2.2用配方法求解一元二次方程同步试卷含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年北师大版九年级数学上册同步测试： 配方法求解一元二次方程 一、选择题（共 15 小题） 1已知 b 0，关于 x 的一元二次方程（ x 1） 2=b 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D有两个实数根 2已知关于 x 的一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ） A m B m 0 C m 1 D m 2 3一元二次方程（ x+6） 2=16 可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是 x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A x 6= 4 B x 6=4 C x+6=4 D x+6= 4 4用配方法解方程 2x 1=0 时，配方后得的方程为（ ） A（ x+1） 2=0 B（ x 1） 2=0 C（ x+1） 2=2 D（ x 1） 2=2 5用配方法解一元二次方程 6x 10=0 时，下列变形正确的为（ ） A（ x+3） 2=1 B（ x 3） 2=1 C（ x+3） 2=19 D（ x 3） 2=19 6一元二次方程 8x 1=0 配方后可变形为（ ） A（ x+4） 2=17 B（ x+4） 2=15 C（ x 4） 2=17 D（ x 4） 2=15 7用配方法解一元二次方程 6x 4=0，下列变形正确的是（ ） A（ x 6） 2= 4+36 B（ x 6） 2=4+36 C（ x 3） 2= 4+9 D（ x 3） 2=4+9 8用配方法解方程 2x 5=0 时，原方程应变形为（ ） A（ x+1） 2=6 B（ x 1） 2=6 C（ x+2） 2=9 D（ x 2） 2=9 9若一元二次方程式 a（ x b） 2=7 的两根为 ，其中 a、 b 为两数，则 a+b 之值为何？（ ） A B C 3 D 5 10一元二次方程 2x 1=0 的解是（ ） A x1= B + ， 1 C + ， D 1+ ， 1 11用配方法解方程 0x+9=0，配方后可得（ ） A（ x+5） 2=16 B（ x+5） 2=1 C（ x+10） 2=91 D（ x+10） 2=109 第 2 页（共 20 页） 12用配方法解一元二次方程 bx+c=0（ a 0），此方程可变形为（ ） A（ x+ ） 2= B（ x+ ） 2= C（ x ） 2= D（ x ） 2= 13若一元二次方程式 42x 1147=0 的两根为 a、 b，且 a b，则 3a+b 之值为何？（ ） A 22 B 28 C 34 D 40 14关于 x 的方程 m（ x+h） 2+k=0（ m， h， k 均为常数， m 0）的解是 3， ，则方程 m（ x+h 3） 2+k=0 的解是（ ） A 6， 1 B ， C 3， D 6， 15 一元二次方程 3（ x 1） 2=15 的两个解，且 列说法正确的是（ ） A 于 1， 于 3 B 于 2， 于 3 C 1 和 3 之间 D 小于 3 二、填空题（共 7 小题） 16方程 的解是 17一元二次方程 2 x=0 的解是 18若将方程 x=7 化为（ x+m） 2=16，则 m= 19将 x+3 配方成（ x+m） 2+n 的形式，则 m= 20方程 2x 2=0 的 解是 21方程 2x 1=0 的解是 22若一元二次方程 b（ 0）的两个根分别是 m+1 与 2m 4，则 = 三、解答题（共 8 小题） 23解方程： 6x 4=0 24有 n 个方程： x 8=0； 2x 8 22=0； 8 小静同学解第一个方程 x 8=0 的步骤为： “x=8； x+1=8+1； （ x+1） 2=9； x+1= 3； x=1 3； ， 2 ” （ 1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的 第 3 页（共 20 页） （ 2）用配方法解第 n 个方程 8（用含有 n 的式子表示方程的根） 25解方程：（ 2x 1） 2=x（ 3x+2） 7 26解方程 （ 1） 2x 1=0 （ 2） = 27嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的求根公式时，对于 40 的情况，她是这 样做的： 由于 a 0，方程 bx+c=0 变形为： x= ， 第一步 x+（ ） 2= +（ ） 2， 第二步 （ x+ ） 2= ， 第三步 x+ = （ 40）， 第四步 x= ， 第五步 嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当 40 时，方程 bx+c=0（ a O）的求根公式是 用配方法解方程： 2x 24=0 28（ 1）解方程： 2x=1； （ 2）解不等式组： 29解方程： 4x+1=0 30用配方法解关于 x 的一元二次方程 bx+c=0 第 4 页（共 20 页） 2016 年北师大版九年级数学上册同步测试： 配方法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一、选择题（共 15 小题） 1已知 b 0，关于 x 的一元二次方程（ x 1） 2=b 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D有两个实数根 【考点】解一元二次方程 【分 析】根据直接开平方法可得 x 1= ，被开方数应该是非负数，故没有实数根 【解答】解： （ x 1） 2=b 中 b 0， 没有实数根， 故选： C 【点评】此题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，根据法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”来求解 2已知关于 x 的一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ） A m B m 0 C m 1 D m 2 【考点】解一元二次方程 【分析】首先移项把 m 移到方程右边，再根据直接开平方法可得 m 的取值范围 【解答】解；（ x+1） 2 m=0， （ x+1） 2=m， 一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根， m 0， 故选： B 【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”来求解 第 5 页（共 20 页） 3一元二次方程（ x+6） 2=16 可转化为两个 一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A x 6= 4 B x 6=4 C x+6=4 D x+6= 4 【考点】解一元二次方程 【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案 【解答】解：（ x+6） 2=16， 两边直接开平方得： x+6= 4， 则： x+6=4， x+6= 4， 故选： D 【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开 平方取正负，分开求得方程解 ”来求解 4用配方法解方程 2x 1=0 时，配方后得的方程为（ ） A（ x+1） 2=0 B（ x 1） 2=0 C（ x+1） 2=2 D（ x 1） 2=2 【考点】解一元二次方程 【分析】在本题中，把常数项 1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 【解答】解：把方程 2x 1=0 的常数项移到等号的右边，得到 2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 2x+1=1+1 配方得（ x 1） 2=2 故选 D 【点评】 考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 5用配方法解一元二次方程 6x 10=0 时，下列变形正确的为（ ） A（ x+3） 2=1 B（ x 3） 2=1 C（ x+3） 2=19 D（ x 3） 2=19 第 6 页（共 20 页） 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简 得到结果，即可做出判断 【解答】解：方程移项得： 6x=10， 配方得： 6x+9=19，即（ x 3） 2=19， 故选 D 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 6一元二次方程 8x 1=0 配方后可变形为（ ） A（ x+4） 2=17 B（ x+4） 2=15 C（ x 4） 2=17 D（ x 4） 2=15 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】方程利用配方法求出解即可 【解答】解：方程变形得： 8x=1， 配方得： 8x+16=17，即（ x 4） 2=17， 故选 C 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 7用配方法解一元二次方程 6x 4=0，下列变形正确的是（ ） A（ x 6） 2= 4+36 B（ x 6） 2=4+36 C（ x 3） 2= 4+9 D（ x 3） 2=4+9 【考点】解一元二次方程 【分析】根据配方法，可得方程的解 【解答】解： 6x 4=0， 移项，得 6x=4， 配方，得（ x 3） 2=4+9 故选： D 【点评】本题考查 了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为 1，配方，开方 8用配方法解方程 2x 5=0 时，原方程应变形为（ ） 第 7 页（共 20 页） A（ x+1） 2=6 B（ x 1） 2=6 C（ x+2） 2=9 D（ x 2） 2=9 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 1 变形即可得到结果 【解答】解：方程移项得： 2x=5， 配方得： 2x+1=6， 即（ x 1） 2=6 故选： B 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公 式是解本题的关键 9若一元二次方程式 a（ x b） 2=7 的两根为 ，其中 a、 b 为两数，则 a+b 之值为何？（ ） A B C 3 D 5 【考点】解一元二次方程 【分析】首先同时除以 a 得：（ x b） 2= ，再两边直接开平方可得： x b= ，然后把 b 移到右边，再根据方程的两根可得 a、 b 的值，进而算出 a+b 的值 【解答】解： a（ x b） 2=7， 两边同时除以 a 得：（ x b） 2= ， 两边直接开平方可得： x b= ， 则 x= +b， 两根 为 ， a=4， b= ， a+b=4 = ， 故选： B 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为 “左平方，右 常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”来求解 第 8 页（共 20 页） 10一元二次方程 2x 1=0 的解是（ ） A x1= B + ， 1 C + ， D 1+ ， 1 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值 【解答】解：方程 2x 1=0，变形得： 2x=1， 配方得： 2x+1=2，即（ x 1） 2=2， 开方得： x 1= ， 解得： + ， 故选： C 【点评】 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 11用配方法解方程 0x+9=0，配方后可得（ ） A（ x+5） 2=16 B（ x+5） 2=1 C（ x+10） 2=91 D（ x+10） 2=109 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可 【解答】解：方程 0x+9=0， 整理得： 0x= 9， 配方得： 0x+25=16，即（ x+5） 2=16， 故选： A 【点评】此题考查了解一元二次 方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 12用配方法解一元二次方程 bx+c=0（ a 0），此方程可变形为（ ） A（ x+ ） 2= B（ x+ ） 2= C（ x ） 2= D（ x ） 2= 【考点】解一元二次方程 第 9 页（共 20 页） 【专题】转化思想 【分析】先移项，把二次项系数化成 1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可 【解答】解： bx+c=0， c， x= ， x+（ ） 2= +（ ） 2， （ x+ ） 2= ， 故选： A 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中 13若一元二次方程式 42x 1147=0 的两根为 a、 b，且 a b，则 3a+b 之值为何？（ ） A 22 B 28 C 34 D 40 【考点】解一元二次方程 【分析】配方得出（ 2x+3） 2=1156，推出 2x+3=34， 2x+3= 34，求出 x 的值，求出 a、 b 的值，代入 3a+b 求出即可 【解答】解： 42x 1147=0， 移项得： 42x=1147， 42x+9=1147+9， 即（ 2x+3） 2=1156， 2x+3=34， 2x+3= 34， 解得： x= ， x= ， 一元二次方程式 42x 1147=0 的两根为 a、 b，且 a b， a= ， b= ， 3a+b=3 +（ ） =28， 故选 B 第 10 页（共 20 页） 【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出 a、 b 的值是解此题的关键，主要培养学 生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中 14关于 x 的方程 m（ x+h） 2+k=0（ m， h， k 均为常数， m 0）的解是 3， ，则方程 m（ x+h 3） 2+k=0 的解是（ ） A 6， 1 B ， C 3， D 6， 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】利用直接开平方法得方程 m（ x+h） 2+k=0 的解 x= h ，则 h = 3，h+ =2，再解方程 m（ x+h 3） 2+k=0 得 x=3 h ，所以 ， 【解答】解：解方程 m（ x+h） 2+k=0（ m， h， k 均为常数， m 0）得 x= h ， 而关于 x 的方程 m（ x+h） 2+k=0（ m， h， k 均为常数， m 0）的解是 3， ， 所以 h = 3， h+ =2， 方程 m（ x+h 3） 2+k=0 的解为 x=3 h ， 所以 3=0， +2=5 故选： B 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2=p 或（ nx+m） 2=p（ p 0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x= ；如果方程能化成（ nx+m） 2=p（ p 0）的形式，那么 nx+m= 15 一元二次方程 3（ x 1） 2=15 的两个解，且 列说法正确的是（ ） A 于 1， 于 3 B 于 2， 于 3 C 1 和 3 之间 D 小于 3 【考点】解一元二次方程 算无理数的大小 【专题】计算题 【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案 【解答】解： 一元二次方程 3（ x 1） 2=15 的两个解，且 （ x 1） 2=5， 第 11 页（共 20 页） x 1= ， + 3， 1， 故选： A 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键 二、填空题（共 7 小题） 16方程 的解是 【考点】解一元二次方程 【分析】利用直接开平方法求解即可 【解答】解： ， x= 故答案为 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意： （ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有： x2=a（ a 0）； b（ a， b 同号且 a 0）；（ x+a）2=b（ b 0）； a（ x+b） 2=c（ a， c 同号且 a 0）法则：要把方程化为 “左平方，右常数，先 把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ” （ 2）运用整体思想，会把被开方数看成整体 （ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点 17一元二次方程 2 x=0 的解是 x1= 【考点】解一元二次方程 【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可 【解答】解： 2 x=0 （ x ） 2=0 x1= 故答案为： x1= 【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键 18若将方程 x=7 化为（ x+m） 2=16，则 m= 3 【考点】解一元二次方程 第 12 页（共 20 页） 【分析】此题实际上是利用配方法解方程配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项 的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：在方程 x=7 的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x+32=7+32， 配方，得 （ x+3） 2=16 所以， m=3 故答案为： 3 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法用配方法解一元二次方程的步骤： （ 1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可 （ 2）形如 bx+c=0 型，方程两边同时除 以二次项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方 19将 x+3 配方成（ x+m） 2+n 的形式，则 m= 3 【考点】配方法的应用 【专题】计算题 【分析】原式配方得到结果，即可求出 m 的值 【解答】解： x+3=x+9 6=（ x+3） 2 6=（ x+m） 2+n， 则 m=3， 故答案为： 3 【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 20方程 2x 2=0 的解是 +1， +1 【考点】解一元二次方程 【分析】首先把常数 2 移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可 【解答】解： 2x 2=0， 移项得： 2x=2， 第 13 页（共 20 页） 配方得： 2x+1=2+1， （ x 1） 2=3， 两边直接开平方得： x 1= ， 则 +1， +1 故答案为： +1， +1 【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 21方程 2x 1=0 的解是 + ， 【考点】解一元二次方程 【分析】首先把常数项 2 移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方，然后开方即可求得答案 【解答】解： 2x 1=0， 2x=1， 2x+1=2， （ x 1） 2=2， x=1 ， 原方程的解为： + ， 故答案为： + ， 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程解题时注意配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 22若一元二次方程 b（ 0）的两个根分别是 m+1 与 2m 4，则 = 4 【考点】解一元二次方程 【分析】利用直接开平方法得到 x= ，得到方程的两个根互为相反数，所以 m+1+2m 4=0，解得 m=1，则方程的两个根分别是 2 与 2，则有 =2，然后两边平方得到 =4 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： ， x= ， 方程的两个根互为相反数， m+1+2m 4=0，解得 m=1， 一元二次方程 b 的两个根分别是 2 与 2， =2， =4 故答案为： 4 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2=p 或（ nx+m） 2=p（ p 0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一 元二次方程如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x= ；如果方程能化成（ nx+m） 2=p（ p 0）的形式，那么 nx+m= 三、解答题（共 8 小题） 23解方程： 6x 4=0 【考点】解一元二次方程 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数 【解答】解：移项得 6x=4， 配方得 6x+9=4+9， 即（ x 3） 2=13， 开方得 x 3= ， + ， 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤： （ 1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可 （ 2）形如 bx+c=0 型，方程 两边同时除以二次项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方 24有 n 个方程： x 8=0； 2x 8 22=0； 8 第 15 页（共 20 页） 小静同学解第一个方程 x 8=0 的步骤为： “x=8； x+1=8+1； （ x+1） 2=9； x+1= 3； x=1 3； ， 2 ” （ 1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的 （ 2）用配方法解第 n 个方程 8（用含有 n 的式子表示方程的根） 【考点】解一元二次方程 【专题】阅 读型 【分析】（ 1）移项要变号； （ 2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可 【解答】解：（ 1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的， 故答案为： ； （ 2） 8， nx+n2+ （ x+n） 2=9 x+n= 3n， n 4n 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中 25解方程：（ 2x 1） 2=x（ 3x+2） 7 【考点】解一元二次方程 法 【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案 【解答】解：（ 2x 1） 2=x（ 3x+2） 7， 44x+1=3x 7， 6x= 8， （ x 3） 2=1， x 3= 1， ， 第 16 页（共 20 页） 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题 26解方程 （ 1） 2x 1=0 （ 2） = 【考点】解一元二次方程 分式方程 【专题】计算题 【分析】（ 1）方程常数项移到右边，两边加上 1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （ 2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：（ 1）移项得： 2x=1， 配方得： 2x+1=2，即（ x 1） 2=2， 开方得： x 1= ， 则 + ， ； （ 2）去分母得： 4x 2=3x， 解得： x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，以及解分式方程，利用配方法解方程时，首先将二次项系数化为 1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数以一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解 27嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的求根公式时，对于 40 的情况，她是这样做的： 由于 a 0，方程 bx+c=0 变形为： x= ， 第一步 第 17 页（共 20 页） x+（ ） 2= +（ ） 2， 第二步 （ x+ ） 2= ， 第三步 x+ = （ 40）， 第四步 x= ， 第五步 嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 40 时，方程 bx+c=0（ a O）的求根公式是 x= 用配方法解方程： 2x 24=0 【考点】解一元二次方程 【专题】阅读型 【分析】第四步，开方时出错；把常数项 24 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 【解答】解：在第四步中，开方应该是 x+ = 所以求根公式为： x= 故答案是：四； x= ； 用配方法解方程： 2x 24=0 解：移项，得 2x=24， 配方，得 2x+1=24+1， 即（ x 1） 2=25， 开方得 x 1= 5， ， 4 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法 第 18 页（共 20 页） 用配方法解一元二次方程的步骤： （ 1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左