创新设计高三数学一轮复习 排列与组合课件 北师大

理解排列 组合的概念 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 能解决简单的实际问题 10 2排列与组合 1 排列的概念 从n个不同元素中 任取m m n 个元素 这里的被取元素各不相同 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数的定义 从n个不同元素中 任取m m n 个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 用符号表示 3 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 4 全排列数公式A n n 1 n 2 2 1 n 叫做n的阶乘 5 组合的定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 6 组合数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号C表示 7 组合数公式 n m N 且m n 1 8名运动员参加男子100米的决赛 已知运动场有从内到外编号依次为1 2 3 4 5 6 7 8的八条跑道 若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字 如 4 5 6 则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有 A 360种B 4320种C 720种D 2160种解析 本题考查排列组合知识 可分步完成先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能 将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上 最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上 故共有 4320种方式 答案 B 2 高三 一 班需要安排毕业晚会的4个音乐节目 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 则不同排法的种数是 A 1800B 3600C 4320D 5040解析 120 30 3600 答案 B 3 2010 开封高三月考 某班级从A B C D E F六名学生中选4人参加4 100米接力比赛 其中第一棒只能在A B中选一人 第四棒只能在A C中选一人 则不同的选派方法共有 A 24种B 36种C 48种D 72种解析 若第一棒选A 则有A种选派方法 若第一棒选B 则有2A 由分类计数原理共有36种 答案 B 4 如图 将1 2 3填入3 3的方格中 要求每行 每列都没有重复数字 下面是一种填法 则不同的填写方法共有 A 6种B 12种C 24种D 48种解析 只需要填写第一行第一列 其余即确定了 因此 12 种 答案 B 常见的排列问题有三种 1 排队 2 排数 3 排课程表 对于 在 或者 不在 的排列问题的计算方法主要是 1 位置优先法 2 元素优先法 3 间接计算法 例1 甲 乙 丙 丁四名同学排成一排 分别计算满足下列条件的排法种数 1 甲不在排头 乙不在排尾 2 甲不在第一位 乙不在第二位 丙不在第三位 丁不在第四位 3 甲一定在乙的右端 可以不邻 解答 1 直接排 要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况 若甲排在排尾共有 6种排法 若甲既不在排头也不在排尾共有 8种排法 由分类计数原理 14 种 也可间接计算 14 种 2 本题可转化为将数字1 2 3 4排成没有重复数字的四位数 且1不在千位 2不在百位 3不在十位 4不在个位 因此可写出A 24种所有排列 从中挑选满足条件的共9种 可考虑求有限集合的并集元素的个数问题 则有card A B C D card A card B card C card D card A B card A C card A D card B C card B D card C D card A B C card A B D card B C D card A C D card A B C D 设所有排列组成的集合为I 甲在首位的排列组成的集合为A 乙在第二位的排列组成的集合为B 丙在第三位的排列组成的集合为C 丁在末位的排列组成的集合为D 则card I card A B C D 24 4 6 6 2 4 1 1 9 可考虑直接排法 甲有3种排法 若甲排在第二位 则乙有3种排法 甲 乙排好后 丙 丁只有一种排法 由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3 3 1 9 种 3 可先排丙 丁有种排法 则甲 乙只有一种排法 由分步计数原理满足条件的排列共有 1 12 种 或看作定序问题 12 变式1 1 从6人中选4人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市有一人游览 每人只游览一个城市 且这6个人中甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有 A 300种B 240种C 144种D 96种 2 安排5名歌手的演出顺序时 要求某名歌手不第一个出场 另一名歌手不最后一个出场 不同排法的种数是 用数字作答 解析 1 240 2 答案 1 B 2 78 排列中的 相邻 问题一般采用捆绑法 而 互不相邻 问题一般采用插空法 例2 a1 a2 a8共八个元素 分别计算满足下列条件的排列数 1 八个元素排成一排 且a1 a2 a3 a4四个元素排在一起 2 八个元素排成一排 且a1 a2 a3 a4四个元素互不相邻 3 八个元素排成一排 且a1 a2 a3 a4四个元素互不相邻 并且a5 a6 a7 a8也互不相邻 4 排成前后两排每排四人 解答 1 a1 a2 a3 a4四个元素排在一起 共有A种排法 再与a5 a6 a7 a8进行排列共有A种排法 由分步计数原理知 满足条件的排列数为 2880 2 先排a5 a6 a7 a8 四个元素共有A种排法 可将a1 a2 a3 a4排入由a5 a6 a7 a8间隔出的五个位置中的四个 共有A种排法 由分步计数原理知 满足条件的排列数为 2880 3 先排a5 a6 a7 a8 共有种排法 然后排a1 a2 a3 a4共有2种排法 由分步计数原理共有 1152种排法 4 前排有种排法 后排有种排法 由分步计数原理知共有 8 种排法 变式2 4个男同学 3个女同学站成一排 1 3个女同学必须排在一起 有多少种不同的排法 2 任何两个女同学彼此不相邻 有多少种不同的排法 3 其中甲 乙两同学之间必须恰有3人 有多少种不同的排法 4 甲 乙两人相邻 但都不与丙相邻 有多少种不同的排法 5 女同学从左到右按高矮顺序排 有多少种不同的排法 3个女生身高互不相等 解答 1 3个女同学是特殊元素 我们先把她们排好 共有种排法 由于3个女同学必须排在一起 我们可视排好的女同学为一整体 再与男同学排队 这时是5个元素的全排列 应有A种排法 由分步计数的原理 有 720种不同排法 2 先将男生排好 共有种排法 再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有种方案 故符合条件的排法共有 1440种不同排法 3 甲 乙2人先排好 有A种排法 再从余下5人中选3人排在甲 乙2人中间 有种排法 这时把已排好的5人视为一整体 与最后剩下的2人再排 又有种排法 这样总共有 720种不同排法 4 先排甲 乙和丙3人以外的其他4人 有种排法 由于甲 乙要相邻 故再把甲 乙排好 有种排法 最后把甲 乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有种排法 这样 总共有 960种不同排法 5 从7个位置中选出4个位置把男生排好 则有种排法 然后再在余下的3个空位置中排女生 由于女生要按身体高矮排列 故仅有一种排法 这样总共有 840种不同排法 排列与组合的根本区别在于是 有序 还是 无序 对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中 此类问题可利用 挡板法 求解 实质上是最终转化为组合问题 例3 7个相同的小球 任意放入4个不同的盒子中 试问 每个盒子都不空的放法共有多少种 解答 解法一 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中 有1种放法 再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中 有以下3种情况 1 某一个盒子放3个小球 就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球 有种不同的放法 2 这3个小球分别放入其中的3个盒子中 就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子 分别放入这3个相同的小球 有种不同放法 3 这3个小球中有两个小球放在1个盒子中 另1个小球放在另一个盒子中 从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列 有种不同的方法 综上可知 满足题设条件的放法为解法二 每个盒子都不空 的含义是 每个盒子中至少有一个小球 合理的分类是正确解题的关键 若用 隔板法 可易得 20 变式3 1 计算x y z 6的正整数解有多少组 2 计算x y z 6的非负整数解有多少组 解答 1 可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中 每盒非空有多少种放法 转化为00000011的排列 要求1不排在两端且不相邻 共有C 10种排法 因此方程x y z 6有10组不同的正整数解 2 可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中 转化为00000011的排列 共有C 28种排法 因此方程x y z 6有28组不同的非负整数解 1 解决有条件排列问题中的 相邻 与 互不相邻 等问题 解决相邻问题可采用 捆绑法 而解决互不相邻问题可采用 插空法 2 元素在某一位置上 或不在某一位置上 可从特殊元素入手考虑 可从特殊位置进行考虑 还可间接计算 方法规律 3 解决排列组合问题可遵循 先组合后排列 的原则 区分排列组合问题主要是判断 有序 和 无序 更重要的是弄清怎样的算法有序 怎样的算法无序 关键是在计算中体现 有序 和 无序 4 要能够写出所有符合条件的排列或组合 尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符 使复杂问题简单化 这样既可以加深对问题的理解 检验算法的正确与否 又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果 本题满分4分 某工程队有6项工程需要先后单独完成 其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行 工程丙必须在工程乙完成后才能进行 又工程丁必须在工程丙完成后立即进行 那么安排这6项工程的不同排法种数是 用数字作答 解答 可将6项工程分别用甲 乙 丙 丁 a b表示 要求是甲在乙前 乙在丙前 并且丙丁相邻丙在丁前 可看作甲 乙 丙丁 a b五个元素的排列 可先排a b 再排甲 乙 丙丁共 20