题中，正确的命题个数是（ ） 用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时， r 越接近 0，说明两个变量有较强的相关性； 将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变； 某厂生产的零件外直径 x N（ 3， 1），且 p（ 2 x 4） = p（ x 4） =用数学归纳法证明不等式 + + （ n 2， n N*）的过程中，由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式的左边增加项为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 10甲、 乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为 “三个人去的景点不相同 ”，事件 B 为 “甲独自去一个景点 ”，则概率 P（ A|B）等于（ ） A B C D 11从 1， 2， 3， 4， 9， 18 六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有（ ） A 21 B 20 C 19 D 17 12已知函数 f（ x） =0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 于 1，则 的取值范围为（ ） 第 3 页（共 16 页） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每 小题 5 分 0 分 .） 13如果质点 M 按规律 s=3+动，则在一小段时间 2， 相应的平均速度是 14用反证法证明命题 “若 a2+，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 15设 a Z，且 0 a 13，若 512016+a 能被 13 整除，则 a= 16已知函数 f（ x）的定义域为（ 0， +），且 f（ x） =2f（ ） 1，则 f（ x） = 三解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+x， y R），且 x2+， 3+4i） 3 4i） （ I） 求证： R； （ 最大值和最小值 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 x，其中 x 为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万 元？ 19已知 a b 0，求证： 20设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 买乙种商品的概率为 购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的 （ I） 求进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率； （ 进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率； （ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列 21对于函数 f（ x），若存在 R，使 f（ =立，则称 f（ x）的不动点已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=对称，求 b 的最小值 22已知函数 f（ x） = 2a+1） x+2a R） （ ）若曲线 y=f（ x）在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行，求 a 的值； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =2x，若对任意 （ 0， 2，均存在 （ 0， 2，使得 f（ g（ 求 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2015年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知 i 是虚数单位，则复数 z= 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则及其几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z= = = = 在复平面内对应的点所在的象限为第四象限 故选： D 2已知集合 M=1，（ 3m 1） +（ 5m 6） i， N=1， 3， MN=1， 3，则实数m 的值为（ ） A 4 B 1 C 4 或 1 D 1 或 6 【考点】 复数相等的充要条件；交集及其运算 【分析】 根据题意，由交集的定义可得 3 M，结合集合 M，可得（ 3m 1） +（ m 6） i=3，进而由复数相等的意义，可得（ 3m 1） =3 且（ 5m 6） =0，解可得 m 的值 【解答】 解：根据题意，若 MN=1， 3，则 3 M， 而 M=1，（ 3m 1） +（ 5m 6） i， 则有（ 3m 1） +（ 5m 6） i=3， 即（ 3m 1） =3 且（ 5m 6） =0， 解可得 m= 1， 故选： B 3（ 2x+5y） n 展开式中第 k 项的二项式系数为（ ） A B 2n D 2n+1 1 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 直接根据二项式的性质即可求出 【解答】 解：（ 2x+5y） n 展开式中第 k 项的二项式系数为 1， 故选： C 第 5 页（共 16 页） 4设函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2），则 f（ 3） =（ ） A B C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析 】 由条件利用函数的奇偶性的性质求得 f（ 1）的值，再根据 f（ 1） =f（ 1+2） = f（ 1） +f（ 2），求得 f（ 2）的值，从而求得 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2）的值 【解答】 解：函数 f（ x）（ x R）为奇函数， f（ 1） = ， f（ x+2） =f（ x） +f（ 2）， f（ 0） =0， 且 f（ 1） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） = f（ 1） +f（ 2）， f（ 2） =2f（ 1） =1， 则 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） = +1= ， 故选： B 5下列值等于 1 的积分是（ ） A （ x+1） 1 考点】 定积分的 简单应用 【分析】 分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为 1 即可 【解答】 解：选项 A， ，不满足题意； 选项 B， （ x+1） x2+x） = +1= ，不满足题意； 选项 C， 1dx=x =1 0=1，满足题意； 选项 D， x = 0= ，不满足题意； 故选 C 6 “因为对数函数 y=增函数（大前提），而 y= 是对数函数（小前提），所以y= 是增函数（结论） ”上面推理的错误是（ ） A大前提错导致结论错 B 小前提错导致结论错 C推理形式错导致结论错 D大前提和小前提都错导致结论错 【考点】 进行简单的演绎推理 【分析】 当 a 1 时，对数函数 y=增函数，当 0 a 1 时，对数函数 y=减函数，故可得结论 【解答】 解：当 a 1 时，对数函数 y=增函数，当 0 a 1 时，对数函数 y=减函数， 故推理的大前提是错误的 第 6 页（共 16 页） 故选 A 7已知函数 f（ x） =（ x a）（ x b）（其中 a b），若 f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x）=ax+b 的图象大致为（ ） A B CD 【考点】 指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据题意，易得（ x a）（ x b） =0 的两根为 a、 b，又由函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上，又由 a b，可得 b 1，0 a 1；根据函数图象变化的规律可得 g（ x） =aX+b 的单调性即与 y 轴交点的位置，分析选项可得答案 【解答】 解：由二次方程的解法易得（ x a）（ x b） =0 的两根为 a、 b； 根据函数零点与方程的根的关系，可得 f（ x） =（ x a）（ x b）的零点就是 a、 b，即函数图象与 x 轴交点的横坐标； 观察 f（ x） =（ x a）（ x b）的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间（ ， 1）与（ 0， 1）上， 又由 a b，可得 b 1， 0 a 1； 在函数 g（ x） =ax+b 可得，由 0 a 1 可得其是减函数， 又由 b 1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方； 分析选项可得 A 符合这两点， 不满足； 故选 A 8某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大 认为作业量不大 总计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 总计 26 24 50 第 7 页（共 16 页） 则推断 “学生的性别与认为作业量大有关 ”的把握大约为（ ） 附： 2= 独立性 检验临界值表 P（ 2 k） 99% B 95% C 90% D不确定 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据表中所给的数据，代入求观测值的算式，求出观测值，把所求的观测值同临界值进行比较，得到 “学生的性别与认为作业量大有关 ”的把握 【解答】 解： 根据表中数据得到 推断 “学生的性别与认为作业量大有关 ”的把握 大约为 95% 故选： B 9下列命题中，正确的命题个数是（ ） 用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时， r 越接近 0，说明两个变量有较强的相关性； 将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变； 某厂生产的零件外直径 x N（ 3， 1），且 p（ 2 x 4） = p（ x 4） =用数学归纳法证明不等式 + + （ n 2， n N*）的过程中，由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式的左边增加项为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据相关系数 r 的性质进行判断， 根据期望和方差的定义和性质进行判断， 根据正态分布的性质进行求解 比较当 n=k 和 n=k+1 时，左边项的变化进行判断 【解答】 解： 两个变量之间的相关系数， r 的绝对值越接近于 1，表示两个变量的线性相关性越强， r 的绝对值越接近于 0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故 不正确； 将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数后，期望改变，方差不变，正确，故 正确， 某厂生产的零件外直径 x N（ 3， 1），且 p（ 2 x 4） = p（ 3 x 4） = p（ x 4） = 正确， 用数学归纳法证明不等式 + + （ n 2， n N*）的过程中， 当 n=k 时，左边为 + + ， 当 n=k+1 时，左边为 + + + = + + +（ + ）， 第 8 页（共 16 页） 故左边增加的项是 + ，故 错误， 故正确的是 ， 故选： B 10甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为 “三个人去的景点不相同 ”，事件 B 为 “甲独自去一个景点 ”，则概率 P（ A|B）等于（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论 【解答】 解：甲独自去一个景点，则有 3 个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为 2 2=4 所以甲独自去一个景点的可能性为 3 2 2=12 因为三个人去的景点不同的可能性为 3 2 1=6， 所以 P（ A|B） = = 故选： C 11从 1， 2， 3， 4， 9， 18 六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有（ ） A 21 B 20 C 19 D 17 【考点】 排列、组合及简单计数问题；对数的运算性质 【分析】 分构成的对数式含 1，不含 1 两种情况讨论，注意重复情况 【解答】 解：当构成的对数式含有 1 时，得到的对数值为 0； 当构成的对数式不含 1 时，有 =20 种，其中 复 4 个，有 20 4=16 个； 综上，可以得到 1+16=17 种不同的对数值， 故选： D 12已知函数 f（ x） =0 ）的导函数为 f（ x），若方程 f（ x） =f（ x）的根 于 1，则 的取值范围为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由于 f（ x） = ， f（ = ， f（ =f（ 可得 =ln x0+，即 = ln 0 1，可得 ln 1，即 1，即可得出 【解答】 解： f（ x） = ， f（ = ， f（ =f（ 第 9 页（共 16 页） =ln x0+， = ln 又 0 1， 可得 ln 1，即 1， （ ， ） 故选： A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 0 分 .） 13如果质点 M 按规律 s=3+动，则在一小段时间 2， 相应的平均速度是 【考点】 定积分 【分析】 根据平均速度的计算公式进行计算即可 【解答】 解： 质点 M 按规律 s=s（ t） =3+动， 在一小段时间 2， 相应的平均速度 v= = = 故答案为： 4用反证法证明命题 “若 a2+，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 a， b 不全为 0 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 把要证的结论否定之后，即得所求的反设 【解答】 解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题 “若 a2+，则 a， b 全为 0 （ a， b 为实数） ”，其反设为 a， b 不全为 0， 故答案为： a， b 不全为 0 15设 a Z，且 0 a 13，若 512016+a 能被 13 整除，则 a= 12 【考点】 整除的定义 【分析】 由于 512016+a=（ 52 1） 2016+a，按二项式定理展开，根据题意可得 （ 1）2016+a 能被 13 整除，再由 0 a 13，确定出 a 的值 【解答】 解： 512016+a=（ 52 1） 2016+a = 522016+ 522015（ 1） 1+ 522014（ 1） 2+ （ 1） 2016+a， 除最后两项外，其余各项都有 13 的倍数 52， 故由题意可得 （ 1） 2016+a 能被 13 整除， 0 a 13， 第 10 页（共 16 页） a=12， 故答案为： 12 16已知函数 f（ x）的定义 域为（ 0， +），且 f（ x） =2f（ ） 1，则 f（ x） = + 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据 f （ x） =2f （ ） 1，考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（ ），用 代替 x 代入 f （ x） =2f （ ） 1，解关于入 f （ x）与 f （ ）的方程组，即可求得 f（ x） 【解答】 解：考虑到所给式子中含有 f（ x）和 f（ ），故可考虑利用换元法进行求解 在 f（ x） =2f（ ） 1，用 代替 x， 得 f（ ） =2f（ x） 1，将 f（ ） = 1 代入 f（ x） =2f（ ） 1 中，可求得 f（ x） = + 故答案为： + 三解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17已知 i 是虚数单位， z1=x+x， y R），且 x2+， 3+4i） 3 4i） （ I） 求证： R； （ 最大值和最小值 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 （ ）求出 共轭复数，再代入计算即可证明， （ ）设 u=6x 8y，代入 x2+ 消去 y 得，根据判别式法即可求出 【解答】 解：（ ）证明 z1=x+ 1=x x， y R）， 1=2x， 1=2 3+4i） 3 4i） 1， =3（ ） +4i（ 1） =6x+8 6x 8y） R （ ）解 x2+， 设 u=6x 8y，代入 x2+ 消去 y 得 64 6x u） 2=64 10012ux+64=0 x R， 0 1444 100（ 64） 0 100 0 第 11 页（共 16 页） 10 u 10 最大值是 10，最小值是 10 18某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 x，其中 x 为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 先根据题意，设甲销售 x 辆，则乙销售（ 15 x）辆，再列出总利润 y 的表达式，是一个关于 x 的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可 【解答】 解：设甲地销售 x 辆，则乙地销售 15 x 辆， 0 x 15， 则该公司能获得的最大利润 y=（ 15 x） = 0， 当 x=， S 取最大值 又 x 必须是整数，故 x=10，此时 元） 即甲地销售 10 辆，则乙地销售 5 辆时，该公司能获得的最大利润为 元 19已知 a b 0，求证： 【考点】 基本不等式 【分析】 可以看出中间项为 0，可采用做商比较法或做差比较法 【解答】 解： 又 = = a b 0， ，所以上式大于 1， 故 成立， 同理可证 20设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 买乙种商品的概率为 购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的 （ I） 求进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率； （ 进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率； 第 12 页（共 16 页） （ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲，乙两种商 品中的一种的人数，求 的分布列 【考点】 离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种 C=A + B由此能求出进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一 种的概率 （ ） = ，由此利用对立事件概率计算公式能求出进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率 P（ D） （ ） B（ 3， 由此能求出 的分布列 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）记 A 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲种商品， B 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买乙种商品， C 表示事件：进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， D 表示事件：进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种 C=A + B 进入商场的 1 位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率： P（ C） =P（ A + B） =P（ A ） +P（ B） =P（ A） P（ ） +P（ ） P（ B） =（ ） = ， P（ ） =P（ ） =P（ ） P（ ） = 进入商场的 1 位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率 P（ D） =1 P（ ） =（ ） B（ 3， P（ =0） = P（ =1） = P（ =2） = P（ =3） = 的分布列为 0 1 2 3 P 21对于函数 f（ x），若存在 R，使 f（ =立，则称 f（ x）的不动点已知f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）当 a=1， b= 2 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒 有两个相异的不动点，求 a 的范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 y=对称，求 b 的最小值 【考点】 二次函数的性质；二次函数的图象；函数与方程的综合运用 【分析】 （ 1）转化为直接解方程 x 3=x 即可 第 13 页（共 16 页） （ 2）转化为 bx+b 1=0 有两个不等实根，转化为 4a（ b 1） 0 恒成立，再利用二次函数大于 0 恒成立须满足的条件来求解即可 （ 3）利用两点关于直线对 称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直找到 a， b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得 【解答】 解：（ 1） a=1， b= 2 时， f（ x） =x 3， f（ x） =x2x 3=0x= 1， x=3 函数 f（ x）的不动点为 1 和 3； （ 2）即 f（ x） = b+1） x+b 1=x 有两个不等实根， 转化为 bx+b 1=0 有两个不等实根，须有判别式大于 0 恒成立 即 4a（ b 1） 0 =（ 4a） 2 4 4a 00 a 1， a 的取值范围为 0 a 1； （ 3）设 A（ B（ 则 x1+ ， A， B 的中点 M 的坐标为 （ ， ），即 M（ ， ） A、 B 两点关于直线 y=对称， 又因为 A， B 在 直线 y=x 上， k= 1